Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

матан 3 семестр.pdf

Скачиваний:

361

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

2.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

ГЛАВА 9

9.1.

1 ;

; 3 ;

;

9.2.

; 3

; 4

;

9.3. − 1 ; − 2

9.4. −

1 ; −

2 .

9.5.

. 9.6. 23 .

9 11

9.7.

2 1

9.8.

9.15.

9.16.

11 .

9.17. ln 1 .

9.21. Расходится. 9.23. От противно-

∞

го.

9.24. Да. Например, сумма расходящихся рядов ∑ 1+

∑(−1)

будет сходя-

n=1

∞

щимся

рядом

∑

9.26.

Доказать и использовать

неравенство

≤ u2 +v2 .

n=1

9.28. Воспользоваться задачей. 9.26., положив v = 1 .

9.29. Расходится.

9.30. Сходит-

ся.

9.31. Расходится. 9.32. Расходится.

9.33. Сходится.

9.34. Сходится.

9.35. Сходится.

9.36. Расходится.

9.37. Расходится.

9.38. Сходится. 9.39. Расходится. 9.40. Расходится.

9.41. Сходится.

9.42. Сходится.

9.43. Сходится. 9.44. Расходится.

9.45. Расходится.

9.46. Сходится.

9.47. Сходится.

9.48. Сходится.

9.49. Сходится.

9.50. Сходится.

9.51. Расходится.

9.52. Сходится.

9.53. Сходится.

9.54. Сходится.

9.55. Сходится.

9.56. Сходится.

9.57. Сходится. 9.58. Сходится.

9.59. Расходится.

9.60. Расходится.

9.61. Расходится.

9.62. Расходится.

9.63. Расходится. 9.64. Сходится.

9.65. Сходится.

9.66. Сходится.

9.67. Сходится.

9.68.

Сходится.

9.69. Сходится.

9.70.

Сходится.

9.71. Сходится.

9.72. Расходится.

9.73. Расходится.

9.74. Сходится.

9.75. Сходится.

9.76. Расходится. 9.77. Расходится.

9.78. Расходится.

9.79. Сходится.

9.80. Сходится.

9.81. Расходится.

9.82. Сходится.

9.83. Сходится.

9.84. Расходится.

9.85. Сходится.

9.86. Расходится.

9.87. Расходится.

9.88. Сходится.

9.89. Сходится.

9.90. Расходится.

9.91. Сходится.

9.92. Расходится.

9.93. Расходится.

9.94. Сходится.

9.95. Сходится.

9.96. Сходится.

9.97. Расходится.

9.98. Сходится.

9.99. Расходится.

9.100. Расходится.

9.101. Расходится.

9.102. Расходится.

9.103. Сходится. 9.104. Сходится.

9.105. Схо-

дится.

9.106. Расходится.

9.107. Сходится. 9.108. Сходится. 9.109. Если p>1 , то ряд

сходится при всех α, а если p<1, то расходится. Если p=1, то ряд сходится при α >1 и любых β и расходится при α <1. Если же p = α =1, то ряд сходится при β >1 и расхо-

дится при β ≤1. 9.110. Если p>1, то ряд расходится при любых α и β, а если p<1, то расходится. Если p=1 , то ряд сходится при α >1 и любых β и расходится при α <1.

Если же p = α =1, то ряд сходится при				β >1 и расходится при β ≤1.	9.111. Указание:
S	n+1	> a 2n	9.113. Сходится абсолютно.	9.114. Сходится абсолютно.	9.115. Сходится
	n+1	n

абсолютно. 9.116. Сходится абсолютно. 9.117. Сходится условно. 9.118. Сходится условно. 9.119. Сходится условно. 9.120. Сходится абсолютно. 9.121. Расходится. 9.122. Расходится. 9.123. Сходится абсолютно. 9.124. Сходится условно. 9.125. Сходится условно. 9.126. Сходится абсолютно. 9.127. Сходится абсолютно. 9.128. Сходится условно. 9.129. Сходится абсолютно. 9.130. Сходится абсолютно. 9.131. Сходится абсолютно. 9.132. Сходится абсолютно. 9.133. Сходится абсолютно. 9.134. Сходится абсолютно. 9.135. Сходится абсолютно. 9.136. Сходится условно. 9.137. – 0,41. 9.138. 0,95. 9.139. –0,40. 9.140. 0,36. 9.141. Сходится абсолютно. 9.142. Сходится абсолютно. 9.143. Сходится абсолютно. 9.144. Сходится абсолютно. 9.145. Сходится абсолютно. 9.146. Сходится абсолютно. 9.147. Сходится абсолютно. 9.148. Сходится условно. 9.149. Расходится. 9.150. Расходится. 9.151. Сходится условно. 9.152. Сходится условно. 9.153. Сходится условно. 9.154. Сходится условно. 9.155. Сходится условно.

9.156. Сходится условно.		9.157. Сходится условно.											9.158. Расходится. 9.159. Сходится
абсолютно. 9.160. Сходится абсолютно.								9.162. Нет.						9.163. После первой перестановки
		1		1		1		1		1		1		1		1
напишем ряд в виде	1−		−		+ +		−		−		+		−		−		+... Выполнив действие в
				4		3				8						12
		2						6				5		10

скобках, получен ряд, члены которого вдвое меньше членов данного ряда. После вто-

рой

перестановки

преобразуем

n–ю

тройку

членов:

−

; при n=1,2,3,… первые

4n −3

4n −1

4n −3

4n −2

4n −1

4n −2

четыре члена образуют данный ряд с суммой S, а последние два – ряд с суммой

∞

9.164. ∑

+ +

−

. 9.165. (0;∞);

сходится абсолютно при

6n −5

6n −1

n=1

6n −3

x (1; +∞).

9.166.

; сходится аб-

;e ;

сходимость всюду абсолютная. 9.167.

\ {−3}

9.169. [0; +∞);

солютно при

. 9.168.

Сходимость всюду абсолютная.

x (0; +∞).

9.170. (−∞;0); сходимость всюду абсолютная.

сходится абсолютно при

9.171. (−3; −1]; сходится абсолютно при x (−3; −1).

9.172. (1;3]; сходится абсолютно

при x (1;3).

9.173. (−∞; −3] (1; +∞); сходится абсолютно при x (−∞; −3) (1; +∞).

9.174. (−∞; −3] (−1; +∞)

сходится

абсолютно

при

x (−∞; −3) (−1; +∞).

9.175.

z +1

>1 . 9.176.

z −2

>1 .

9.177. Полуплоскость Re z > 0 .

9.178.

z −3i

2 .

9.185.

Сходится равномерно и абсолютно при x

. 9.186. Сходится равномерно и абсолют-

но при x

9.189. Сумма ряда

S(x) =

при x<1, остаток

R = S −S

1− x

На отрезке

< 0,001, как только n −1 > lg1000 ; n ≥11. 9.190. Ряд имеет

n−1

lg 2

1 при 0 < x ≤1,

(1− x)

при0

< x ≤1,

сумму S =

и остаток

Rn =

При любом

1−(1− x)

0 при x = 0.

[

]

будет больше, например, 0,9, как только x <1− n 0,9 , т.е . на отрезке

n остаток R

0;1

ряд сходится неравномерно. Но на отрезке

ибо тогда

;1 он сходится равномерно,

при любом x

< ε,

как только

n > −lg ε

; в частности,

< 0, 01

при n ≥ 7 .

lg 2

9.191. fn (x)=

−

. Поэтому

Sn = 1 −

−

; S = lim Sn =

при любом

x + n −1

x + n

n→∞

x ≠ 0 . В частности,

Rn (x)=

< 1 ≤ 0,1 при x > 0 , как только n ≥10 .

9.192. Остаток

x + n

знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена. Поэтому

на отрезке	[	0;1	R (x)	< < (1− x)n+1	<	1	≤ 0,1, как только n +1 ≥10 или n ≥ 9 .


		]	n	n +1		n +1

9.193. Если степенной ряд (6) сходится в точке z = z1 ≠ z0 , то он абсолютно сходится в круге

z − z0

z1 − z0

иравномерносходитсявлюбомзамкнутомкруге

z − z0

≤ r , где r <

z1 − z0

Еслиряд(6) расходитсявточке z = z2 , тоонрасходитсяивнекруга

z − z0

z2 − z0

9.194. Сходитсяабсолютно. 9.195. 5 . 9.196. (-2;4). 9.197. Сходится абсолютно. 9.198. 5.

9.199. [−3;1].

9.200. [−1;3]. 9.201. [−3;3). 9.202. (0;2). 9.203. (-1;1).

9.204. (−1;7].

9.205. (−∞; +∞). 9.206. (−∞; +∞). 9.207. (6;8] . 9.208. (-3;7). 9.209.

−

;

9.210. [−2; 4).

9.211. [−2;0). 9.212. (1;3]. 9.213. [1;3]. 9.214.

−

;

. 9.215. [3;7).

9.216. [−2; 2).

9.217. (0;2).

9.218. [0; 2).

9.219.

<1.

9.220.

1 .

9.221.

≤

1+ x

9.222.

z −2i

< 2 .

9.223.

z −1+i

< 2 .

9.224.

1 .

9.225.

1 ln

−

1 arctg x,

1− x

x (−1;1).

9.226.

(x −1)2 ,

x (−1;1).

9.227.

1− x2 +

−... +(−1)n

x2n

+...,

∑(−1)

x (−∞; +∞).

n+1

∞

9.228.

, x (−∞; +∞).

9.229.

∑(−1)n (2x)

n=0

2 n=1

(2n)!

∞

4n+1

∞

2n+1

x (−∞; +∞).

9.230.

∑(−1)n

x2n+1, x (−∞; +∞).

9.231.

∑(−1)n

(2n +1)!

n+1

n=0

x (−2; 2).

9.232.

∞

(−1)n

4n x+n+1

, x

−

3 ;

9.233. ln 2 +

∞

(−1)n+1 (1+ 2−n )

∑

n 1

n=0

n=1

x (−1;1].

∞

(−1)n+1 2n −1

, x

−

;

9.235.

∑(−1)

(n +1)x

x (−1;1).

9.234. ∑

n=1

∞

x (−1;1).

9.236. ∑xn ,

n=0

∞

n+1

9.238. ∑(1+(

−1)

, x

−

;

n=0

∞

2 5 8 ... (3n −4)

−∑

xn , x (−27; 27).

4n−1

n=2

n! 3

1 ∞

9.237.

∑ (−1)

−

, x (−1;1).

3 n=0

∞

2n+1

9.239. ∑

, x (−1;1).

9.240. 3 −

−

n=0

2n +1

∞

4n+2

9.241. ∑(−1)n

x (−∞; +∞).

2 (2n +1)!(2n +1)

n=0

∞

2n+1

9.242. ∑(−1)n

x (−∞; +∞). 9.243. −78 +59(x + 4)−14(x +4)2 +(x +4)3 .

n!(2n +1)

n=0

9.244. 3 + 2(x −1)+ 4(x −1)2 +(x −1)3 .

∞

(2n +1)x2n ,

x (−1;1).

9.245. ∑(−1)

n=0

∞

n−1

∞

n+1

(

x −1

9.246. ∑nx

x (−1;1).

9.247. 3ln 2 +∑(−1)

)

, x

−

;

.•

n 8

n=1

∞

n+1 (x +3)

ln(5x +3) = ln 8 + ln 1+

(x −1) .

9.248. ln 4 +∑(−1)

n 4

n , x

(−5; −1).

n=1

9.249.

9.251.

9.253.

9.255.

∞	(x −3)2n				, x (1;5).
−∑	4	n+1			, x (1;5).
n=0	4
∞	1		1			n
∑		−			x		, x (−2; 2).
∑	n+1	−	2	n	x		, x (−2; 2).
n=0	3		2

	∞
9.250. ∑(2−n−1 −3−n−1 )(x + 4)n , x
	n=0	21)	(x −1)2n ,	x (1−
9.252. ∑(−1)n (nn++		21)	(x −1)2n ,	x (1−
∞
n=0	2
n

∞

∑

, x (−∞; +∞). 9.254.

∑

x (−∞; +∞).

n=0

sin x ′

∞

n+1

2n n2n−1

x cos x −sin x

∑(−1)

, x (−∞; +∞). •

(2n +1)!

n=1

(−6; −2).

2;1+ 2 ).

∞	n+1	(	2n −1 x	2n−2					′
					x sin x −1+cos x			1−cos x
9.256. ∑(−1)			)	, x (−∞; +∞). •
			(2n)!				=		.
					x	2		x
n=1

∞

(

−1 n x2n+2

∞

(

−1

(

2n −1 !!x6n+3

9.257. 3 +∑

)

x (−1;1).

9.258.

ln 3 +

1 x3

+∑

)

2n+1 ,

(2n +2)(n +1)

n=0

n=1

(2n)!!(2n +1)3

x (−3 3; 3 3 ), где (2n)!! = 2 4 6 ... 2n = 2n n!, (2n −1)!! =1 3 5 ... (2n −1). 9.259. 9999

при

x=1

или

при

x= -

0,5.

9.260.

Два,

абсолютная

погрешность

0000386 < 0,0001. 9.261. 1,6487. 9.262. 0,3679.

9.263. 0,2079.

ε <

24 18

= 5 1+

4 .

9.264.

0,5403.

9.265.

5,1437.

• 4 700

= (625 + 25)4

9.266. 3,8730.

•

. 9.267. 0, 6931. •Использовать разложение

15 =

16 −1 =

1−

1+ x

∞

2n+1

= 2∑

при

x = 1 .

9.268. 8,0411.

•

3 520 = (512 +8)3

= 8 1

3 .

1− x

n=0 2n +

∞

2n+1

∞

4n+1

9.269. ∑(−1)n+1

9.270. ∑(−1)n

9.271.

∑(−1)n

(2n)!(

4n +

n=1

n=0

(2n +1)!(4n +3)

n=0

∞

(2n +1)!!x

3n+1

9.272. ∑(−1)n

. 9.273. 0, 1991. 9.274. 0,2800.

9.275. 0,6225.

9.276. 0,4613.

n=0

2 n!(3n +

9.277. 0,7627.

9.278. 0,9461.

9.279. y (x)=

∞ 1 2 5 6 ... (4n −3)(4n −2) 4n

2 3 6 7 ... (4n −2)(4n −1) 4n+1

=1+ x +

∑

x +

x .

(4n)!

(4n +1)!

n=1

∞

3n+2

9.280. y (x)= ∑(−1)n

, x

2 5 ... (3n + 2)

n=0

9.282. y (x)=1+

−

5x6

+...

∞

2m−1 (m −1)!

2m+1

, x .

9.284. y(x) = ∑

(2m +1)!

m=1

9.281. y (x)=1+ x −

−

+... .

∞

(−1)

m+1

−x2

9.283. y(x) =

= ∑

x2m

−e 2 .

m=1

∞

(−1)

9.285. y(x) = x +

1 ∑

x2m+1

x .

2 m=1

(2m +1)!!

∞

(−1)

2n+1

9.289. 7

3 .

1 sin x +

1 sin 3x .

9.286..

y(x) = ∑

= sin x,

9.290.

9.291.

n=0

(2n +1)!

9.292. 1+

1 cos x +

1 cos 3x .

9.293.

−

9.294. 0.

9.295.

9.296.

9.297. Для

3π

2π

3π

2 l

πnx

dx, а

2 l

πnx

dx .

четной:

= 0, a

f (x) cos

для

нечетной

= 0, b

f (x)sin

∫0

∞

sin(2m −1)x

∞

sin kx

9.299.

f (x) =

∑

S(π)

9.300.

f (x) = ∑

, S

2m −1

π m=1

(

)

k =1

(

)

∞

cos

2k −1 x

∞

−1 k

9.301. f (x)

∑

. 9.302. f (x)= 2∑

sin kx .

9.303. f (x) =

(2k −1)

π k =1

k =1

∞

(−1)k +1

∞

cos 2kx

2sin aπ

∞

k sin kx

∑

cos 2kx . 9.304. f (x) =

−

∑

9.305.

∑(−1)

ес-

−1

−k

π k =1

k =1

2sin aπ

∞

ka cos kx

9.306.

+∑(−1)

ли a – не целое,

sin ax ,если a

, если a – не

−k

k =1

∞

sin kx

целое,

cos ax ,если

a .

9.307. 1−

∑

sin 2kπx

9.308.

∑

(−1)k

π k =1

k =1

∞

9.309.

−

∑

cos(2m +1)

− ∑(−1)n−1 sin nx .

9.310. −

−

∑sin(2n +1)x

. 9.313.

1 .

π m=0

(2m +1)

n=1

π n=0

2n +1

9.314.

π .

ГЛАВА 10

10.1.	1	(1−2e−2 p +e−3 p ) . 10.2. − e−2 p
	p
						p
10.6.		2	.	10.7.	3 p2
						.
	p + 2				( p3 + 2)2

10.10. ( p4 + 4 p3 +2 p2 −3 p) X ( p) .

. 10.3.		e2−p	.	10.4.		1	(e− p −e−2 p ) . 10.5.				1	.
		p −2				p				ln( p + 2)

10.8.	6		.	10.9. ( p2				+5 p −7) X ( p) − 2 p −9 .
	p2 −3

	10.11.		1−3 p2		.			10.12.	2( p3		+ p −1)	.
				p3					p3 ( p −1)

10.13.	1		−	3	+	1	.
	p +1			p + 2
						p2
10.17.		p2 + 2 p +3
	( p +1)( p2 + 2 p +5)

10.14. −4 p3 +8 p2 −4 p + 2 . ( p2 +1)(4 p2 +1)

. 10.18. p( p2 + 4) . 10.19.


10.15.		6			.	10.16.		2	.
		( p −2)4						( p +1)3
2			.	10.20.				3		.
	( p2 +1)2						p2 −4 p +13

10.21.			4( p −1)		.	10.22.	p2 −4	.	10.23. 5 − t3 . 10.24.	1 e−3t . 10.25. 3t2e−2t .
		( p2 −2 p +		5)2			( p2 + 4)2
									6	2
10.26. tet .			10.27. e−2t (cos t −2sin t) .						10.28. 2cos 2t −1,5sin 2t .	10.29. 1−e−t (t +1) .
10.30.	2e−t −e3t .			10.31. 0,1(e2t +e−2t −2 cos t) . 10.32. t −sin t .						10.33. x = C +C	2	e−t +
										1

+ 1 e−t (cos t −sin t) .	10.34. x = C cos 3t +C			sin 3t +e−2t . 10.35. x =		t4	e−t .	10.36. x = t2 .
+ 1 e−t (cos t −sin t) .	10.34. x = C cos 3t +C		2	sin 3t +e−2t . 10.35. x =			e−t .	10.36. x = t2 .
2	1		2		24
2		10.39. x = 1			24
10.37. x = cos t .	10.38. x = 2e−t .	10.39. x = 1			(2e−3t −3te−3t −2) .		10.40. x = 3sin t .
				9
10.41. x = e−t (1+t + t2 ) . 10.42. x = 3 +t +et (t −2) .					10.43. x = −et , y = 0 .			10.44. x = et ,
	2
y = −et . 10.45. x = sin t +0,5(et −e−t ) ,		y = cos t +0,5(et +e−t ) . 10.46. x =1+ t2 , y = t −et .
								2

100

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Сборник задач по математике для втузов. Часть 2. Специальные разделы математического анализа./Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича – М.: Наука, 1986.

2.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.

–М.: Наука, 1973.

3.Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. – М: Высшая школа, 1994.

4.Демидович Б.Н. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – Санкт-Петербург, МИФРИЛ, 1995.

5.Власова Е.А. Ряды: Учеб. для вузов./Под редакцией В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

6.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Нау-

ка, 1987.

7.Методические указания по теме «Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды». Составители И.Л. Гусева, Е.В. Сандра-

кова. – М.: МИФИ, 1992.

101

Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра

Анатолий Викторович Боголюбов Оксана Константиновна Иванова

Издательский Центр МГТУ «СТАНКИН» Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 01741 от 11.05.2000. 101472, Москва, Вадковский пер., д.3а

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20151.19 Mб57Grafiki.pdf
#
11.02.201530.61 Кб18Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015118.63 Кб160Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015223.74 Кб14Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20181.53 Mб19Лекции по матану.doc
#
11.02.20152.53 Mб361матан 3 семестр.pdf
#
11.02.20151.7 Mб113матан шпора.doc
#
11.02.20151.1 Mб119Математика.docx
#
11.02.2015101.89 Кб354Основные свойства степеней, корней, формулы.doc
#
11.02.201524.06 Кб18Семинар.doc
#
22.04.20193.19 Mб58ТЕСТы по математике(Экзамен).docx