Зразок виконання індивідуального завдання

1. Ймовірність того, що електротехнічний прилад зажадає ремонту в гарантійний строк, дорівнює 0,25. Знайти ймовірність того, що протягом гарантійного строку з семи приладів зажадають ремонту m = 0, 1, 2, ...; зажадають ремонту не більш чотирьох, не менш двох, більше двох і менше шести приладів.

Рішення. У цьому завданні p = 0,25 , q = 1 - p = 0,75 , n = 7 (n < 30), тому застосовуємо формулу Бернуллі:

Для m = 0, 1, 2, ..., 7 обчислення зведені в таблицю, в останньому стовпчику якої наведені значення накопиченої суми ймовірностей (значення кумуляти) F(m). Нагадуємо, що функція розподілу (кумулята) визначена як F(m) = P(X  m), тому F(0) = P_n(0) = 0,133484.

m	C_n^m	p^m	qⁿ^–^m	P_n(m)	F(m)
0	1	1	0,133484	0,133484	0,133484
1	7	0,25	0,177979	0,311462	0,444946
2	21	0,0625	0,237305	0,311462	0,756409
3	35	0,015625	0,316406	0,173035	0,929443
4	35	0,003906	0,421875	0,057678	0,987122
5	21	0,000977	0,5625	0,011536	0,998657
6	7	0,000244	0,75	0,001282	0,999939
7	1	0,000061	1	0,000061	1,000000

За допомогою цієї функції ймовірність потрапляння випадкової величини в інтервал m₁ < m  m₂ обчислюється як різниця значень функції розподілу на краях цього інтервалу: P(m₁  m  m₂) = F(m₂) - F(m₁-1). Обчислюємо: P(m  4) = F(4) = 0,987122; P(m  2) = P(2  m  7) = F(7) - F(1) = 1 - 0,444946 = 0,555054; P(2<m<6) = P(3m5) = F(5) - F(2) = 0,998657 - 0,756409 = 0,242248. Додатково обчислюємо характеристики розподілу Бернуллі:

M(m) = np = 70,25 = 1,75; D(m) = npq = 70,250,75 = 1,3125; .

M(m) - q  Mo  M(m) + p; 1,75 - 0,75  Mo  1,75 + 0,25; 1  Mo  2; P(1)=P(2)=P_max.

Відповідно до правила "трьох сигм" ймовірні значення m не перевищують M(m) + 3_m = 1,75 + 31,146 = 5,19  5.

Нижче наведений графік полігона розподілу ймовірностей P(m):

2. В одному кубічному метрі повітря в середньому знаходиться 1000 хвороботворних мікробів. На аналіз узято 2 літри (дм3) повітря. Знайти ймовірність того, що в пробі буде виявлене m = 0, 1, 2, ... хвороботворних мікробів, не більше трьох мікробів, від двох до п'яти мікробів, хоча б один мікроб.

Рішення. Ця задача на розподіл Пуассона:

де а =21000/1000 = 2 – середній зміст мікробів в 2-х літрах повітря.

Обчислення зручно робити по рекурентним формулам:

Можливі значення m не обмежені зверху, проте, відповідно до правила "трьох сигм", досить розрахувати ймовірності P(m) для .

Для m = 0, 1, 2, ..., 10 обчислення зведені в таблицю, поруч побудований графік:

m	P(m)	F(m)
0	0,135335	0,135335
1	0,270671	0,406006
2	0,270671	0,676676
3	0,180447	0,857123
4	0,090224	0,947347
5	0,036089	0,983436
6	0,012030	0,995466
7	0,003437	0,998903
8	0,000859	0,999763
9	0,000191	0,999954
10	0,000038	0,999992

За допомогою функції розподілу F(m) обчислюємо: P(m  3) = F(3) = 0,857123; P(2m5) = F(5) - F(1) = 0,983436 - 0,406006 = 0,57743; P(m1) = 1 - P(0) = 1 - 0,135335 = 0,864665.

Додатково обчислюємо характеристики розподілу Пуассона:

M(m) = a = 2; D(m) = a = 2; .

a - 1  Mo  a; 1  Mo  2; P(1) = P(2) = P_max.

3. Серед виробів деякого заводу 75% – першого сорту. Знайти ймовірність того, що з 800 виробів першосортних виробів буде а) 600; б) не менше 590; в) не більше 620; г) не менше 590 і не більше 620. Які відхилення відносної частоти ^m/_n виробів першого сорту від її теоретичної долі у сукупності (75%) можна очікувати з рівнем довіри а) 95%; б) 99%? Скільки потрібно взяти виробів, щоб з ймовірністю 90% можна було стверджувати, що відхилення відносної частоти ^m/_n від її теоретичної долі 75% не буде перевищувати: а) 5%; б) 1%?

Рішення. У цьому завданні p = 0,75; q = 1 – p = 0,25; n = 800 > 30; np = 8000,75 = 600 > 5; nq = 8000,25 = 200 > 5, отже, ймовірності можна обчислювати за асимптотичними формулами Лапласа: