Существенных факторов

№ эксперимента	Входные факторы				Выходные факторы
	х1	х2	…	хn	w1	w2	…	wk
1	х11	х12	…	х1n	w11	w12	…	w1k
2	х21	х22	…	х2n1	w21	w22	…	w2k
…	…	…	…	…	...	...	…	…
N	хN1	хN2	…	хNn	wN1	wN2	…	wNk

При решении этой задачи из множества факторов x₁,x₂,…,x_nвыделяют такие факторы, у которых значение коэффициента парной корреляции или корреляционного отношения не менее 0,8. Подобные факторы называются коллинеарными.

Коэффициент парной корреляции r_ij характеризует степень линейной зависимости между двумя факторамиx_i иx_j, а корреляционное отношение– степень нелинейной зависимости. Формулы расчета этих величин приводятся в литературе по математической статистике. Коэффициентыr_ij ихарактеризуются следующими соотношениями:

; (2.8)

. (2.9)

Значения r_ij и, близкие к нулю, указывают на отсутствие взаимосвязи факторов, а близость их к единице – на наличие функциональной связи. Для определения коллинеарных факторов вычисляется матрица коэффициентов парной корреляцииr_ij.

Вследствие симметричности (2.9) анализу подвергается только одна половина матрицы. При наличии пары коллинеарных факторов в модели как независимый целесообразно использовать фактор, имеющий меньшую дисперсию, а значение другого фактора вычислять по выявленной регрессионной зависимости. Если ни один из элементов матрицы не превосходит 0,8, целесообразно вычислить матрицу корреляционных отношений, но их расчет требует более громоздких вычислений.

Далее решается задача выявления взаимосвязи между входными факторами и выходными характеристиками модели и выбора из входных факторов, наиболее существенно влияющих на результаты моделирования.

При решении этой задачи для входных количественных факторов , отобранных на первом этапе, и выходных фактороввычисляют матрицу парных коэффициентов линейной корреляциилибо корреляционных отношений. Упорядоченные по значению корреляционных коэффициентов факторымогут служить основой для выбора множества существенных факторов. Однако в ряде случаев изучаемые факторы лишь в косвенной форме отражают наиболее существенные, но не поддающиеся непосредственному наблюдению и измерению внутренние, скрытые свойства объекта, что проявляется в незначительных значениях практически всех парных корреляционных коэффициентов ().

В такого рода ситуациях с помощью достаточно сложного математического аппарата факторного анализа пытаются выявить наибольшее число латентных переменных, на базе которых в дальнейшем и строится математическая модель.

Использование методов экспертной оценки

Экспертные оценки это количественные или порядковые оценки процессов или явлений, не поддающихся непосредственному измерению. Сущность метода экспертных оценок заключается в проведении экспертами интуитивно-логического анализа исследуемой ситуации с количественной оценкой суждений и формальной обработкой результатов экспертизы. Получаемое в результате обработки обобщенное мнение экспертов принимается как решение проблемы.

Для проведения экспертизы должна быть сформулирована группа специалистов-организаторов экспертизы, призванная обеспечить условия для эффективной деятельности экспертов, разработать процедуру экспертизы, наиболее соответствующую характеру данной проблемы. В задачи группы входят: постановка проблемы, определение целей и задач экспертизы, ее границ, основных этапов; разработка процедуры экспертизы; отбор экспертов , проверка их компетентности и формирование групп экспертов; проведение опроса и согласование оценок; формализация полученной информации, ее обработка, анализ и интерпретация.

Существует множество методов экспертных оценок (индивидуальных и коллективных) с соответствующими процедурами обработки многих экспертов. Для задачи выбора существенных факторов наиболее пригодны методы ранга устанавливающие различного рода приоритеты между факторами. Приоритет факторов может задаваться различными способами. Распространены следующие характеристики приоритета.

Ряд приоритета Jпредставляет собой упорядоченное множество индексов отдельных факторовJ = (1, 2,…,n)и отражает чисто качественные отношения доминирования факторов, а именно: факторx₁важнее фактораx₂, факторx₂важнее фактораx₃и т.д. Количественная сторона доминирования при этом не указывается.

При наличии группы равнозначных факторов (например, x₃иx₄) их выделяют в ряду приоритетаJвнутренними скобками:

.

Вектор приоритета представляет собойn-мерный вектор, компонентамиv_iкоторого являются бинарные отношения приоритета. Бинарное отношение приоритета определяет степень превосходства по важности двух соседних факторовx_iиx_i+1из ряда приоритетаJ, т.е. во сколько раз факторx_iважнее фактораx_i+1. Для равнозначных факторовx_kиx_k+1( так же как и для последнего фактораx_n) соответствующая компонентаv_k=1 (v_n=1).

Вектор приоритета Vопределяется в результате попарного сравнения факторов, предварительно упорядоченных в соответствии с рядом приоритетаJ, причем.

Вектор весовых коэффициентов представляет собойn-мерный вектор, компоненты которого связаны соотношением

;.

Для расчета любой из характеристик J, V, в принципе можно применять аналогичные методы экспертной оценки. Рассмотрим один из простейших методов экспертной оценки, используемой для определения вектора весовых коэффициентов .

При методе полного попарного сравнения факторов эксперты устанавливают только ряд приоритетов Jи вектор приоритетаV. Соседние компонентыивектора весовых коэффициентов связаны соотношением

. (2.10)

Выражение (2.10) позволяет при задании ряда приоритета Jи вектора приоритетаVрассчитать каждую компоненту вектора по формуле

.

Например, если заданы три фактора, упорядоченные рядом приоритета J = (1. 2.3) и оценивание с помощью вектораV = (2, 3, 1), то

,

,

.

После расчетов весовых коэффициентов по каждомуj- му эксперту () определяют среднее арифметическое значение весового коэффициента для каждогоi-го фактора:.

Косвенным показателем согласованности мнений экспертов по оценке данного фактора служит коэффициент вариации, выраженный в процентах:

.

Чем меньше вариация, тем больше согласованность мнений экспертов. Основным показателем, отражающим степень согласованности мнений экспертов по всей совокупности факторов, служит коэффициент конкордации.

Определив, что мнение экспертов согласованы между собой, на основании совместного анализа средних арифметических значений и коэффициента вариациипроводят окончательный выбор существенных факторов.

Для оценки большого количества факторов и предотвращения резкого снижения достоверности оценок из-за невозможности объективно оценивать одновременно все факторы применяют специальные процедуры опроса экспертов, например группировки факторов по объединяющим признакам. В этом методе вся совокупность факторов классифицируется по какому-либо признаку на группы числом не более 7. Если число факторов в группе превышает 7, то их опять классифицируют по новому, более детальному признаку, соблюдая то же самое ограничение на число подгрупп и число факторов в подгруппах. После классификации (например, двухуровневой) проводят ряд экспертиз, последовательно оценивающих важность отдельных групп между собой, отдельных подгрупп внутри группы, отдельных факторов внутри подгруппы. Небольшое число признаков, оцениваемых в каждой экспертизе, обеспечивает высокую достоверность их оценки. Итоговый весовой коэффициент фактора определяется как произведение весового коэффициента фактора в подгруппе, весового коэффициента подгруппы в группе, весового коэффициента группы в совокупности групп.

Хотя число экспертиз при описанном методе достаточно велико, но зато для проведения каждой из них может привлекаться свой контингент экспертов, хорошо знающих именно этот круг частных вопросов, что еще более повысит достоверность их оценок.

В результате взаимодополняющего использования вышеописанных статистических и экспертных методов исследователь формирует ряд приоритета для анализируемого множества факторов. На основании этого ряда им отбирается для построения математической модели ограниченное число факторов, вариации которых он считает действительно существенными. Исследователь в этом отношении должен руководствоваться также собственной интуицией. При дальнейшем исследовании объекта по математической модели, как правило, возникает необходимость в корректировке состава существенных факторов модели. Поэтому упомянутый выше выбор существенных факторов представляет собой лишь предварительную наметку.

Установление качественных зависимостей

В состав ограничений решаемой задачи помимо внешних ограничений входят внутренние, выявленные или введенные входе уяснения задачи и выбора целей пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие многие внутренние и внешние свойства модели объекта. Эти ограничения могут вводиться либо разработчиком модели (искусственные ограничения-допущения), либо определяться самим объектом вследствие присущих ему свойств (естественные ограничения). Ограничения первого типа, будучи субъективными, могут подвергаться изменениям. Вводя допущения, исследователь всегда стремиться выбрать рациональное соотношение между сложностью модели и затратами на ее разработку и ее соответствием исследуемому объекту. Ограничения второго типа, будучи субъективными, могут подвергаться изменениям. Вводя допущения, исследователь всегда стремится выбрать рациональное соотношение между сложностью модели и затратами на ее разработку и ее соответствием исследуемому объекту. Ограничения второго типа обусловлены объективными законами функционирования исследуемого объекта. К наиболее часто встречающимся естественным ограничениям относятся физические пределы на параметры объекта ( например, габариты, быстродействие и т.д.), ограничения из-за неполной совместимости элементов.

В модели ограничения представляют собой устанавливаемые пределы изменения значений переменных или иных факторов модели, условия распределения или расходования тех или иных средств (энергии, запасов, времени и т.п.). Так, например, ограничения на переменные состояния и переменные управления, состояния и переменных управления (жесткие ограничения), либо устанавливают дополнительные зависимости между переменными состояния и переменными управления. Жесткие ограничения устанавливают верхние (нижние) значения переделов, которые ни в коем случае не должны нарушаться. Нежесткие ограничения на переменные не запрещают превышение пределов ограничения. Обычно они учитывают путем добавления к целевой функции «штрафа», величина которого зависит от величины превышения ограничения.

Для всех установленных ограничений и критериев на основе совмещенного дерева целей-параметров записываются их качественные зависимости от параметров объектов и характеристик окружения. Эти взаимосвязи являются прообразом математической модели и отражают концепцию ее построения. Таким образом, совмещенное дерево целей-параметров является как бы скелетом математической модели.

Для иллюстрации запишем фрагмент концептуальной модели для совмещенного дерева целей-параметров, представленного на рис. 2.11:

;

Анализ характера факторов внешней среды, содержания и числа критериев оптимальности помогает сформулировать будущую задачу принятия решения, например, однокритериальная детерминированная, однокритериальная стохастическая, однокритериальная с неопределенными факторами антагонистической природы, многокритериальная детерминированная и т.п., и наметить соответствующий метод принятия оптимального решения.

Выбором метода оптимального решения заканчивается формирование концептуальной модели объекта. Однако в ряде случаев после ее получения в целях упрощения целесообразно воспользоваться предельным анализом, заключающимся в оценке максимальных и минимальных величин составляющих критерий по области изменения параметров системы и характеристик окружения. Если величины отдельных составляющих на порядок и более превышают величины других составляющих, то исключение последних из критерия оптимальности приведет к незначительных погрешностям. Это позволит уменьшить число составляющих критерия оптимальности и сократить тем самым сложность математической модели. В результате проведения предельного анализа окончательно формируется структура критериев оптимальности и вся концептуальная модель в целом. Заключительным шагом создания концептуальной модели является оценка ее адекватности исследуемой ситуации.

С начала работы по формированию концептуальной модели разработчику целесообразно завести рабочий документ «Перечень допущений», в который будут заноситься все ограничения и допущения, принятые им на различных этапах построения и реализации модели. Эта информация будет крайне необходима как для принятия решения об адекватности концептуальной и математической модели, так и для правильной интерпретации результатов моделирования.