- •Найти какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения
- •РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
- •Задачи повышенной сложности
- •Теорема. Пусть дан ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами
- •В частности, ряд
- •Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
- •Задачи повышенной сложности
- •Глава 10
- •ГЛАВА 9
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
9.79. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
nln n(ln ln n) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
n=3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.81. ∑tg |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
8n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
− |
1 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.83. ∑ 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.85. ∑ |
|
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=1 |
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
1+sin |
1 |
− |
1 |
−sin |
1 |
|
|||||
9.87. ∑n |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.89. ∑10 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
2 |
n |
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.91. ∑sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
4 |
+4 1 . |
|
|||
9.80. ∑ln n |
|
|
||||||
n=1 |
|
|
n |
|
|
|
||
∞ |
( |
2)n |
n |
n! . |
|
|||
9.82. ∑ |
|
|
||||||
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
||
∞ |
|
7n −3 |
n |
|
||||
9.84. ∑ |
|
|
|
|
. |
|
||
n=1 |
3 + 4n |
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
||
9.86. ∑ |
|
|
|
|
. |
|||
nln nln ln n |
||||||||
n=3 |
|
|||||||
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
9.88. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
||
n +5 |
n |
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
∑∞ 12n n!
9.90. n=1 nn .
∑∞ nln n
9.92. n=2 n2 −1 .
|
|
|
|
|
|
Задачи повышенной сложности |
|
||
Исследовать на сходимость ряды: |
4 +3(−1)n |
|
|||||||
|
∞ |
7n2 +1 |
∞ |
|
|||||
9.93. |
∑n=1 |
|
|
|
. |
9.94. ∑ |
2 |
n |
. |
5n |
2 |
|
|||||||
|
|
3 n |
n=1 |
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
9.95. ∑ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ne |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
9.97. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
(2n −1)ln(n +1) |
|||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|||||||||||||||
∞ |
2 + |
(−1) |
n |
. |
|
|
|
|
|||||||||
9.99. ∑ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
n −ln n |
|
|
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n |
2 |
+5 |
|
|
|
|
|||||
9.101. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|||||||
n=1 n |
2 +sin |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
∞ |
|
|
arctg π |
|
|
|
|
|
|||||||||
9.103. ∑ |
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
9.105. ∑arcsin |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(n2 +3)2 |
|
|
∞ |
4 |
|
2n |
|
|
n |
|
|
|
||||||
9.96. ∑n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=2 |
3n + |
4 |
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
9.98. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(2n +1) |
|||||
n=1 (2n +3)ln |
|
|
|||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
||||||
9.100. ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(5n |
2 |
−9)ln(n − 2) |
|||||||||||||
n=4 |
|
|
|||||||||||||
∞ |
1 arctg |
|
|
n2 −1 |
|
|
|
||||||||
9.102. ∑ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
n2 − n |
|
|
||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
n! |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
9.104. ∑ |
|
|
tg |
|
|
. |
|
|
|||||||
(2n)! |
|
|
n |
|
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
9.106. ∑n en − |
1 . |
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
∞ |
|
|
|
n |
+ n |
3 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.107. ∑ |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
n |
2 |
(n +1) +sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
|
+ ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
−cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
ln 1+sin |
|
|
+ en |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9.108. ∑ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n + ln |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n + arctg n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.109. Исследовать на сходимость ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
при различных |
|||||||||||||||||||
n |
p |
|
|
|
α |
|
|
||||||||||||||||||||
действительных значениях p |
и α . |
|
|
n=2 |
(ln n) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
9.110. Исследовать |
|
на |
сходимость |
ряд |
∑ |
|
|
|
|
|
|
при |
|||||||||||||||
|
n |
p |
(ln n) |
α |
(ln ln n) |
β |
|||||||||||||||||||||
различных действительных значениях p , |
|
n=3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
α и β . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
9.111. Положим an = 2n2 |
. |
Доказать, |
что ряд ∑an |
расходится, а ряд |
n=1
∑∞ an сходится.
n=1 Sn+1
9.112. Доказать, что сумма ряда с неотрицательными членами не изменится при произвольной перестановке его членов.
57