инд.задание 7

Дослідимо збіжність ряду на границі інтервалу.

При маємо ряд . Це ряд з додатними членами і за достатньою умовою порівняння з еталонним узагальненим рядом , який є збіжним, отримаємо, що при ряд є збіжним.

При ряд набуває вигляду: . Ряд, складений з модулів, співпадає з рядом при , тому він є збіжним. Таким чином, знакопереміжний ряд є абсолютно збіжним.

Відповідь: область збіжності вихідного ряду є інтервал .

в) .

Зробимо заміну змінної . Отримаємо неповний степеневий ряд: . Знайдемо область збіжності цього ряду за ознакою Даламбера збіжності числових рядів:

.

За ознакою Даламбера цей ряд є збіжним, якщо .

Тобто – область збіжності.

Зробимо зворотний перехід до змінної .

.

Вихідний ряд є абсолютно збіжним на інтервалі .

Дослідимо граничні точки.

При маємо ряд .

Цей ряд є збіжним, як еталонний (за ознакою порівняння).

При маємо ряд . Якщо скласти ряд з модулів останнього знакопереміжного ряду, отримаємо ряд, як і при . Тобто при ряд є абсолютно збіжним.

Відповідь: область збіжності вихідного ряду є інтервал .

Завдання 3. Розкласти функцію в ряд Тейлора в околі заданої точки .

Запишемо формулу Тейлора для розкладення функції в ряд в околі точки :

.

Для розкладення заданої функції в ряд за формулою Телора необхідно обчислити значення функції та її похідних в точці .

. . . . . . . .

Проаналізувавши загальну закономірність при визначенні похідних можна записати значення -ої похідної функції в точці :

.

Запишемо розкладення функції в ряд Тейлора в околі точки :

.

Дослідимо збіжність отриманого ряду за Даламбером.

.

.

Для збіжності ряду необхідне виконання умови: . Розв’яжемо останню нерівність:

.

Дослідимо поведінку ряду в граничних точках.

При отримаємо ряд Цей ряд є розбіжним.

При ряд набуває вигляду:

Цей ряд розбіжний.

Таким чином, інтервал збіжності отриманого ряду Тейлора для даної функції .

Індивідуальне навчально-дослідне завдання

Задана виробнича функція .

Провести аналіз виробничої функції:

1) визначити середні та граничні характеристики виробництва на одиницю кожного фактора;

2) визначити вплив відносних приростів факторів на зміну виробничої функції

Рекомендована література

Васильченко Г.П. Вища математика для економістів: Підручник. –К.:Знання – Прес, 2002–454 с

Травкін Ю.Г., Малярець Л.М. Основи лінійної алгебри і її застосування: навчальний посібник.– Х:Основа, 2001 – 376 с.

Высшая математика для экономистов/Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.– 440 с.

Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 464 с.

Зміст

Вступ................................................................................................................3

Індивідуальні завдання з теми “Елементи лінійної та

векторної алгебри”…………………………………………………………………3

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Елементи лінійної та векторної алгебри”……………………………………22

Індивідуальні завдання з теми “Границя функції.

Диференціальне числення функції однієї змінної”…………………………35

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Границя функції. Диференціальне числення функції однієї змінної”…..57

Індивідуальні завдання з теми “Функції багатьох змінних”………………..64

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Функції багатьох змінних”………………………………………………………69

Індивідуальні завдання з теми “Інтегральне числення” ……………………72

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Інтегральне числення”………………………………………………………..102

Індивідуальні завдання з теми “Диференціальні рівняння”……………..109

Зразок виконання індивідуального завдання з теми

“Диференціальні рівняння”.....................................................................…125

Індивідуальні завдання з теми “Ряди”.......................................................130

Зразок виконання індивідуального завдання з теми “Ряди”....................137

Індивідуальне навчально-дослідне завдання……………………………...143

Рекомендована література........................................................................143

142