Задание на работу

Для статически неопределимой рамы требуется провести расчеты по методу перемещений на силовые воздействия, на изменения температурного режима и на осадки опор, предусматривающие выполнение следующих пунктов задания:

1) определение степени кинематической неопределимости рамы, равной числу неизвестных по методу перемещений,

2) образование основной системы метода перемещений,

3) составление канонических уравнений метода перемещений,

4) построение в основной системе эпюр изгибающих моментов от единичных перемещений,

5) построение в основной системе эпюр изгибающих моментов от заданных силовых нагрузок, изменения температурного режима и осадок опор,

6) подсчет величин коэффициентов канонических уравнений и их проверки,

3

7) решение системы канонических уравнений метода перемещений для определения величин искомых угловых и линейных перемещений узлов и проверка полученных значений,

8) построение расчетных эпюр внутренних усилий M, Q, N от заданной силовой нагрузки,

9) выполнение проверок расчетных эпюр M, Q, N,

10) определение перемещений в заданных сечениях статически неопределимой рамы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Условимся называть степенью кинематической неопределимости «n» число неизвестных узловых перемещений системы, знание которых позволяет полностью определить деформированное состояние системы. Для упругих систем это дает возможность определить также все усилия.

Степень кинематической неопределимости определяется по формуле:

, (1)

где равно числу углов поворота жестких внеопорных узлов рамы, аравно числу независимых линейных смещений узлов рамы.

Жесткими являются такие узлы рамы, в которых концы не менее двух сходящихся в нем стержней соединены сваркой или спайкой (рис. 1).

Рис. 1

С учетом допущения о нерастяжимости и несжимаемости стержней рамы, что соответствует бесконечно большой величине жесткости стержней на растяжение-сжатие , линейные перемещения узлов рамы, расположенных на одном стержне, будут линейно зависимыми.

Для определения величины во все жесткие узлы рамы, в том числе и опорные, вводятся полные шарниры. Степень свободы полученного механизма совпадает с величинойи может быть подсчитана по формуле:

, (2)

4

где Д – число «дисков» (стержней), Ш – число «простых» шарниров, объединяющих два диска (стержня), – число опорных стержней системы.

Следует помнить, что полный (сложный) шарнир, соединяющий шарнирно в узле концы «к» дисков (стержней), эквивалентен «к-1» простому шарниру, объединяющему в узле лишь два стержня рамы.

Кроме того, при введении шарниров в узлы рамы все статически определимые консоли рамы необходимо предварительно отбросить.

Рис. 2

Например, для рамы (рис. 2 а) преобразованная схема приведена на рис. 2 б и включает в себя:

1. Д = 5– пять дисков (с учетом двух отброшенных консолей),

2. Ш = 4 – четыре «простых» шарнира (с учетом объединения слож-

ным шарниром в узле «2» трех дисков),

3. =6 – шесть опорных стерженьков (по два в каждой шарнирно-

неподвижной опоре).

В результате по формуле (2) получаем степень свободы преобразованной системы равной

,

что соответствует возможности линейного горизонтального смещения узлов 1, 2, 3 на одну и ту же величину, так как по допущению «1» жесткость всех стержней рамы на растяжение и сжатие бесконечно велика ().

Таким образом, выявлено, что для рамы с рис. 2 а величина Так как данная рама включает в себя три жестких внеопорных узла, то для нее величинаа общее число неизвестных по методу перемещений равно:

Данная величина n равна степени кинематической неопределимости исходной системы, то есть сумме общего числа независимых угловых перемещений жестких узлов рамы и общего числа независимых поступательных перемещений узлов рамы.

5

Для образования основной системы метода перемещений в исходную систему необходимо ввести «» дополнительных связей, устраняющих как угловые, так и линейные смещения узлов рамы. Данные связи бывают двух типов:

1. отдельные стержни устраняют линейные смещения узлов и изобра-

жаются на схемах в виде вертикальных или горизонтальных опорных стерженьков,

2. «шайбы», эквивалентные «плавающим» заделкам, не допускающим

поворота узлов, устраняют их угловые перемещения, не влияя на линейные смещения узлов, и изображаются на схемах в виде квадрата ( ).

Введение «» перечисленных дополнительных связей превращает исходную систему в набор независимо деформирующихся стержней, различным образом закрепленных по концам и представленных на рис. 3.

Рис. 3

Например, для рамы (рис. 4 а) со степенью кинематической неопределимости основная система метода перемещений приведена на рис. 4б, где дана также и нумерация дополнительных связей.

Рис. 4

Следует помнить, что в исходной статически неопределимой системе перемещения конкретного сечения любого стержня вызывают перемещения всех сечений других стержней за счет угловых и линейных смещений узлов системы. В отличие от этого в основной системе метода перемещений деформации каждого стержня независимы от деформаций других стержней, что существенно облегчает расчет статически неопределимой системы.

6

Для составления канонической системы уравнений метода перемещений на основную систему необходимо наложить условия эквивалентности работы с исходной системой. Так как в исходной системе имеют место повороты и поступательные смещения узлов, то основной системе надо задать такие же повороты и смещения. Тогда реакции во всех дополнительно введенных «» связях основной системы, сопротивляющихся поворотам и смещениям, будут равны нулю, что даст систему уравнений вида:

. (3)

Запись уравнений (3) соответствует полной эквивалентности напряженно-деформированных состояний основной и исходной систем.

На основе использования принципа суперпозиции (независимости действия сил) уравнения (3) можно переписать в развернутом виде:

, (4)

где – неизвестные метода перемещений,реакция вi-й дополнительной связи от единичного перемещения j-й дополнительной связи, соответственно реакции вi-й дополнительной связи от внешней нагрузки, изменения температуры и осадки опор.

Для определения величин коэффициентов уравнений (4) необходимо построить в основной системе метода перемещений эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений, а также эпюры изгибающих моментовот силовых нагрузок, изменения температурного режима и осадок опор. При построении данных эпюр используются результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней, подвергнутым всем возможным воздействиям при любых возможных типах закреплений по концам. Данные результаты получены по методу сил и приведены в приложении к методическим указаниям.

Необходимо отметить, что приведенные в приложении реактивные усилия по концам данных стержней записаны через погонные изгибные жесткости стержней, подсчитываемые по формуле:

(5)

где –изгибная жесткость«к»–го стержня,–его длина.

7

Кроме того, погонные изгибные жесткости всех стержней основной системы необходимо выразить через базовую (основную) погонную жесткость одного из стержней по формуле:

(6)

Это позволяет выразить все узловые реакции и моменты в основной системе от действия единичных перемещений через величину

Рис. 5

Например, для основной системы метода перемещений (рис. 5) с учетом длины наклонной стойки «3 – d», равной (м),

величины погонных изгибных жесткостей стержней будут равны:

Далее необходимо изобразить деформационные схемы основной системы метода перемещений от единичных смещений ,, что позволит выявить расположение растянутых волокон всех стержней.

Затем требуется построить эпюры «единичных» изгибающих моментов от единичных перемещений. При этом используются результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней, приведенные в приложении к указаниям.

Следует помнить, что ординаты данных табличных эпюр для конкретного «к» - го стержня необходимо умножить на соответствующий ему коэффициент в формуле (6). Эпюры «единичных» изгибающих моментов

дают возможность подсчитать величины всех коэффициентовпри неизвестныхв уравнениях (4).

Для подсчета в уравнениях (4) величин , являющихся соответственно реакциями вi-й дополнительной связи от действия внешней нагрузки, изменения температурного режима и осадки опор, в основной

8

системе метода перемещений необходимо построить «грузовые» эпюры изгибающих моментов от соответствующих воздействий. При этом вновь необходимо использовать приведенные в приложении к указаниям результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней.

Методики непосредственного подсчета величин коэффициентов уравнений (4) от силовых воздействий, изменений температурного режима и осадок опор приведены в примерах расчета статически неопределимых рам на соответствующие внешние воздействия.

ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ НА СИЛОВЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

Покажем применение алгоритма метода перемещений на примере [6] расчета на внешние силовые воздействия статически неопределимой рамы, показанной на рис. 6 а.

Рис. 6

Данной рама характеризуется степенью статической неопределимости

что соответствует трем дополнительным неизвестным по методу сил.

Между тем по методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь

,

что приводит к решению системы двух алгебраических уравнений для нахождения угла поворота среднего жесткого узла рамы и горизонтального смещения узлов ригеля рамы

Для образования основной системы метода перемещений в жесткий средний узел рамы ставим угловую связь «шайбу», препятствующую его повороту, и дополняем правый верхний узел рамы линейной связью в виде опорного стерженька, устраняющую линейную подвижность узлов ригеля.

9

Полученная таким образом основная система метода перемещений приведена на рис. 6 б. Неизвестными, число которых совпадает с числом добавленных связей, являются угол поворота среднего жесткого узла рамы и горизонтальное смещение узлов ригеля рамы

Канонические уравнения метода перемещений, отрицающие наличие реакций в дополнительно введенных связях, при имеют вид:

. (7)

Для определения величин коэффициентов при неизвестных и грузовых слагаемыхнеобходимо построить эпюры изгибающих моментов от единичных смещений,и от внешней силовой нагрузки.

Подсчитываем погонные изгибные жесткости стержней основной системы по формуле (5) и получаем:

Выражая через базовую величинунаходим

и приводим их значения на основной системе (рис. 6 б).

Деформированное состояние основной системы от единичного угла поворота дополнительной связи «1» приведено на рис. 7 а, где также показана «единичная» эпюра изгибающих моментов Отметим, что ординаты данной эпюры показаны со стороны растянутых волокон и получены умножением ординат соответствующих эпюр типовых задач из приложения к указаниям на величины.

Деформированное состояние основной системы от единичного линейного смещения в направлении дополнительной связи «2» приведено на рис. 7 б, на котором также показана «единичная» эпюра изгибающих моментов Отметим, что от действияизгибные деформации и изгибающие моменты возникают только на стойках рамы. Ординаты эпюры

вновь получены умножением ординат соответствующих эпюр типовых задач из приложения к указаниям на величины

Для определения величины реакциирассматриваем равновесие узла основной системы с шайбой «1», при этом к частям стержней, примыкающих к «1», прикладываются моменты, взятые с эпюры(рис. 7г). Из условия равенства нулю суммарного момента в шайбе «1» находим:

Для определения величины реакции рассматриваем равновесие узла с шайбой «1», прикладывая к частям стержней, примыкающих к «1», моменты, взятые с эпюры(рис. 7г). При этом из условия равенства нулю суммарного момента в шайбе «1» находим

10

Рис. 7

В соответствии с теоремой о взаимности реакций, предложенной в 1873 г. Рэлеем и записываемой в виде величина реакции

Для определения величины реакции рассмотрим равновесие отсеченного ригеля, загруженного реакциями, передаваемыми на него стойками. Так как в соответствии с эпюрой(рис. 7б) концевые моменты в стойках вращают их против движения часовой стрелки, то опорные реакции в данных стойках создают пары сил, вращающие в противоположную сторону, то есть по движению часовой стрелки.

11

Таким образом, ригель передает на стойки в их верхних сечениях силы, действующие направо.

В соответствии с законом Ньютона стойки передают на ригель равные по величине силы, направленные налево и показанные на рис. 7 г. Из условия равновесия отсеченного ригеля находим:

Следует помнить, что величина реакции в дополнительной связи положительна, если ее направление совпадает с выбранным направлением

перемещения .

Грузовая эпюра построена в основной системе метода перемещений с использованием типовых задач из приложения к указаниям и приведена на рис. 7в. Для определения величин грузовых коэффициентов уравнений (7) рассматриваем равновесие шайбы «1» и равновесие отсеченного ригеля в соответствии со схемами, приведенными на рис. 7д.

При этом из условия равенства нулю суммарного момента в шайбе «1» находим величину кН м, а из условия равенства нулю суммарной горизонтальной силы, действующей на отсеченный ригель, получаем величинукН.

Изложенный выше способ вычисления величин коэффициентов и грузовых слагаемых канонических уравнений метода перемещений называется статическим. Для проверки полученных значений инеобходимо использовать методику «перемножения» эпюр, заключающуюся в подсчете величин:

(8)

где - эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки в произвольной геометрически неизменяемой и статически определимой системе, получаемой изисходной системы устранением всех «лишних» связей и не содержащей дополнительных связей основной системы метода перемещений.

Отметим, что вычисление величин определенных интегралов (8) можно осуществить по формуле Симпсона или по способу Верещагина.

Изложенная методика подсчета величин иуравнений (4) позволяет проверить значенияи, полученные статическим способом.

Для рассматриваемого примера система канонических уравнений (7) после подстановки вычисленных значений ипринимает вид:

.

12

Решая данную систему уравнений, находим величины перемещений:

Для построения расчетной эпюры изгибающих моментов в раме необходимо промасштабировать единичные эпюры моментов, умножив их на

вычисленные величины узловых перемещений, и сложить их с эпюрой грузовых моментов , то есть использовать формулу:

(9)

принимающую в случае рассматриваемого примера с n = 2 вид:

Построенная по данной формуле расчетная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 8а.

Рис. 8

По методике, аналогичной используемой в методе сил, по расчетной эпюре изгибающих моментов M строится расчетная эпюра поперечных (перерезывающих) сил Q (рис. 8 б), а затем с использованием ординат эпюры Q строится расчетная эпюра продольных сил N (рис. 8 в).

13

Для проверки правильности построения расчетных эпюр M, Q, N необходимо:

1. рассмотреть поочередно все узлы рамы и удостовериться в выполне-

нии для них уравнений равновесия:

2. провести статическую проверку равновесия рамы: освободить раму

от опорных закреплений, заменив их реакциями опорных связей, и проверить условия равновесия всей рамы с учетом внешней нагрузки (рис. 8 г):

3. провести кинематическую проверку расчетной эпюры M, заклю-

чающуюся в выполнении условия:

(10)

где - эпюра моментов, построенная в любой основной системе метода сил от совместного действия «единичных» усилий

Для рассматриваемой рамы эпюра приведена на рис. 9, величина определенного интеграла в формуле (10) может быть подсчитана по формуле Симпсона или по способу Верещагина.

Рис. 9

Выполнение всех перечисленных проверок расчетных эпюр M, Q, N свидетельствует о правильности расчета статически неопределимой рамы методом перемещений на действие внешних силовых нагрузок. На основании расчетных эпюр M, Q, N проверяется прочность характерных сечений рамы и определяются величины характерных перемещений в раме.

14

ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ

НА ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА

Наряду с внешними силовыми воздействиями статически неопределимые рамы подвергаются также изменениям температурного режима, причем возникающие при этом напряжения зачастую сопоставимы с напряжениями от внешних нагрузок.

Покажем применение алгоритма метода перемещений на примере [4] расчета на изменения температурного режима статически неопределимой рамы, показанной на рис. 10 а.

Рис. 10

15

Данной рама характеризуется степенью статической неопределимости

что соответствует пяти дополнительным неизвестным по методу сил.

Между тем по методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь

,

что приводит к решению системы двух алгебраических уравнений для нахождения угла поворота среднего жесткого узла рамы и правого жесткого узла рамы

Для образования основной системы метода перемещений в жесткие средний и правый узлы рамы ставим угловые связи «шайбы», препятствующие их повороту. Полученная таким образом основная система метода перемещений приведена на рис. 10 б.

Канонические уравнения метода перемещений при расчете рамных систем на действия температуры имеют вид:

. (11)

Коэффициенты при неизвестных вычисляются так же, как и при действии внешней нагрузки. Для определения реакций в дополнительных связях основной системы от температурных воздействийиспользуем результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней, подвергнутых неравномерному нагреву, которые приведены в приложении к методическим указаниям.

Для рамы (рис. 10 а) принимаем внутреннюю и внешнюю температуры равными Длины всех стержней равны, постоянны изгибные жесткости стержней и погонные изгибные жесткостиПринимаем также высоту для всех стержней рамы равной

Считаем в дальнейшем, что температура линейно изменяется по высоте сечения от величиныдо величины. Кроме того, представляем температурное воздействие на каждый стержень рамы в виде суммы симметричного равномерного нагрева средней температурой, вызывающего удлинение стержня на величину, и кососимметричного действия температурного перепада величиной, при котором искривляется ось стержня при сохранении его длины.

Для стержней рамы из рассматриваемого примера (рис. 10 а) величины средних температур и температурных перепадов будут равны:

16

1) для обоих ригелей ,,

2) для левой стойки ,,

3) для правой стойки ,.

Весьма ответственным этапом расчета на температурные воздействия является построение эпюры изгибающих моментов от температуры в основной системе метода перемещений. Для упрощения данной задачи выполняем ее в два этапа. На первом из них не учитываем удлинений стержней от средней температуры и строим частную эпюру от неравномерного нагрева. На втором этапе учитываем лишь удлинения стержней от средней температуры и строим частную эпюру от равномерного нагрева.

Эпюру (рис. 10д) необходимо строить последовательно для каждого стержня основной системы (рис. 10б), привлекая для этогорезультаты решения типовых задач, приведенные в приложении к указаниям.

Например, для ригелей рамы и ее правой стойки разность температур одинакова и равна . По табл. 1 приложения для стержня, жестко защемленного по двум концам, эпюраимеет вид прямоугольника с ординатой:

.

Так как для левой стойки рамы , то эпюрадля нее отсутствует.

Для построения эпюры (рис. 10е) от равномерного нагрева необходим учет относительного смещения концов всех стержней основной системы. При отдельном рассмотрении каждого стержня с использованием нумерации узлов с рис. 10аустанавливаем следующее:

1. для стержня 0-1 правая заделка смещается вверх на величину уд-

линения стойки 1-3 от действия , равного. В соответствии с табл. 1 приложения к указаниям при единичном взаимном смещении концов моменты равны, а от смещения, равного, моменты составят,

2. для стержня 1-2 левая стойка удлиняется на величину , пра-

вая– удлиняется на величину , поэтому относительное смещение концов стержня 1-2 составит. В этой связи моменты на концах стержня равны,

3. для стержня 1-3 верхний узел сместится вправо на величину удли-

нения ригеля 0-1, равного . При единичном смещении заделки для стержня с шарниром на другом конце момент равен, тогда от смещениямомент составит,

17

4. для стержня 2-4 смещение верхнего узла равняется сумме удлине-

ний стержней 0-1 и 1-2 от действия средней температуры , поэтому моменты на концах стойки 2-4 составят.

Суммируя ординаты эпюр от неравномерного нагрева и равномерного нагрева, получаем суммарную эпюру от температуры, приведенную на рис. 10ж.

Эпюры «единичных» моментов и , построенные соответственно от единичных поворотов «шайб» 1 и 2, приведены на рис. 10виг.

Последовательно рассматривая равновесие вырезанных «шайб» 1 и 2, подсчитываем величины реакций , входящих в систему канонических уравнений рассматриваемого примера:

, (12)

и равных соответственно:

.

При вырезании тех же «шайб» и прикладывании к ним моментов, взятых с эпюры , определяем величины слагаемыхв уравнениях (12), а именно:

.

Система канонических уравнений метода перемещений будет вида:

.

Решая данную систему уравнений, получаем искомые величины углов поворота «шайб» 1 и 2, а именно:

.

Для построения расчетной эпюры изгибающих моментов от действия температуры необходимо промасштабировать единичные эпюры моментов и, умножив их на вычисленные величины узловых перемещений, и сложить их с эпюрой моментов , то есть использовать формулу:

(13)

принимающую в случае рассматриваемого примера с n = 2 вид:

Построенная по данной формуле расчетная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 10з.

Эпюра поперечных сил Q строится по эпюре изгибающих моментов М

обычным способом, также стандартен алгоритм построения эпюры продольных сил N с использованием ординат эпюры Q.

18

ПРИМЕР РАСЧЕТА РАМЫ

НА ОСАДКИ ОПОР

Покажем применение алгоритма метода перемещений на примере [4] расчета статически неопределимой рамы (рис. 11 а) на действия осадок или других перемещений опор.

Данной рама характеризуется степенью статической неопределимости

что соответствует пяти дополнительным неизвестным по методу сил.

Рис. 11

19

Между тем по методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь

,

что приводит к решению системы двух алгебраических уравнений для нахождения углов поворота левого и среднегожесткого узла рамы.

Для образования основной системы метода перемещений в жесткие левый и средний узлы рамы ставим угловые связи «шайбы», препятствующие их повороту. Полученная таким образом основная система метода перемещений приведена на рис. 11 б.

Канонические уравнения метода перемещений при расчете рамных систем на смещения опор имеют вид:

. (14)

Коэффициенты при неизвестных вычисляются так же, как и при действии внешней нагрузки. Для определения реакций в дополнительных связях основной системы от осадок опорнеобходимо использовать результаты решения типовых задач для статически неопределимых стержней от перемещений опор, которые приведены в приложении к методическим указаниям.

В рассматриваемой раме опорный шарнир средней стойки сместился по линии, составляющей с горизонтом угол в , на величину. Эпюры «единичных» изгибающий моментови построены с учетом одинаковой изгибной жесткостивсех стержней рамы и приведены соответственно на рис. 11в и г.

Эпюра изгибающих моментов в основной системе от перемещения приведена на рис. 11д. При ее построении табличные результаты из приложения к указаниям, соответствующие единичному смещению, умножились на величину . Кроме того, от перемещения узла «5» (рис. 11а) на величину под углом вотносительные смещения концов стержней основной системы также будут под углом ви составят:

1. для стержней 2-3 и 3-4 ,

2. для стержня 5-3 .

С учетом данных величин и найдены ординаты эпюры (рис. 11д).

По эпюрам и находим реакции в «шайбах» 1 и 2, являющиеся коэффициентами уравнений при искомых неизвестныхи:

.

20

По эпюре определяем слагаемые, зависящие от смещения опоры 5:

,.

Система уравнений (14) при n=2после подстановкиии сокращения всех слагаемых на величину изгибной жесткостибудет:

.

Решая данную систему уравнений, находим искомые значения:

.

Затем масштабируем эпюры ии строим расчетную эпюру изгибающих моментов от осадок опор по формуле:

Данная эпюра приведена на рис. 11 е. Эпюра поперечных сил Q строится по эпюре изгибающих моментов М стандартным способом, также обычен алгоритм построения эпюры продольных сил N с использованием ординат эпюры Q.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМАХ

Для определения перемещений в статически неопределимой раме независимо от способа построения в ней расчетной эпюры изгибающих моментов M (по методу сил, по методу перемещений) необходимо:

1. выбрать любую основную систему по методу сил в виде статически

определимой и геометрически неизменяемой рамы,

2. построить в основной системе эпюру моментов от действия еди-

ничного силового фактора в сечении, где определяется перемещение.

3. определить искомую величину перемещения по формуле:

. (15)

Следует помнить, что для упрощения расчетов необходимо выбирать наиболее простую основную системы метода сил.

Известно, что при определении линейного перемещения (вертикального или горизонтального) по искомому направлению перемещения прикладывается единичная сила, а при нахождении угла поворота сечения – единичный момент.

Величина определенного интеграла (15) может быть подсчитана по способу Верещагина или по формуле Симпсона.

Рассмотрим пример определения в статически неопределимой раме горизонтального и вертикального перемещений и угла поворота сечения.

21

Для рассматриваемой рамы (рис. 12 а)степень статической неопределимости составляет что соответствует трем дополнительным неизвестным по методу сил.

По методу перемещений число неизвестных, равное степени кинематической неопределимости рамы, составляет лишь .

Построенная по методу перемещений эпюра изгибающих моментов M приведена на рис. 12б. На рис. 12в показаны искомые перемещения: вертикальное перемещение в середине ригеля , горизонтальное перемещение в середине стойкии угол поворота внеопорного узла рамы.

Рис. 12

На рис. 12 г, д, е приведены наиболее экономичные основные системы по методу сил, соответствующие поиску данных перемещений, а также со-

22

ответствующие единичные силовые факторы и эпюры изгибающих моментов от действия данных единичных силовых факторов.

Искомые перемещения подсчитаны по формуле Симпсона и равны:

.

.

.

Положительные величины перемещений ,исвидетельствуют о том, что направления перемещений совпадают с выбранными направлениями единичных силовых факторов, а именно:направлено вниз,- влево, а- по движению часовой стрелки.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИММЕТРИИ ПРИ РАСЧЕТАХ РАМ

МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Если геометрия статически неопределимой рамы симметрична относительно ее средней оси, то расчет рамы по методу перемещений (как и по методу сил) можно существенно упростить. Для этого необходимо:

1. представить внешние воздействия на рамы в виде суммы прямо-

симметричных (ПС) и обратносимметричных (ОС) воздействий,

2. преобразовать расчетную схему рамы на основе того, что от пря-

мосимметричных нагрузок (ПС) в симметричных рамах возникает прямосимметричное напряженно-деформированное состояние (ПС), а от обратносимметричных нагрузок (ОС) – обратносимметричное (ОС).

3. рассчитать половину рамы (ПС) на действие ПС воздействий, по-

строить расчетную эпюру изгибающих моментов для половины рамы и продолжить эпюрупрямосимметрично на другую половину рамы,

4. рассчитать половину рамы (ОС) на действие ОС воздействий, по-

строить расчетную эпюру изгибающих моментов для половины рамы и продолжить эпюруобратносимметрично на другую половину рамы,

5. построить расчетную эпюру моментов в раме на основании прин-

ципа суперпозиции (независимости действия сил) по формуле:

.

6. построить расчетную эпюру поперечных (перерезывающих) сил Q

с использованием ординат эпюры M,

7. построить расчетную эпюру продольных усилий N с использовании

ем ординат эпюры Q.

23

а).

Рис. 13

24

В качестве примера преобразования внешних силовых нагрузок и расчетных схем рассмотрим характерную раму, приведенную на рис. 13 а и объединяющую в себе все возможные случаи воздействий и закреплений.

Прямосимметричные (ПС) составляющие внешних нагрузок для рамы даны на рис. 13 б, обратносимметричные (ОС) – на рис. 13 в.

При представлении внешних силовых воздействий на раму в виде суммы прямосимметричных (ПС) и обратносимметричных (ОС) воздействий необходимо помнить следующее:

1. вертикальная сосредоточенная сила , расположенная на оси сим-

метрии, учитывается лишь в ПС (рис. 13 б) и при расчете половины рамы в ПС величина ее составляет (рис. 13г),

2. сосредоточенный момент , расположенный на оси симметрии,

учитывается лишь в ОС (рис. 13 в) и при расчете половины рамы в ОС величина его составляет (рис. 13д),

3. вертикальная распределенная нагрузка , равнодействующая кото-

рой расположена на оси симметрии (рис. 13 а), учитывается лишь в ПС (рис. 13 б) и при расчете половины рамы в ПС величина ее составляет, как и в исходной раме, (рис. 13г), что отличает ее от всех других нагрузок,

4. во всех остальных случаях представления внешних силовых воз-

действий на раму в виде суммы прямосимметричных (ПС) и обратносимметричных (ОС) воздействий необходимо ориентироваться на схемы преобразований, приведенные на рис. 13, и помнить, что при расчете половины рамы (в ПС или в ОС) величины нагрузок составляют половину от их истинных значений.

При построении прямосимметричной (ПС) и обратносимметричной (ОС) расчетных схем половины рамы необходимо помнить следующее:

1. если на оси симметрии в ригеле расположен промежуточный шар-

нир, то для половины рамы в ПС ставится горизонтальный опорный стержень (рис. 13 г), а в ОС – вертикальный опорный стержень (рис. 13 д),

2) если на оси симметрии в ригеле нет промежуточного шарнира, то для половины рамы в ПС ставится вертикальный ползун (рис. 13 г), а в ОС вертикальный опорный стержень (рис. 13 д),

3) если ось симметрии пересекает стойку рамы, шарнирно соединенную с ригелем, то для половины рамы в ПС ставится шарнирно-неподвижная опора (рис. 13 г), а в ОС расчетная схема данной части рамы остается прежней, но учитывается половинная изгибная жесткость средней стойки – (рис. 13 д),

4) если ось симметрии пересекает стойку рамы, жестко соединенную с ригелем, то для половины рамы в ПС (рис. 13 г) ставится жесткое защемление, а в ОС расчетная схема данной части рамы остается прежней, но учитывается половинная изгибная жесткость средней стойки – (рис. 13 д).

25

Расчетные схемы для половины рамы приведены соответственно на рис. 13 г (ПС) и рис. 13 д (ОС).

Следует помнить, что степень кинематической неопределимости всей рамы равна сумме степеней кинематической неопределимости половин рамы для прямосимметричной (ПС) и обратносимметричной (ОС) расчетных схем, то есть справедлива формула:

.

Например, для рамы с рис. 13 , что соответствует введению четырех шайб,,.

Таким образом, число неизвестных по методу перемещений для половины рамы и по схеме ПС, и по схеме ОС существенно меньше числа неизвестных для всей рамы, что существенно облегчает расчет статически неопределимой рамы.

РАСЧЕТ РАМ С НАКЛОННЫМИ СТОЙКАМИ

ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Рассмотрим особенности расчета статически неопределимых рам с наклонными стойками. В качестве примера взята рама [3] (рис. 14 а) со степенью кинематической неопределимости . Неизвестными являются углы поворотов жестких внеопорных узлов 1 и 2 -и

, а также линейное смещение узла 2 по перпендикуляру к стержню 2-3.

Основную систему метода перемещений (рис. 14 б) получаем введением «шайб» в узлы 1 и 2 и опорного стержня к узлу 2, наклоненного к вертикали под углом . Система канонических уравнений метода перемещений приn=3 принимает вид:

. (16)

Для данной рамы ввиду отсутствия поперечной нагрузки на стержни грузовые слагаемые уравнений будут равны

Длина наклонной стойки 2-3 равна , а величины погонных изгибных жесткостей всех стержней основной системы равны, тогда величины реакций в «шайбах» 1 и 2 составляют:

.

Для определения величины реакции необходимо построить эпюру изгибающих моментов от действия единичного смещенияи определить по ней узловые поперечные силы(рис. 14в).

26

Рис. 14

Условия равновесия предполагают, что силы, действующие в каждом узле шарнирной схемы рамы, уравновешиваются. Найдем величину продольной силы , проектируя все приложенные к узлу 1 силы на направление нормали к оси стержня 0-1, что дает уравнение:

,

из которого получается величина .

Рассматривая далее равновесие узла 2, получаем уравнение:

,

из которого находится величина .

Таким образом, реакция в подкрепляющем стержне (против линейного смещения) определяется путем последовательного рассмотрения усло-

27

вий равновесия узлов рамы с шарнирными узлами. При этом первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня.

Далее для определения величины реакции рассматриваем состояние от единичного смещения(рис. 15а), в котором

.

Из условий равновесия узла 1 находим .

Используя условия равновесия узла 2, получаем:

.

Рис. 15

Для вычисления из состояния, представленного на рис. 15б, найдем:

,.

Система (16) уравнений метода перемещений принимает вид:

. (17)

При значениях из решения (17) получаем:

.

По формуле (9) для n=3 строим расчетную эпюру изгибающих моментов для рамы с наклонными стойками, представленную на рис. 16.

Рис. 16

28

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Получить и при необходимости согласовать с преподавателем задание.

2. Изучить теоретический материал, пользуясь руководством и рекомендованной литературой (1час).

3. Определить число неизвестных по методу перемещений (степень кинематической неопределимости рамы) (0,2 часа).

4. Образовать основную систему метода перемещений (0,1 часа).

5. Записать систему канонических уравнений метода перемещений (0,2 часа).

6. Построить в основной системе эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений(0,5 часа).

7. Построить в основной системе эпюры изгибающих моментов от заданных силовых нагрузок, изменения температурного режима и осадок опор (0,5 часа),

8. Подсчитать величины коэффициентов канонических уравнений и проверить полученные значения (0,75 часа),

9. Решить систему канонических уравнений метода перемещений для определения величин искомых угловых и линейных перемещений узлов и проверить полученные величины(0,5 часа),

10. Построить в раме расчетные эпюры внутренних усилий M, Q, N от заданной силовой нагрузки (1 час),

11. Выполнить проверки расчетных эпюр M, Q, N (0,5 часа),

12. Определить величины перемещений в заданных сечениях статически неопределимой рамы (1,25 часа).

На выполнение расчетно-графической работы затрачивается примерно 5 часов из времени, отведенного на самостоятельную работу студента. Срок представления оформленной работы составляет три недели с момента выдачи задания.

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА О РАБОТЕ

Отчет о работе должен выполняться в соответствии с приведенными примерами расчета и содержать следующие разделы:

- вариант задания;

- постановка задачи;

- определение степени кинематической неопределимости рамы;

- образование основной системы по методу перемещений;

- запись системы уравнений метода перемещений;

- эпюры изгибающих моментов от действия единичных смещений и

внешних воздействий на раму;

29

- коэффициенты и свободные члены канонических уравнений;

- величины искомых узловых перемещений;

- эпюры внутренних силовых факторов M, Q, N в раме;

- величины перемещений в заданных сечениях рамы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какова область использования метода перемещений?

2. Какие допущения использованы в методе перемещений?

3. Что называется степенью кинематической неопределимости рамы?

4. Как образуется основная система метода перемещений?

5. Запишите систему канонических уравнений метода перемещений.

6. Каковы соотношения между коэффициентами при неизвестных в системе уравнений метода перемещений?

7. Как выглядят эпюры моментов от единичных смещений дополнительных связей?

8. Каким образом строятся эпюры моментов от внешних воздействий на статически неопределимую раму?

9. Как подсчитываются величины коэффициентов при неизвестных в уравнениях метода перемещений?

10. Как вычисляются величины свободных членов в уравнениях метода перемещений?

11. Как можно проверить величины коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений метода перемещений?

12. По каким формулам строится расчетная эпюра изгибающих моментов в статически неопределимой раме по методу перемещений?

13. Каков алгоритм построения расчетной эпюры поперечных сил с использованием ординат эпюры изгибающих моментов?

14. Как строится эпюра продольных усилий с использованием ординат эпюры поперечных сил?

15. Как проверить соответствие эпюр M и Q в раме?

16. Как выполняется статическая проверка равновесия всей рамы и ее частей?

17. Как проводится кинематическая проверка эпюры M в раме?

18. По какой методике определяются перемещения в статически неопределимой раме?

19. Какие преимущества дает для симметричной рамы раздельный расчет на прямую и обратную симметрии?

20. Каковы основные особенности расчета по методу перемещений рам с наклонными стойками?

21. Элементами каких инженерных сооружений являются статически неоп-

ределимые рамы?

30

Приложение

Таблица 1

Реактивные усилия в статически неопределимых балках

31

Таблица 2

Реактивные усилия в статически неопределимых балках

32

Таблица 3

Реактивные усилия в статически неопределимых балках

33

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

34

Таблица 4

Цифра 1	, м	, м	, кН	, кН/м	Цифра 2
1	3,0	4,0	10,0	2,0	1	1,00	1,00	1,00	1,50
2	3,1	4,1	12,5	2,1	2	1,05	0,95	1,05	1,55
3	3,2	4,2	15,0	2,2	3	1,10	0,90	1,10	1,60
4	3,3	4,3	17,5	2,3	4	1,15	0,85	1,15	1,65
5	3,4	4,4	20,0	2,4	5	1,20	0,80	1,20	1,70
6	3,5	4,5	22,5	2,5	6	1,25	0,75	1,25	1,75
7	3,6	4,6	25,0	2,6	7	1,30	0,70	1,30	1,80
8	3,7	4,7	27,5	2,7	8	1,35	0,65	1,35	1,85
9	3,8	4,8	30,0	2,8	9	1,40	0,60	1,40	1,90
10	3,9	4,9	32,5	2,9	10	1,45	0,55	1,45	1,95
11	4,0	5,0	35,0	3,0	11	1,50	0,50	1,50	2,00
12	4,1	5,1	37,5	3,1	12	1,55	0,45	1,55	2,05
13	4,2	5,2	40,0	3,2	13	1,60	0,40	1,60	2,10
14	4,3	5,3	42,5	3,3	14	1,65	0,35	1,65	2,15
15	4,4	5,4	45,0	3,4	15	1,70	0,30	1,70	2,20