Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

матан 3 семестр.pdf

Скачиваний:

365

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

3. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Теорема. Пусть дан ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами

∞

u1 +u2 +...+un +... = ∑un .

n=1

Если сходится ряд

∞

+... +

+... = ∑

n=1

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный числовой ряд.

		∞
Ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами ∑un			на-
		n=1
∞
зывают абсолютно сходящимся, если сходится действительный ряд ∑	un	из абсо-
	un	из абсо-
n=1
лютных величин его членов.
		∞
Ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами ∑un			на-

n=1

зывают условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся,

∞

т.е. если ∑un

сходится, а ряд ∑

расходится.

n=1

∞

Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд ∑cos2 n .

n=1 n

3Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

∞

cos2 n

∑

(4)

n=1

cos n

∞

Так как при любом n имеет место соотношение

≤

, а ряд

∑

сходит-

n=1

ся (ряд Дирихле, α = 2 >1), то по признаку сравнения ряд (4) сходится. Следовательно, исходный ряд сходится. 4

Теорема (признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд

∞

a1 −a2 + a3 −... +(−1)n+1 an +... = ∑(−1)n+1 an , an > 0 , n ,

n=1

удовлетворяет условиям:

1. a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥... ≥ an ≥ an+1 ≥...;

2. lim an = 0 .

n→∞

Тогда этот знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

∞

Если знакочередующийся ряд ∑(−1)n+1 an , an > 0 , n , удовлетворяет услови-

n=1

∞

ям признака Лейбница, то модуль суммы всякого его остатка Rn = ∑ (−1)k +1 ak оцени-

k =n+1

вается сверху числом an+1 : Rn ≤ an+1 , n . Для вычисления суммы такого ряда с заданной точностью α решаем неравенство an+1 < α , откуда находим количество членов

ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью α. Далее вычисляем n-ю частичную сумму S ≈ Sn = a1 −a2 +... +(−1)n−1 an .

∞

n−1

(−1) .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

3Проверим условия признака Лейбница для данного знакочередующегося ряда

с an =

1. Последовательность

убывает;

2. lim

= 0 .

n→∞ n!

Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.4

∞

n−1

Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд ∑

(−1)α .

n=1

∞

3Сначала

изучим

ряд

∑

В нашем случае

Если

α ≤ 0

, то

n=1

∞

n−1

lim

≠ 0 и, значит, ряд ∑

(−1)

расходится. При α > 0 возможны два варианта:

n→∞

n=1

∞

n−1

а) Если α >1, то ряд ∑

сходится, откуда следует, что ряд ∑

(−1)

сходится абсо-

лютно;

n=1

∞

б) Если 0 < α ≤1 , то ряд ∑

расходится, значит исходный ряд не будет сходиться

абсолютно.

n=1

∞

n−1

Исследуем ряд ∑

(−1)

на условную сходимость. Докажем, что этот ряд удов-

n=1

летворяет признаку Лейбница.

Действительно,

во-первых,

последовательность

убывает,

во-вторых,

lim

= 0 . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

n→∞ nα

∞

n−1

Таким образом, при α ≤ 0

ряд ∑

(−1)

расходится,

при 0 < α ≤1 сходится ус-

n=1

ловно, при α >1 сходится абсолютно.4

Пример

4. Исследовать

на

абсолютную

условную

сходимость

ряд

∞

∑

n(3i −

, b , b > 0 .

n=1

3Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для выяснения сходимости

n(3i −1)n

∞

ряда ∑

воспользуемся признаком Даламбера. Обозначая

un =

n=1

получаем

3i −1

= n

10n ,

n+1

(n +1)(3i −1)n+1 ,

n+1

(n +1)

3i −1

n+1

bn+1

(n +1)

10n+1

bn+1

n+1

un+1

Следовательно,

lim

= lim

(n +1)10

lim

n +1

n→∞

bn+1n 102

n→∞

∞

Таким образом, если

<1 , т.е.

b >

, то ряд ∑

сходится и, следо-

n=1

вательно, исходный ряд сходится абсолютно. Если же

>1,

т.е.

b < 10 , то ряд

∞

∑

расходится и,

следовательно,

исходный ряд не является абсолютно сходящим-

n=1

ся. Более того, исходный ряд в этом случае расходится в силу невыполнения необходимого признака сходимости ряда.

При b = 10

признак Даламбера использовать нельзя. В этом случае

= n, и

поскольку

= n

не стремится к нулю при n → ∞ , то не выполняется необходимый

∞

признак сходимости как для ряда ∑

, так и для ряда ∑un . Следовательно, в этом

n=1

случае исходный ряд расходится.4

Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ря-

ды:

∞

(−

9.113. ∑

9.114. ∑(−1)n

n=1

n n

∞

3n − 2

∞

n n

9.115.

∑

(−1)

9.116. ∑(−1)

n .

n=1

4n +3

n 1

∞

9.118.

∞

(−1)

9.117. ∑(−1)n ln n .

∑n=2

n=2

nln n

∞

9.119. ∑(−1)n

9.120. ∑(−1)n

nln n(ln ln n)

n=3

nln n ln ln n

n=3

∞

9.121. ∑(−1)n+1

9.122. ∑(−1)n

3n −1

3n − 4

n=1

∞

9.123. ∑(−1)n+1

9.124. ∑

(−1)3

n=1

n +3

∞

(−1)

∞

(−1)

9.125. ∑

9.126. ∑

(5n −3)(4n +3)

n=1

n + 2

n=1

∞

2n −1

∞

(−1)n

∑

9.127. ∑(−1)

n .

9.128.

ln n

n 1

n=1

∞

9.129. ∑sin nαn .

9.130. ∑cos3nα .

(ln3)

n 1

∞

n .

9.131. ∑cos n .

9.132. ∑sin3

n=1

∞

9.133. ∑(−1)n

9.134. ∑cos3 2

(n!)

n=1

n +1

tg 1

∞

n +1

∞

9.136. ∑(−1)n

9.135. ∑(−1)n

n=3

n − 2

n=1

Установить сходимость рядов и вычислить их суммы с точностью до

0,01.

n−1

∞

(−

∞

9.137. ∑

9.138. ∑(−1)3 .

n=1

∞

(−n1)

∞

9.139. ∑

9.140. ∑(−1) .

n=1

Задачи повышенной сложности

Исследовать ряды на абсолютную сходимость.

∞

in +

9.141.

∑n=1

9.142. ∑

n!(e −i)n

n=1

∞

n + 2i

∞

i(2n +i) n

9.143. ∑

9.144. ∑

n=1

(1+i)n +3

n=1

∞

(1+in)

n .

∞

9.145. ∑

9.146. ∑

(n −i)

n=1

Исследовать на абсолютнуюи условную сходимость следующие ряды:

9.147.

9.149.

∞
∑(−1)n (ln(n2 +5) −ln(n2 +1)).
n=1
∞	n n + 7		n
∑(−1)	n n + 7
∑(−1)		.
n=1	n

∞	(−1)n sin			π
				3 n
9.148. ∑						.

n=1		n + 7
∞		n n					n
9.150. ∑(−1)
					.
			+1
n=1		n

∞

(−1)

9.151. ∑

∞

(−1)n tg

n=1

(n +1)

n + 2

9.152. ∑

n=1

5n +1

9.153.

9.155.

9.157.

∞			(−1)n+1
∑n=1						.
	(n +1)ln(n +3)
∞			(−1)	n
∑					.
	3
n=1			3n + ln n
∞		n
∑i		.
n=1	n

∞				(−1)		n
9.154. ∑				(−1)			.
9.154. ∑	n						.
n=4	n
n=4		3	−1 ln(n − 2)
		3
∞		(−1)		n
9.156. ∑		(−1)			.
9.156. ∑	n + ln n				.
n=1	n + ln n
∞		3 −i n
9.158. ∑		2		.
n=1		2

∞ 3

n +i

∞

2 +i n

9.159. ∑

9.160. ∑

n=1

9.161. Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда можно пе-

реставлять произвольным образом; при этом сумма ряда не изменится.

∞

сходится и lim an =1. Можно ли утверждать,

9.162. Пусть ряд ∑an

n=1

n→∞ b

∞

что сходится ряд ∑bn ?

n=1

∞

(−1)n

∞

(−1)n

Рассмотреть пример ∑

и ∑

n=1

∞	1
9.163. Показать, что сумма S условно сходящегося ряда ∑(−1)n+1	1
n=1	n

уменьшится вдвое, если после каждого положительного члена ряда поместить два последующих отрицательных, и увеличится в полтора раза, если после двух положительных членов поместить один отрицательный.

9.164. Члены сходящегося ряда ∑∞ (−1)n+1 переставить так, чтобы он

n=1 n

стал расходиться.

§ 2. Функциональные ряды

1. Область сходимости функционального ряда. Пусть действительные или

комплексные функции fn (x) , n , определены в области D . Выражение
∞
f1 (x) + f2 (x) +... + fn (x) +... = ∑ fn (x) , x D ,	(5)
n=1

называется функциональным рядом, а функции		f1 (x) , f2 (x) , … , fn (x) , … — членами
		∞
этого функционального ряда. Если для x0 D числовой ряд ∑ fn (x0 )			сходится, то го-
		n=1
ворят, что	функциональный ряд (5) сходится	в точке x0 . Если	в каждой точке
	∞
x D1 D	числовые ряды ∑ fn (x) сходятся, то ряд (5) называется сходящимся в об-

n=1

∞

ласти D1 . Функциональный ряд ∑ fn (x) называется абсолютно сходящимся в облас-

n=1

∞

ти D , если в области D сходится функциональный ряд ∑ fn (x) из модулей его чле-

n=1

нов.

∞

Область D0 D всех точек x из D , в которых функциональный ряд ∑ fn (x)

n=1

сходится, называется областью сходимости этого ряда, а область сходимости ряда

∞					∞
∑	fn (x)	называют областью абсолютной сходимости ряда ∑ fn (x) .
∑	fn (x)	называют областью абсолютной сходимости ряда ∑ fn (x) .
n=1					n=1
	Функция S(x) = lim S		n	(x)	называется суммой, а разность R (x) = S(x) − S	n	(x) -
		n→∞	n		n	n

остатком ряда.

Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (5) следует воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если

lim

fn+1 (x)

= l(x) или lim n

fn (x)

= l(x) , то

fn (x)

n→∞

при l(x) <1

ряд (5) сходится абсолютно,

при l(x) >1

ряд (5) расходится,

при l(x) =1

требуются дополнительные исследования.

Пример

Найти

область сходимости функционального ряда

∞

(−1)

n+1

∑

, x , х > −3 .

n=1 n 2n (x +3)n

3Так как

fn (x)

и х > −3 , то, применяя признак Коши, имеем

n 2n

(x +3)n

lim n

= lim

n→∞

2n (x +3)n

n→∞ n n 2

x +3

2 x +3

Следовательно, ряд сходится абсолютно, если

<1 , т.е. при x > −

. Ряд

x +3

11 .

расходится, если

1 , т.е. при −3 < x < −

x +3

x = −11

∞

(−1)

n+1

При

получаем

знакочередующийся

ряд

∑

n=1

−

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

n+1

= ∑

∑

который сходится по признаку Лейбница. Таким образом,

n 2

n=1

+∞

область сходимости ряда – полуинтервал −

;

Пример

2. Найти область сходимости и абсолютной сходимости функцио-

∞

нального ряда ∑(x −3)n tg

n=1

3Выпишем n -й член ряда f

(x) = (x −3)n tg

fn (x) . Ясно,

Сначала

найдем общую

область определения

функции

что

≠

π + πk , где n

, k

, т.е. x ≠ 2n−1 π(2k +1) .

Применим признак Даламбера:

fn+1 (x)

(x −3)n+1 tg

x −3

lim

= lim

2n+1

= lim

x −3

n+1

x −3

lim

n+1

n→∞

fn( x)

n→∞

(x −3) tg

при 1 < x < 5 .

исключаем x = π. Таким образом, ряд схо-

Учитывая область определения ряда,

дится абсолютно при x (1; π) (π;5) .

Ряд расходится, если

x −3

>1, т.е. при x > 5 либо x <1.

x −3

=1 при

x = 5 .

точках

x1 =1

= 5

проводим

дополнительные

исследования:

) = f

(1) = (−2)n tg

Так как

lim

(1)

= lim 2n

=1 ≠ 0 , то не выполняется необходи-

n→∞

∞

мый признак сходимости числового ряда, значит ряд ∑ fn (1)

расходится. Аналогично

n=1

∞

доказывается расходимость ряда ∑ fn (5) . Итак, области сходимости и абсолютной

n=1

сходимости ряда совпадают с множеством D1 = (1; π) (π;5) .4

Найти области сходимости рядов (x ). Исследовать ряды на абсолютную сходимость.

∞

9.165. ∑

(−1)x .

9.166. ∑lnn−1 x, x > 0 .

n=1

∞

x .

∞

9.167. ∑ln

9.168. ∑

n!(x +

n=1

∞

1 x −1 n

∞

9.169. ∑

, x ≠ −1.

9.170. ∑n e

n=1

n x

n=1

∞

9.171. ∑(−1)n sin

+ 2)n .

9.172. ∑(2 − x)n sin x .

n=1

∞

ln n

9.173. ∑n=2

9.174. ∑n=2

(x +1)n nln n

n(x + 2)n

Найти области абсолютной сходимости рядов (z

∞

9.175. ∑

9.176. ∑

n(z +1)

(z − 2)

n=1

∞

n 2

9.177. ∑ n e−n z .

9.178.

∑n=1

(z −3i)2n

n=1

2. Равномерная сходимость.

Сходящийся в области D1 функциональный ряд

∞

f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) +... = ∑ fn (x)

называется равномерно сходящимся в этой облас-

n=1

ти, если для любого

ε > 0 найдется

N = N (ε)

такое, что при всех n > N (ε) и x D1

имеет место оценка

∞

Rn (x)

∑ fk (x)

< ε .

k =n+1

Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального

ряда). Пусть функции

fn (x) , n

определены в области D1 , и пусть существует чи-

∞

словой ряд ∑an такой, что:

n=1

1) n ≥ n0 x D1 : fn (x) ≤ an ;

∞

2) ряд ∑an сходится.

n=1

∞

Тогда функциональный ряд ∑ fn (x) сходится абсолютно и равномерно в области D1 .

n=1

∞

Ряд ∑an

n=1

∞

называется мажорирующим для ряда ∑ fn (x) .

n=1

sin nx

Пример

Исследовать

на

абсолютную и

равномерную

сходимость

ряд

∞

2nx , x .

∑sin

n=1

∞

sin

3Ряд ∑

сходится равномерно и абсолютно при всех x , так как для

n=1

∞

него

существует

мажорирующий

сходящийся

числовой

ряд

∑

n=1

sin nx

≤

при x

Пример

Исследовать

на

абсолютную и

равномерную

сходимость

ряд

∞

arctg nx

∑n=1 x6 +n 3 n

, x .

3Так как для всех x

arctg nx

, то x

и n

имеем

arctg nx

(x)

≤

+ n 3 n x6 + n 3

∞

Из сходимости мажорирующего ряда

π ∑

следует абсолютная и равномерная схо-

∞

arctg

2 n=1 n3

димость ряда ∑

на

n=1

Пользуясь признаком Вейерштрасса доказать абсолютную и равномерную сходимость рядов на множестве .

9.179.

9.181.

9.183.

∑∞ n2 (1+1(nx)2 ).

n=1

∞

∑n=1 2n + x4 .

∑∞ arctg nx . n=1 n n

9.180.

9.182.

9.184.

∞
∑sin nx .
n=1	n!
∞
∑cos nxn .
n=1	10
∞	2cos x sin nx			.
∑	(n +	1)	2	.
n=1	(n +	1)

Задачи повышенной сложности

Исследовать ряд на равномерную и абсолютную сходимость.

∞	∞
9.185. ∑xe−n4 x2 , x .	9.186. ∑nxe−n5 x2 , x .
n=1	n=1
9.187. Доказать, что если члены равномерно сходящегося в области
∞
D1 функционального ряда ∑ fn (x)	умножить на одну и ту же ограничен-

n=1

ную в области D1 функцию ϕ(x) , то равномерная сходимость ряда не нарушится.

9.188. Доказать, что если функции

fn (x)

непрерывны в области D1 и

∞

ряд ∑ fn (x)

равномерно сходится в этой области, то его сумма S(x) не-

n=1

прерывна в области D1 .

∞

9.189. Определить при

<1 сумму и остаток ряда ∑xn−1

и показать,

n=1

что

он

сходится равномерно на

отрезке

При каком

остаток

Rn (x)

S(x) − Sn (x)

< 0,001 для любого x на этом отрезке?

∞

9.190. Показать, что ряд ∑x(1− x)n−1

сходится неравномерно на от-

n=1

резке

[

0;1

и равномерно на отрезке

1 ;1 .

При каком

остаток

]

Rn (x)

< 0,01 для любого x на отрезке

∞

9.191. Показать, что ряд ∑

сходится равномерно к

(x + n

−1)(x + n)

n=1

в интервале 0 < x < ∞. При каком

n (и любом x > 0 ) остаток ряда

Rn (x)

< 0,1?

∞

(x −1)

сходится равномерно на отрезке

9.192. Показать, что ряд ∑

[

n=1

0;1 . При каких n и любом x на этом отрезке

R (x)

< 0,1?

]

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20151 Мб60Grafiki.pdf
#
11.02.201531 Кб19Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015119 Кб161Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015224 Кб17Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20182 Мб23Лекции по матану.doc
#
11.02.20153 Мб365матан 3 семестр.pdf
#
11.02.20152 Мб117матан шпора.doc
#
11.02.20151 Мб128Математика.docx
#
11.02.2015102 Кб366Основные свойства степеней, корней, формулы.doc
#
11.02.201524 Кб20Семинар.doc
#
22.04.20193 Мб65ТЕСТы по математике(Экзамен).docx