1 сем 12 Множества и функции

МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ

1. Множества и операции над множествами

Понятие множество относится к первичным, неопределяемым понятиям математики. Множества можно составлять на основе самых различных признаков из объектов произвольной природы, которые называют элементами

данного множества. Обычно для обозначения множества используют прописные буквы, а для элементов строчные буквы некоторого алфавита. Если элемент a принадлежит множеству A , то пишут a A, если не принадлежит,

то записывают a A. Выражение a1, a2 , , an A означает, что элементы a1, a2 , , an принадлежат множеству A . Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством, в противном случае –

бесконечным множеством. Множество, не содержащее элементов, называется

пустым и обозначается .

Множество A называется подмножеством множества B , если всякий элемент из A является элементом в B , при этом используют обозначение

A B . Множества A и B равны, если A B и B A. Равенство множеств A

и B обозначается A B . Если A B и A B , то A называется собственным

(или строгим) подмножеством, и обозначается A B . Пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество можно задать перечислением элементов, так для множества

A , состоящего из элементов a1, a2 , , an , записывают A {a1, a2 , , an}.

Множества задают также описанием характеристических свойств, при этом используются обозначения A {x P(x)} или A {x : P(x)}, где P(x) –

свойство, которым обладают элементы x множества A . Если множество A

состоит из тех элементов x множества B , которые имеют свойство P(x) , то записывают A {x B P(x)} или A {x B : P(x)}.

Пример 1. Задать перечислением множество A {x Z x2 6x 5 0}.

Множество A является множеством целых решений неравенства x2 6x 5 0 . Решением данного неравенства является интервал (1,5) . В этот интервал попадают три целых числа 2 , 3 и 4 . Следовательно, A {2,3,4}. ▲

Объединением множеств A и B называется множество

A B {x (x A) (x B)}.

Пересечением множеств A и B называется множество

A B {x (x A) (x B)}.

Если A B , то множества A и B называются непересекающимися.

Разностью множеств A и B называется множество

A \ B {x (x A) (x B)}.

Обычно при решении конкретной задачи элементы всех рассматриваемых множеств берутся из некоторого множества U , которое называется

универсальным множеством (или универсумом). Тогда, если A U , то разность

U \ A называется дополнением множества A (до множества U ) и обозначается символом A .

Объединением множеств A1 , A2 ,…, An называется множество

n

Ak A1 A2 An {x (x A1) (x A2 ) (x An )}.

k 1

Пересечением множеств A1 , A2 ,…, An называется множество

n

Ak A1 A2 An {x (x A1) (x A2 ) (x An )}.

k 1

Разбиением непустого множества A называется совокупность его взаимно непересекающихся подмножеств таких, что объединение всех этих подмножеств совпадает с множеством A .

Для иллюстрации операций над множествами используют диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1). Множество на диаграмме изображается фигурой,

ограниченной замкнутой линией, множество представляющее результат операции заштриховывается.

Рис. 1. Диаграммы Эйлера-Венна.

Перечислим некоторые наиболее часто используемые в математическом анализе числовые множества.

1)N {1,2, } – множество натуральных чисел.

2)Z {0, 1, 2, } – множество целых чисел.

4)R – множество действительных чисел.

5)C – множество комплексных чисел.

6)[a, b] {x R a x b} – отрезок.

7)(a, b) {x R a x b} – интервал.

8)[a, b) {x R a x b} – полуинтервал открытый справа.

9)(a, b] {x R a x b} – полуинтервал открытый слева.

существует число C такое, что для всех x X справедливо x C ( x C ).

Число C в этом случае называется верхней (нижней) гранью множества X .

Множество ограниченное сверху и снизу называется ограниченным.

Наименьшая из верхних граней ограниченного сверху множества X

называется точной верхней гранью множества X и обозначатся sup X

(supremum (лат.) – наивысшее).

Наибольшая из нижних граней ограниченного снизу множества X

называется точной нижней гранью множества X и обозначатся inf X (infinum

(лат.) – наинизшее).

Точные верхняя sup X и нижняя грани inf X обладают следующими свойствами.

1)0 x X : x sup X .

2)0 x X : x inf X .

2. Отношения

Понятие отношения используется для описания связей между элементами

заданных множеств.

Непустое подмножество R A1 A2 An называется n -местным

( n -арным) отношением на множествах A1 , A2 ,…, An . Если (a1, a2 , , an ) R ,

Унарное отношение указывает на некоторое свойство части элементов данного множества. При n 2 отношения называются бинарными (или двухместными).

Если упорядоченная пара элементов (a1, a2 ) R , то используют обозначение a1Ra2 .

(a, c) R1 R2 , если найдется b B для которого aR1b и bR2c .

Обратным отношением к бинарному отношению R A B называется отношение R 1 B A, такое, что R 1 {(a, b) (b, a) R}.

Бинарное отношение R A2 называется бинарным отношением на множестве A , оно используется для определения взаимосвязей между элементами множества A .

Бинарное отношение R на множестве A называется:

–рефлексивным, если для всех a A выполняется aRa ;

–антирефлексивным, если для всех a A не выполняется aRa ;

–симметричным, если из aRb следует bRa ;

–антисимметричным, если из aRb и bRa следует a b ;

–транзитивным, если из aRb и bRc следует aRc .

Бинарное отношение R A2 называется отношением эквивалентности

(или эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности aRb обозначается a ~ b (используются также обозначения a b и a b ).

Бинарное отношение R A2 называется отношением толерантности,

если оно рефлексивно и симметрично.

Бинарное отношение R A2 называется отношением нестрого порядка

(или нестрогим порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Бинарное отношение R A2 называется отношением строго порядка (или строгим порядком), если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Оба этих отношения называются отношениями порядка.

Отношение порядка aRb обозначается a b (используются также обозначения a b – для строго порядка и a b – для нестрого порядка).

3. Соответствия и функции

Соответствием между множествами A и B называется упорядоченная тройка множеств F A, B, G , где G A B – некоторое бинарное

отношение на множествах A и B . Бинарное отношение G называют графиком

соответствия F . Если (a, b) G , то говорят, что b соответствует a при соответствии F .

Областью определения соответствия F A, B, G называют множество

D(F) {a A(a, b) G}, а областью значений соответствия F – множество

E(F) {b B (a, b) G}.

объединение образов всех элементов a C .

Прообразом множества C E(F) в A при соответствии F называется объединение прообразов всех элементов b C .

Соответствие F A, B, G называют:

– всюду (или полностью) определенным, если D(F) A , в противном случае – частично определенным;

–сюръективным, если E(F) B ;

–функциональным (или однозначным), если образом любого элемента

a D(F) является единственный элемент b E(F) ;

–инъективным, если прообразом любого элемента b E(F) является единственный элемент a D(F) ;

–взаимно однозначным (или биективным), если соответствие F является всюду определенным, сюръективным, функциональным и инъективным, то есть каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B , и каждый элемент из B соответствует единственному элементу из A .

F1 F2 A1, B2 , G1 G2 .

Соответствием обратным к F A, B, G называется соответствие

F 1 B, A, G 1 .

(x1, x2 , , xn ) D( f ) , y E( f ) .

Далее будем рассматривать действительные функции одного

Отображением A в B называется полностью определенная функция f : A B .

Отображением A на B называется полностью определенная и сюръективная функция f : A B .

Функцию задают одним из следующих способов.

1. Табличный способ. В таблице указывают значения функции для некоторых (или всех) значений аргумента xi , i 1, n . Данные таблиц получают непосредственно из опыта или из численных расчѐтов. Например,

Если зависимость между аргументом x и значением функции y

выражена уравнением, разрешѐнным относительно y , то в этом случае говорят,

что функция y от x задана явно. Например, y x2 .

Если значения функции y и аргумента x связаны соотношением

F(x, y) 0,

из которого нельзя выразить y относительно x , то в этом случае говорят, что функция y относительно аргумента x задана неявно. Например,

y5 xy4 2sin( x y) x 0.

Основными элементарными функциями называются функции:

1.степенная y xa (при a 0 , получаем y const);

2.показательная y xa ( a 0 );

3.логарифмическая y log a x ( a 0 , a 0);

4.тригонометрические y sin x , y cos x . y tg x , y ctg x ;

Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций, называется элементарной функцией.

Элементарные функции классифицируют следующим образом.

1. Многочлены (полиномы). Функцию

y Pn (x) an xn an 1xn 1 a2 x2 a1x a0 ( an 0)

называют многочлен (полином) n -ой степени.