2. Формирование концептуальной модели

Концептуальной модельюназывается совокупность качественных зависимостей критериев оптимальности и ограничений от характеристик окружения, параметров и переменных объекта. Другими словами, концептуальная модель определяет , от каких факторов зависит тот или иной показатель или выполнение условия, но не раскрывает количественный характер этих связей. Концептуальная модель является «идеологической » основой будущей математической модели. Именно в ней отражается состав критериев оптимальности и ограничений, определяющих целевую направленность модели. Перевод на этапе формализации качественных зависимостей в количественные преобразует критерий оптимальности в целевую функцию, ограничения – в уравнения связи, концептуальную модель – в математическую.

Наименее изученной и формализованной является проблема правильной формулировки целей, стоящих перед исследуемым объектом, и формирования на этой основе критериев оптимальности и ограничений.

Цели и критерии. Формы обобщенного критерия оптимальности

Прежде чем перейти к рассмотрению процедуры формулировки целей и критериев рассмотрим ряд общих положений, помогающих дальнейшему пониманию материала.

Любой объект, относящийся к классу организационно-экономических, является управляемой системой. Управление системой общепринято разделять на планирование, регулирование, учет, контроль, анализ. На рис.2.6. представлена крайне упрощенная схема системы управления с обратной связью, включающей сам объект управления, управляющий орган и информационную часть.

Рис. 2.6. Упрощенная схема системы управления с обратной связью

Пусть на входе системы (например, предприятия) лицом, ответственным за принятие решения, установлены план – желаемый результат ее функционирования – и ресурсы, обеспечивающие его реализацию. Действительный результат функционирования системы (продукция) измеряется информационной частью и сравнивается с планом. На основе анализа рассогласований управляющий орган (подразделения управления на предприятии) вырабатывает регулирующие воздействия на объект управления (цехи предприятия) с целью уменьшения рассогласований.

Независимо от характера и специфики исследуемого объекта его цели всегда относятся к двум категориям: развития и стабилизации. Цели развитиянаправлены на достижение новых, желательных в каком-то смысле состояний и характеристик объекта и соответствуют фазе управления «планирование» (рис. 2.6).Цели стабилизациинаправлены на сохранение или поддержание в определенном состоянии характеристик объекта и соответствуют фазе управления «регулирование».

Если рассматривать в качестве объекта исследования цех, то регулирующие воздействия подразделений управления выступают для него в качестве основных плановых показателей и ресурсов цеха, обеспечивающих реализацию плана предприятия (рис. 2.7). Таким образом, цели развития объекта вытекают из целей системы верхнего уровня или, по крайней мере, являются им логически непротиворечивыми. Поэтому корректная постановка задач «на развитие» системы обязательно предусматривает рассмотрение целей системы верхнего уровня и ее возможностей, формализующих их критериев оценки и формирование на этой основе ограничений, накладываемых системой верхнего уровня на объект исследования. Однако такого рода анализ весьма трудоемок и не всегда осуществляется на практике, что зачастую приводит к недостаточно обоснованным уровням ограничений.

Рис. 2.7. Иерархическое построение системы управления

Цели стабилизации в соответствии с вышесказанным способствует достижению результатов целей развития (утвержденного плана) и определяется на уровне исследуемой системы. При постановке задач на «стабилизацию» оценивается оптимальность лишь одной из подсистем исследуемой системы – управляющей, при этом основные параметры объекта, определяющие его состояние, получены из решения задачи на развитие (или каким-нибудь иным способом) и зафиксирован.

Следует иметь в виду, что цели стабилизации для системы вовсе не эквивалентны целям развития для подсистем, как это может показаться из рассмотрения рис 2.7. Цели развития для любого уровня определяют наилучшие в определенном смысле состояния систем данного уровня иерархии, т.е. «что» нужно достичь, в то время как цели стабилизации определяют наилучшие действия по их достижению, т.е. «каким образом» нужно достичь наилучшего состояния исходя из возможностей рассматриваемой системы. Поэтому для корректной формулировки целей развития необходима информация о целях и возможностях системы верхнего уровня т.е. цели развития по уровням иерархии логически связаны, а для формулировки целей стабилизации достаточна информация только о возможностях исследуемой системы – логическая связь целей стабилизации по уровням иерархии может отсутствовать.

Качественными(точечными) называются цели, которые могут быть или достигнуты, или не достигнуты. Все результаты, приводящие к достижению цели, одинаково хороши, а все результаты, не приводящие к достижению цели, одинаково неудовлетворительны.

Количественное(интервальное) определение цели заключается в стремлении увеличить (или уменьшить) значение некоторой величины – критерия оптимальности, зависимость которой от переменных и факторов модели и составляет целевую функцию математической модели.

Наиболее общий вид критерия оптимальности:

, (2.1)

Где E- критерий оптимальности;R– результат, получаемый от работы объекта;C- затраты на создание результата;– вектор параметров объекта, характеризующих его состояние;t- время;f- некоторая форма связи между отдельными составляющими критерия.

В дальнейшем критерий вида (2.1) будем называть обобщенным критерием оптимальности. Как видно из (2.1), основными составляющими критерия оптимальности являются затраты, результат и время. На практике под результатомпонимают конечный эффект функционирования объекта по его основному назначению, в том числе результат, соответствующий целям создания объекта, и побочный результат, связанный с отрицательным воздействием на окружение. Результат может выражаться в любых единицах измерения (рублях, нормо-часах, штуках, тоннах, битах информации и т.д.). Числовые значения результата в зависимости от времени, параметров объекта и характеристик окружения получают из модели операций. Иногда на практике результат заменяют совокупностью значений параметров объекта, которые могут быть измерены и использованы для его косвенной оценки.

Затратына создание результата в принципе могут выражаться как в стоимостной, так и в натурально-вещественной форме. Под затратами, выраженными в натурально-вещественной форме, понимают информационные, материальные, трудовые и другие виды ресурсов, потребляемые объектом на различных стадиях его жизненного цикла. Из-за трудности манипулирования с различными размерностями отдельных компонент результата и затрат их стараются привести к наиболее удобной и универсальной размерности – стоимостной. Для определения значений затрат в зависимости от времени, параметров объекта и окружения строят стоимостные модели.

Фактор времени, вводимый в обобщенный критерий оптимальности, учитывает характер распределения результата и затрат по стадиям жизненного цикла, изменения состояния оцениваемого объекта в процессе функционирования вследствие изменения его параметров. Учет в критерии оптимальности времени в явном виде приводит задачу к динамической постановке, что зачастую существенно усложняет ее решение.

Для соизмерения затрат и результата, относящихся к различным моментам времени, а также достижения сопоставимости разновременных затрат выявляется необходимость их приведения к единой системе отсчета времени. Наиболее простым путем сведения динамической задачи к статической является применение известной формулы дисконтирования затрат, в которой затраты на систему и полученный результат в стоимостном выражении приводятся к некоторому моменту времени Т, выбираемому исследователем из соображений удобства.

, (2.2)

где C_i– затраты на систему вi-й год жизненного цикла системы;t_i - текущее время,- годы начала разработки и снятия системы с эксплуатации, соответственно);E_НП– нормативный коэффициент приведения разновременных затрат.

Учет фактора времени с помощью выражения (2.2) позволяет в ряде случаев исключить составляющую «время» из обобщенного критерия (2.1), тем самым упрощая проблему принятия решения и сводя ее к совместной оценке двух основных составляющих: результата и затрат.

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных форм связи результата с затратами в статической форме обобщенного критерия оптимальности, рассмотрим основную идею метода «стоимость – эффективность», используемого в качестве предварительного этапа при анализе и выборе наилучшего варианта сложного объекта. Каждый вариант задается точкой на плоскости в координатах «результат – затраты». Исследуя множество вариантов построения объекта, требуется выбрать варианты, наилучшие одновременно и по показателю результата и по стоимости. Этим условиям удовлетворяют варианты, лежащие на верхней огибающей множества исследуемых вариантов, называемой иначе кривой решений. Для любого варианта, находящегося под кривой решений можно найти хотя бы один вариант на кривой решений, лучший и по результату, и по стоимости. Кривая решений в общем случае будет иметь вид кривой с перегибом (рис. 2.8).

При одновременном задании ограничений на результат R_minи затратыC_maxзадача выбора варианта, наилучшего по некоторому критерию, возникает при попадании в допустимый по ограничениям (верхний левый) квадрант некоторой области кривой решений, причем естественно, что этот вариант обязан лежать на кривой решений. Конкретная форма обобщенного критерия оптимальности, т.е. форма связи результатов с затратами, определяется принципом, положенным в основу решения о целесообразности создания системы. В настоящее время широко применяются пять принципов.

Содержание первогоустанавливается обязательность получения прибыли от работы системы, причем чем больше прибыль, тем оптимальнее система. Формализацией этого принципа является критерий типа прибыли

. (2.3)

Второй принцип предполагает максимизацию результата на единицу затрат; его формализацией является критерий типа отношения

. (2.4)

Рис. 2.8. Кривая решений в координатах «результат – затраты»

Любая из характеристик результата Rи затратСпри фиксированной величине другой может быть критерием оптимальности. В этом случае возникают две широко применяемые постановки задачи оптимизации:

1. Максимизация результата при объеме расходуемых ресурсов не выше заданного:

. (2.5)

2. минимизация затрат при уровне результата не ниже заданного:

. (2.6)

В последнее время при проектировании и управлении организационно-экономическими объектами стал использоваться принцип, который формулируется как максимальный темп приближения эффективности к потенциально достижимому. Формализацией его является критерий вида

. (2.7)

Естественно, что варианты, являющиеся оптимальными по какому-то одному из рассмотренных критериев, вовсе не обязательно будут оптимальными по другим критериям. В общем случае ни одна из этих точек не совпадают с любой другой. Оптимальные значения по критериям (2.3), (2.4), (2.7) на кривой решений (соответственно точки 1, 2, 5 на рис. 2.8.) не могут меняться местами и имеют постоянный порядок следования (5, 2, 1) слева направо. Точки3, 4жестко связаны с величиной ограниченийR_minиC_max, в связи с чем именно уровень задаваемых ограничений обеспечивает их перемещение по кривой решения.

Для критерия типа прибыли (2.3) в точке 1значение. Так как точка1находится на ниспадающей ветви производной кривой решений, то дополнительное вложение единицы затратприведет к получению дополнительного результата, т.е., вкладывая дополнительно 1 руб., получаем дополнительный результат на величину, меньшую рубля, что является экономически нецелесообразным и приводит к понижению прибыли после достижения его максимума в точке1. В связи с этим значениеможно рассматривать как критическое, а все решения при– экономически нецелесообразными.

Анализ расположения конкретных форм обобщенного критерия га кривой решений, практический опыт использования критериев позволяет сформулировать следующие рекомендации по их применению.

В качестве критериев, формализующих цели развития объекта, целесообразно применять только критерии типа прибыли (2.3), отношения (2.4) и отношения приращений(2.7). Использование критериев максимума результата (2.5) и минимума затрат (2.6) нежелательно в связи с тем, что исследователь при необоснованно заданных ограничениях гарантирован от нахождения точка4 левее точки 5 (рис.2.8), что приведет к принятию экономически необоснованных решений. В качестве критериев, формализующих цели стабилизации, оправдано применение всех пяти форм обобщенного критерия, так как внешние ограничения по R_min,C_maxзаданы.

Критерий формы прибыли наименее экономичен в смысле коэффициента γ, требует для своего применения одинаковой размерности результата и затрат, что на практике не всегда достижимо. Однако вследствие своей линейной формы при линейных зависимостях результата и затрат от факторов модели удобен для использования в качестве целевой функции в задачах линейного программирования.

Наиболее целесообразно применение критерия формы отношения, который может использоваться при любых размерностях результата и затрат, более экономичен, чем критерий формы прибыли. Однако его использование из-за нелинейной формы в задачах, сводимых к моделям линейного программирования, невозможно. В лучшем случае математическая модель с критерием формы прибыли в качестве целевой функции формулируется как задача дробно0линейного программирования.

Критерий формы отношения превращений также может быть использован при любых размерностях результата и затрат. Хотя он является наиболее экономичным в смысле коэффициента γпрактические трудности, связанные с вычислением его значений (особенно для имитационных статистических моделей), до сих пор не привели к его широкому использованию.

Процедура формирования и анализа дерева целей.

Для правильной формулировки целей исследования и дальнейшего формирования критериев целесообразно построить и проанализировать дерево целей. Его построение можно проводить различными способами. Рассмотрим один из них:

1. Используя информацию о возникновении проблемы, данные содержательного описания, иерархическую модель объекта (дерево системы), проведите генерацию целей для объекта и каждого из его элементов. Изложите цели на бумаге, проверьте цели на однозначность понимания. Терминология должна быть согласована с заказчиком, и цели должны пониматься всеми однозначно.

2. Поставьте цели в соответствии элементам иерархической модели объекта, т.е. разнесите цели по уровням иерархии и элементам дерева системы. При этом верхним уровнем в дереве системы является уровень системы, включающий исследуемую в качестве подсистемы. Конкретное число уравнений определяется спецификой задачи и объемом имеющейся информации.

3. для каждого уровня иерархии последовательно снизу вверх выделите группы зависимых между собой целей, т.е. проведите горизонтальные связи между целями. Направленными стрелками установите зависимость целей внутри группы. При этом возможны следующие случаи:

4. Установите направленными стрелками зависимости между целями различных уровней иерархии, т.е. проведите вертикальные связи. При этом для целей двух смежных уровней цели нижнего должны являться целями-причинами, а цели верхнего уровня – целями-следствиями. Таким образом будет построено дерево целей системы, в общем случае состоящее из нескольких взаимосвязанных кустов.

5. Проведите анализ полученного дерева целей для возможного его упрощения (уменьшения числа целей). Анализ может заключаться в ответе на следующие вопросы:

Есть ли цели уровней ниже уровня исследуемой системы, не имеющие связей с целями уровней исследуемой системы и выше? В примере приведенном на рис.2.9, такие цели есть. Это цели 9, 18, 21.

Рис. 2.9. Пример построения и анализа дерева целей

В связи с тем, что цели элементов могут формулироваться только в связи с целью системы, указанные цели нужно исключить либо сформулировать цели следствия верхних уровней;

есть ли цели на 0-вом уровне, не связанные с целями нижних уровней? Есть – цель 3на рис. 2.9. Подобного рода цели при построении математических моделей нужно исключить, так как цели системы верхнего уровня должны подкрепляться целями составляющих ее подсистем, либо провести дополнительные исследования, позволяющие установить из связь с целями исследуемой системы. Возможно, цель3реализуется системой, которая не входит в окружение объекта исследования и, следовательно, характеристики объекта исследования и, следовательно, характеристики объекта не влияют на ее достижение;

есть ли между уровнями некорректные связи? Связь называется корректной, если цель-причина элемента нижнего уровня связана с целью-следствием элемента верхнего уровня, включающего в свой состав рассматриваемый элемент нижнего уровня;

есть ли между целями лишние связи. Так, цель 5влияет на цель1дважды: непосредственно и через цель6. В связи с этим связь между целями5и1может быть лишней. Связь от цели24к цели20является лишней, если дальнейшие исследования не подтвердят наличие взаимосвязей между целями6и7или6и8, на которые влияют цели20и24соответственно;

есть ли пропуск целей между уровнями? Есть. Цель 24связана через уровень с целью7, а этого быть не должно. Дополнительно проведенный анализ может найти цель25, принадлежащую уровню 2 (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Окончательный вид дерева целей

Помимо этих вопросов выявленные цели и взаимосвязи между ними анализируются с точки зрения логики взаимосвязи элементов в процессе функционирования, их технической, экономической, социальной осуществимости. Неосуществимые цели вычеркивают и проводят соответствующую корректировку дерева целей.

Конечные цели, оставшиеся после проведения анализа на уровне 0, являются для объекта исследования целями развития, а конечные цели уровня 1 – целями стабилизации. Именно они являются для формирования критериев оптимальности.

Формирование критериев и ограничений.

Построение совмещенного дерева целей – параметров.

В процессе формирования критериев для каждой конечной цели (корня) требуется установить вид цели (стабилизации или развития) и характер цели (качественная или количественная). Далее необходимо перестроить дерево целей в зависимости от постановки задачи исследования (на стабилизацию или развитие). При рассмотрении задач стабилизации цели развития выступают в виде ограничений – план задан и фиксирован. При рассмотрении задач развития целесообразно фиксировать в виде ограничений цели стабилизации, например формировать предприятию план в условиях неизменных системы управления, технологических процессов, норм расхода ресурсов и т.д. После окончания формирования плана можно ставить задачу стабилизации – совершенствовать систему управления, внедрять прогрессивные технологические процессы и оборудование, способствующие снижению расхода ресурсов и обеспечивающие повышение показателей производственно-хозяйственной деятельности предприятия.

Перевод качественных (точечных) целей в ограничения математической модели является достаточно сложной задачей. Достижение точечной цели может быть обеспечено различными вариантами построения объекта, причем ее достижение может определяться как наличием соответствующих элементов в структуре объекта, так и значениями параметров этих элементов.

Перевод точечной цели в ограничения предусматривает просмотр всех связанных с ней нижестоящих целей, определение состава элементов объекта, ее реализующих, выявление именно тех характеристик элементов, которые обеспечивают ее реализацию, а затем определение по математическим соотношениям (уровням связи) предельных количественных значений этих характеристик.

Ограничения на значения характеристик или параметров объекта, налагаемые условием достижения целее верхнего уровня (качественных или количественных), относятся к внешним ограничениям модели. Количественные цели-ограничения верхнего уровня устанавливают диапазоны изменения связанных с ними внутренних переменных модели, формализующих соответствующие цели нижних уровней, в итоге определяя диапазон изменения параметров элементов, обеспечивающих выполнение этих ограничений.

После корректировки дерева целей по результатам выявления внешних ограничений для каждой конечной количественной цели следует выбрать соответствующую форму обобщенного критерия оптимальности, учитывая вышеприведенные рекомендации. Далее с учетом нижних ветвей дерева целей формируют их структуру, т.е. определяют число и взаимосвязь основных компонентов, образующих критерий. Взаимозависимости компонентов в общем случае могут быть разнообразными и определяются спецификой задачи.

Поскольку математическая модель определяет зависимость выходных характеристик объекта от его параметров и характеристик кружения, все указанные факторы упорядочиваются в соответствии с содержательным описанием и моделью иерархической структуры объекта, принятой для построения дерева целей. Для каждого элемента модели иерархической структуры (дерево системы) по уровням снизу вверх дается перечисление характеризующих его первичных и производных факторов, а также воздействующих на этот элемент характеристик окружения, после чего он совмещается с соответствующими ему элементами из дерева целей – производится наложение множества факторов на дерево целей.

Далее устанавливаются связи между целями и определяющими их достижение факторами, при этом каждая цель формируется как производственный фактор переменная состояния), требующий для своего расчета наличия ряда первичных и предшествующих производных факторов, В ряде случаев при совмещении цель и переменная могут иметь эквивалентные формулировки и тождественно накладываются друг на друга. Например, цель «увеличить коэффициент использования рабочего времени оборудования» преобразуется в фактор «коэффициент использования рабочего времени оборудования». В ряде случаев при совмещении цель и переменная могут наложиться друг на друга. Например, цель «уменьшить численность обслуживающего персонала» совпадает с переменной «численность обслуживающего персонала». Для наглядности графического изображения получаемых взаимосвязей рекомендуется пользоваться различными обозначениями.

Пример совмещенного дерева целей-параметров для дерева целей, изображенного на рис.2.10, при постановке задачи на развитие системы представлен на рис.2.11.

Рис. 2.11. Пример совмещенного дерева целей-параметров

Особенностью совмещенного дерева целей-параметров является то, что, говоря образно, «корнями» дерева являются выходные характеристики, служащие для непосредственного расчета критериев оптимальности или ограничений (или являющиеся ими), начальные условия, переменные характеристики внешней среды – «листья дерева». В общем случае дерево не является однокоренным, т.е. имеется группа выходных характеристик, другими словами, деревья, имеющие различные «корни» имеют общие «ветви» и «листья».

Следует отметить, что при совмещении ряд факторов может остаться незадействованным, т.е. не влияющим ни на одну цель. Незадействованные факторы исключаются из рассмотрения только для данного этапа исследования, так как в дальнейшем при изменении целей может появиться цель, на которую влияют именно они.

Даже после исключения лишних факторов сложность оставшегося дерева целей-параметров может оставаться весьма высокой. Для его упрощения необходимо выявить факторы, влияние которых на выходные характеристики наиболее существенно, другими словами, определить существенные факторы.

С точки зрения поиска решений модели включение в модель дополнительных детерминированных факторов практически не влияет на объем вычислений, который возрастает в сотни раз при учете стохастической и неопределенной информации. Существенную роль при оптимизации играет число управляемых переменных. В связи с этим в качестве существенных факторов могут выступать только варьируемые в процессе исследования входы модели: управляемые переменные, случайные и неопределенные факторы. При отборе существенной информации решают задачу перевода несущественных с точки зрения влияния на результат варьируемых факторов в детерминированные факторы с установлением их числовых значений для использования в модели.

Перевод части варьируемых факторов в детерминированные может значительно упростить структуру дерева целей-параметров, так как ряд его ветвей становится либо полностью детерминированными, либо включают незначительное число варьируемых факторов. Это, в свою очередь, приведет к упрощению расчетов по математической модели.

Методы отбора существенных факторов модели

При отборе существенных факторов используют два основных типа методов:

1. Статистические методы, позволяющие на основании имеющегося статистического материала количественно оценить степень влияния факторов друг на друга и на результат.

2. Экспертные методы, при которых опыт специалистов и знания сущности исследуемого объекта позволяют оценить существенность факторов.

Использование методов математической статистики

Как было отмечено ранее, на результат функционирования системы влияют не только факторы, поддающиеся прямому количественному измерению, но и факторы, такому измерению не поддающиеся, – порядковые и классификационные качественные факторы. Для них исследователь устанавливает несколько градаций шкалы измерений (уровней). Эти уровни могут быть принципиально упорядочены, например для фактора»удобство обслуживания» – малое, среднее и высокое, и не упорячдочены, например для факторов «порядок обслуживания станков-автоматов» – неупорядоченное обслуживание станков, приоритетная загрузка слесарей-ремонтников.

Качественный фактор является существенным только в том случае, если существует два (или более) уровня (группы уровней), для которых существенно различаются выходные характеристики объекта. Так, например, исследования могут показать, что объем выпуска продукции на участке станков-автоматов существенно различаются по фактору «порядок обслуживания» для уровня «приоритетная загрузка слесарей-ремонтников» и уровней «неупорядоченное обслуживание» и «приоритетное обслуживание станков», а между последними уровнями неразличим. Для учета различимых уровней (групп уровней) качественных факторов требуется построение различных моделей функционирования одного и того же объекта. В связи с этим еще до начала построения модели требуется решать, необходимо ли включение в модель того или иного качественного фактора в качестве существенного, т.е. нужно ли в дальнейшем строить систему моделей, каждая из которых описывает тот или иной уровень интересующего исследователя качественного фактора.

Такое исследование проводится с помощью дисперсионного анализа, в процессе использования которого исследователь проверяет ряд гипотез. Прежде всего, выдвигается и проверяется гипотеза о равенстве выходных характеристик для всех уровней качественного фактора, другими словами, гипотеза о невыявлении качественного фактора на моделируемый процесс. Если эта гипотеза опровергается, то, следовательно есть некоторые уровни качественных факторов, существенно влияющие на результаты моделирования. В связи с этим проверяются гипотезы о равенстве выходных характеристик при попарном сравнении различных уровней качественных факторов между собой. Проверка подобных гипотез позволяет установить, какие уровни факторов неразличимы между собой, т.е. их можно рассматривать как один уровень, и какие отличаются друг от друга.

После выявления различимых, а следовательно, существенных уровней качественного фактора для каждого различимого уровня (группы уровней) подготавливается статистическая информация (табл.2.3.), а затем решается задача выявления взаимосвязи между входными количественными факторами, за счет чего сокращается количество независимых факторов.

Таблица 2.3. Представление статистических данных для отбора