лекции полностью

по области использования;

по фактору времени;

по отрасли знаний;

по форме представления;

по способу реализации.

Вклассификацию моделей по области использования входят:

учебные модели, используемые при обучении;

опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Их используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик;

научно - технические создаются для исследования процессов и явлений;

игровые используются для репетиции поведения объекта в различных условиях;

имитационные, служащие для отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок).

В классификацию моделей по фактору времени входят:

статические модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту), например, классификация животных, строение молекул;

динамические модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени), например, описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

Классификация моделей по форме представления включает:

материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры: детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты;

абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. это теоретический метод познания окружающей среды.

По признаку реализации модели бывают:

мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа (эта модель сопутствует сознательной деятельности человека);

вербальные (мысленные) модели, выраженные в разговорной форме, используются для передачи мыслей;

информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта.

Поскольку информационные модели являются наиболее распространенными, рассмотрим типы информационных моделей.

Табличные – объекты и их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной формы. Перечень однотипных объектов размещен в первом столбце (или строке), а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (или строках).

Иерархические – объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня.

Сетевые применяют для отражения систем, в которых связи между элементами имеют сложную структуру.

По степени формализации информационные модели бывают образнознаковые и знаковые.

Образно-знаковыми моделями являются:

геометрические (рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение);

структурные (таблица, граф, схема, диаграмма);

словесные (описание на естественном языке);

алгоритмические (нумерованный список, пошаговое перечисление, блок-схема).

Знаковые модели:

математические, которые представлены математическими формулами, отображающими связь параметров;

специальные, представленные на специальных языках (ноты, химические формулы);

алгоритмические, имеющие вид программы.

6. Основы математической логики

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы мышления (речи) от его содержания.

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Законы логики отражают в сознании человека свойства, связи и отношения объектов окружающего мира. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Понятие – это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта.

Понятие имеет две стороны: содержание, т.е. совокупность существенных признаков объекта, и объем, т.е. совокупность предметов, на которую данное понятие распространяется.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

Умозаключение – это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Алгебра логики - это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание - это любое повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo можно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.

Предложения типа “в городе A более миллиона жителей”, “у него голубые глаза” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма - это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными или простыми.

Валгебре высказываний суждениям (простым высказываниям) ставятся

всоответствие логические переменные, обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Такие логические переменные могут принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0).

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не»,, «и»,

«или», «если... , то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Рассмотрим пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

6.1.Логическое умножение (конъюнкция)

Объединение двух (или более) высказываний в одно с помощью союза

«и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение).

Составное высказывание, образованное в результате операции логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания. В алгебре высказываний данная операция обозначается точкой «•» (может также обозначаться знаками или &).

Образуем составное высказывание F, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний:

F=A&B.

С точки зрения алгебры высказываний записана формула функции логического умножения, аргументами которой являются логические переменные A и B, которые могут принимать значения «истина» (1) и «ложь» (0).

Сама же функция логического умножения F также может принимать лишь два значения: «истина» (1) и «ложь» (0). Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов:

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

В алгебре высказываний данная операция обозначается знаком . Рассмотрим, каким образом импликация связывает два элементарных

высказывания. Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник - квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А В,

понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А В истинно:

1.А истинно и В истинно, т.е. данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2.А ложно и В истинно, т.е. данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3.A ложно и B ложно, т.е. данный четырёхугольник не является

квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т.е. данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “если ..., то” описывает причинноследственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

“если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы”, “если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин”.

Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов:

6.5.Логическое равенство (эквиваленция)

Логическое равенство (эквиваленция или двойная импликация)

образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборотов

речи “…тогда и только тогда, когда…”, «необходимо и достаточно”, “...

равносильно ...”.

Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба значения одновременно либо истинны, либо ложны. В алгебре высказываний данная операция обозначается знаком или ~.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” ( ), “пингвины не живут в Антарктиде” ( ). Образованные из высказываний А, В составные высказывания A B и истинны, а высказывания A и B - ложны.

Значение логической функции можно определить с помощью таблицы истинности данной функции, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов:

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание,

конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

А В = v В.

Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

А В = ( v В) • ( v А).

Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции

достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции - дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь - импликация.

6.6.Логическая формула

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить логической формулой.

Определение логической формулы:

1. Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) - формулы.

2.Если А и В - формулы, то , (А • В), (А v В), (А B), (А В) - формулы.

3.Никаких других формул в алгебре логики нет.

Вп. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила

образования из любых данных формул новых формул.

Вкачестве примера рассмотрим высказывание “если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог”. Это высказывание

формализуется в виде (A v B) C; такая же формула соответствует высказыванию “если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика”.

Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет,

например, формула Аv , соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А • , которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями.

Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются

логически ложными высказываниями.

Две формулы - А и В - называются равносильными, если при одинаковых наборах значений входящих в них переменных они принимают одинаковые значения.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “=” или символом “ ”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется

равносильным преобразованием данной формулы.

6.7.Основные законы математической логики

В алгебре логики выполняются следующие основные законы,

позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений:

Переместительный

Сочетательный

Распределительный