Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

матан 3 семестр.pdf

Скачиваний:

345

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

2.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Глава 10

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 1. Преобразование Лапласа

1. Определение и свойства преобразования Лапласа. Оригиналом называется всякая функция f (t) , t R, удовлетворяющая следующим условиям:

1)f (t) = 0 при t < 0 , причем f (0) = f (+0) ;

2)существуют такие числа M и σ, что | f (t) |≤ Meσt при t > 0 ;

3)на любом отрезке [0,T ] функция f (t) может иметь лишь конечное число то-

чек разрыва, причем только 1-го рода.

Отображение, ставящее в соответствие всякому оригиналу f (t) функцию F( p) комплексной переменной p, определяемую равенством

F( p) = +∞∫ e− pt f (t)dt ,

		0
называется преобразованием Лапласа. Функция F( p)				называется изображением (или
также преобразованием Лапласа) функции			f (t) . Соответствие между оригиналом f (t)
и его изображением F( p)	символически записывается в виде						f (t)		F( p) (существуют
и другие обозначения этого соответствия).
Пример 1. Найти изображение функции
		0,	t < 0 и t > 3,
		f (t) =	0 ≤ t < 3.
		2,	0 ≤ t < 3.
3Согласно определению
F( p) = +∞∫ e− pt f (t)dt = ∫3 e− pt 2dt + +∞∫ e− pt 0dt = −				2	e− pt	3	=	2	(1−e−3 p ) .4
				2		3		2

0	0	3		p		0		p

Найти изображения для следующих оригиналов:

1, 0 ≤ t < 2, 10.1. f (t) = −1, 2 ≤ t < 3,

0, t ≥ 3.

0, t <1,

10.3. f (t) =

e2t , t ≥1.

10.2. f (t)

10.4. f (t)

0, t < 2,

= −1, t ≥ 2.

0, t <1 и t ≥ 2,

=1, 1 ≤ t < 2.

Некоторые свойства преобразования Лапласа (в формулировках свойств предполагается, что f (t) F( p) , g(t) G( p) ):

1) Линейность. а) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений, т.е. f (t) + g(t) F( p) +G( p) ;

б) умножению оригинала на число соответствует умножение изображения на это число, т.е. для любого числа C

Cf (t) CF( p) .

2) Теорема смещения. Умножению оригинала на eαt

соответствует смещение

аргумента изображения на α, т.е.

eαt f (t)

F( p −α) .

3) Теорема

о дифференцировании

оригинала.

′

′′

… ,

Если f (t) ,

f (t) ,

f (n) (t) являются оригиналами, то

′

pF( p) − f (0) ,

(t)

′′

′

f (t)

F( p) − pf (0) − f

(0) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

(n)

(t)

F( p) − p

n−1

f (0) − p

n−2

′

−…− f

(n−1)

(0) ;

(0)

в частности, если f (0) = f

′

= f

(n−1)

(0) = 0 , то

(0) = …

f (n) (t)

pn F( p) ,

т.е. n-кратномудифференцированиюоригиналасоответствуетумножениеизображенияна pn .

4) Теорема о дифференцировании изображения.

tf (t)

′

−F ( p) ,

′′

f (t) F ( p) ,

. . . . . . . . . . . . . ,

tn f (t)

(−1)n F (n) ( p) ,

т.е. умножению оригинала на tn

соответствует n-кратное дифференцирование изобра-

жения и умножение его на (−1)n .

5) Изображение свертки. Свертке оригиналов

f g = ∫t

f (τ)g(t −τ)dτ

соответствует произведение изображений, т.е.

f g F( p)G( p) .

Таблица изображений некоторых основных функций

(формулы для

f (t)

действуют при t ≥ 0 ; f (t) = 0 при t < 0 )

№

f (t)

F( p)

№

f (t)

F( p)

cos βt

p2 +β2

αt

sin βt

p −α

p2 +β2

αt

cos βt

p −α

pn+1

( p −α)2 +β2

αt

( p −α)n+1

sin βt

( p −α)2 +β2

С помощью свойств преобразования Лапласа и приведенной таблицы можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике.

Пример 2. Найти изображение функции cos2 3t . 3По формуле понижения степени имеем

cos2 3t = 12 + 12 cos 6t .

Используя свойство линейности и формулу 5 таблицы, находим:

cos2 3t	1	1	+	1	p	=	p2 +18	.4
	2	p		2	p2 +36		p( p2 +36)

Пример 3. Найти изображение функции t sin t .

3Используя теорему о дифференцировании изображения и формулу 6 таблицы,

имеем				2 p
	1	′			4
t sin t −( p2 +1)			=	( p2 +1)2 .

10.5.Найти изображение оригинала e−2t f (t) , если f (t)

10.6.Найти изображение оригинала 2 f (t) − 4g(t) , если

g(t)	1		.
		p2 − 4
	10.7. Найти изображение оригинала tf (t) , если				f (t)
	10.8. Найти изображение оригинала f			′′	если
				(t) ,

f (0) = 0 , f ′(0) = 2 .

1 . ln p

f (t)	p	,
	p2 − 4

1	.
p3 + 2	.	2
f (t)		2	,
f (t)		p2 −3	,

Предполагая, что x(t) X ( p) , найти изображения следующих дифференциальных выражений при заданных начальных условиях:

10.9.x′′+5x′−7x ; x(0) = 2 , x′(0) = −1.

10.10.x(4) + 4x′′′+ 2x′′−3x′; x(0) = x′(0) = x′′(0) = x′′′(0) = 0 .

Найти изображения следующих функций:

10.11.

−3 .

10.12. t

+ 2e

10.13. e

−t

−3e

−2t

+t .

10.14. 2sin t −cos

10.15. t3e2t .

10.16. t2e−t .

10.17. e−t cos2 t .

10.18. sin2 t .

10.19. sin t −t cost .

10.20. e2t sin 3t .

10.21. tet sin 2t .

10.22. t cos 2t .

2. Восстановление оригинала по изображению. Если изображение является правильной рациональной дробью, то для восстановления оригинала необходимо разложить ее в сумму простейших дробей. При этом возможны два варианта:

1. Разложить знаменатель данной дроби на линейные множители (вообще говоря, с комплексными коэффициентами) – в этом случае разложение на простейшие дро-

би будет содержать лишь простейшие 1-го	A	и 2-го (	A	, k >1 ) типов – а
	p −α		( p −α)k

затем воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа, формулами 1–4 таблицы изображений и, для получения действительного оригинала в случае комплекс-

ного α в формулах 2 и 4, – формулой Эйлера eiϕ = cos ϕ+i sin ϕ. Этот способ – наиболее

общий.

2. Если знаменатель данной дроби разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами, причем все квадратичные множители различны (т.е. все комплексные корни знаменателя – простые), то разложение на простейшие дроби с действительными коэффициентами будет содержать простейшие 1–3

Ap + B

типов. Далее каждую простейшую 3-го типа ( ( p −α)2 +β2 ) необходимо представить в

виде линейной комбинации изображений из формул 7–8 (или 5–6 при α = 0 ) и воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей изображений.

Пример 4. Найти оригинал для функции F( p) =	4 p2	− p	.
	( p +1)( p2 + 4)

3Разложим дробь в сумму простейших (в множестве действительных чисел), используя метод неопределенных коэффициентов,

4 p2 − p	=	1	+	3 p −4	,
( p +1)( p2 + 4)		p +1		p2 + 4

и далее простейшую 3-го типа – в линейную комбинацию изображений cos βt и sin βt :

			4 p2 − p								=	1	+		3 p −4		=			1	+3				p		−2		2		.
			( p +	1)( p2 + 4)							=	p +1	+		p2	+ 4	=		p +1		+3			p2	+	4	−2	p2	+ 4		.
			( p +	1)( p2 + 4)								p +1			p2	+ 4			p +1					p2	+	4		p2	+ 4
Используя теперь свойство линейности и формулы 2, 5 и 6 таблицы, получаем
									4 p2 − p					e−t +3cos 2t −2 sin 2t .4
							( p +1)( p2 + 4)							e−t +3cos 2t −2 sin 2t .4
							( p +1)( p2 + 4)
Найти оригиналы для следующих функций:
10.23.		5 p3 −1			.							10.24.				1				.						10.25.					6		.
10.23.			p4		.							10.24.				2 p	+	6		.						10.25.				( p +		2)3	.
			p4													2 p	+	6												( p +		2)3
10.26.	1					.						10.27.						p					.			10.28.				2 p −3 .
10.26.		( p −		1)2		.						10.27.				p2	+ 4 p +5						.			10.28.				2 p −3 .
		( p −		1)2												p2	+ 4 p +5													p2 + 4
10.29.				1								10.30.					p −7									10.31.						p
										.												.												.
		p3 + 2 p2 + p								.						p2 − 2 p −3						.								( p2 − 4)( p2 +1)				.
10.32.	1							.
10.32.	p2 ( p2 +1)							.

L( p)

§ 2. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Для нахождения решения x(t) линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

x(n) +a1x(n−1) + … +an x = f (t)

(1)

(где f (t) – оригинал), удовлетворяющего начальным условиям x(0) = x0 , x′(0) = x0′, …, x(n−1) (0) = x0(n−1) ,

необходимо (предполагая x(t), x′(t), …, x(n) (t) оригиналами) применить к обеим частям

этого уравнения преобразование Лапласа, воспользовавшись при этом свойством линейности и теоремой о дифференцировании оригинала. В результате получится опера-

торное уравнение

L( p) X ( p) +Q( p) = F( p),	(2)
где X ( p) – изображение искомого решения, F( p) – изображение функции	f (t) ,

L( p) = pn + a1 pn−1 + … + an – характеристический многочлен уравнения (1), а Q( p) – некоторый многочлен степени не выше (n −1) , коэффициенты которого зависят от начальных значений x0 , x0′, …, x0(n−1) и коэффициентов уравнения (1). Решив линейное алгебраическое уравнение (2) относительно X :

X = F( p) −Q( p)

инайдяоригиналдля X , получимискомоерешение x(t) . Еслисчитать x0 , x0′, …, x0(n−1) про-

извольнымипостоянными, тонайденноерешениебудетобщимрешениемуравнения(1). Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-

тами решаются аналогично. При этом вместо одного операторного уравнения получается система таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций.

Пример 1. Найти частное решение уравнения x′′+4x′+4x = 3te−2t , удовлетворяющее начальным условиям x(0) = x′(0) = 0 .

3Пусть x(t) X ( p) , тогда по теореме о дифференцировании оригинала с учетом нулевых начальных условий

′	′′	p	2	X .
x (t)	pX , x (t)	p		X .

Используя формулу 4 таблицы изображений, находим

3te−2t	3		,
	( p +	2)2

и, следовательно, переходя к изображениям в данном уравнении, получаем операторное уравнение

( p2 + 4 p + 4) X = ( p +32)2 ,

откуда

X =

Восстанавливая

оригинал с

помощью формулы 4, получим

( p + 2)4

1 t3e−2t

. Итак, искомое решение x =

1 t3e−2t

( p + 2)4

Пример 2. Найти решение x(t)

уравнения

x′′−2x′+5x = 0 , удовлетворяющее

начальным условиям x(0) =1

′

x (0) = −3 .

3Пусть x(t)

X , тогда

′

′′

′

X − p +3 .

x (t) pX

− x(0) = pX −1, x (t)

p( pX −1) − x (0) = p

Следовательно, операторное уравнение имеет вид

p2 X − p +3 −2( pX −1) +5X = 0 ,

или

( p2 −2 p +5) X = p −5 ,

X =

p −5

откуда

p2 −2 p +5

Для нахождения оригинала запишем эту простейшую 3-го типа в виде линейной

комбинации изображений из формул 7–8 таблицы изображений:

p −5

p −1−4

p −1

−2

p2 −2 p +5

( p −1)2 +

( p −1)2 +4

Отсюда x = et cos 2t −2et sin 2t = et (cos 2t −2sin 2t) .4

Пример 3. Найти решение системы

x′′− y′

= 0,

x − y′′ = 2sin t,

′

удовлетворяющее начальным условиям x(0) = −1 , x (0) = y(0) = y (0) =1 .

3 Пусть x(t)

X , y(t)

Y , тогда

′′

′

′′

x (t)

+ p −1, y (t)

pY −1, y (t)

p Y − p −1,

и получаем операторную систему

p2 X + p −1−( pY −1) = 0,

X −( p2Y − p −1) = p22+1 ,

или

pX −Y = −1,

X − p2Y = 1− p − p2 − p3 .p2 +1

Решив эту систему относительно X и Y , получим

X = 1p2−+p1 , Y = 1p+2 +p1 ,

откуда искомое решение x = sin t −cos t , y = sin t +cos t .4

Решить дифференциальные уравнения:

′′	′	= e	−t	sin t .	′′	+9x =13e	−2t	.
10.33. x	+ x	= e		sin t .	10.34. x	+9x =13e		.

Найти решения дифференциальных уравнений и систем при заданных начальных условиях:

10.35.

′′′

′′

′

+ x

=te

−t

;

′

′′

= 0 .

+3x

x(0) = x (0)

= x (0)

10.36.

′′

+ 4x = 4t

+ 2 ;

′

= 0 .

x(0) = x (0)

10.37.x′′+3x = 2cost ; x(0) =1, x′(0) = 0 .

10.38.x′′− 4x = −6e−t ; x(0) = 2 , x′(0) = −2 .

10.39.x′′+3x′ = e−3t ; x(0) = 0 , x′(0) = −1.

10.40.

′′

′

+ x = −6cost ;

x(0)

′

= 3 .

− 2x

= 0 , x (0)

10.41.

′′

′

+ x = e

−t

′

+ 2x

; x(0) =1, x (0) = 0 .

10.42.

′′′

− x

′′

; x(0) =1,

′

′′

= 0 .

= e

x (0)

= x (0)

10.43.

x′ = x − y,

x(0) = −1,

y(0) = 0 .

;

y′ = x + y + et

10.44.

x′+ y = 0

x(0) =1,

y(0) = −1.

+ y′ = 0;

10.45.

x′′− y′ = 0,

′

− y

′′

= 2cost;

x(0) = y (0) = 0 ,

x (0) = y(0) = 2 .

′′

− y

′

10.46.

′

= e

x(0)

=1, y(0) = −1,

= 0 .

+ y

′′

− y = 0;

x (0)

= y (0)

ОТВЕТЫ

ГЛАВА 8

8.1. Третий. 8.2. Второй.

8.3. Да.

8.4. Нет.

8.5. Нет. 8.6. Да.

8.9. y = ln | x | −e−x +C .

8.10. y = 2sin 3x − x2 +C .

8.12. Нет.

8.13. Нет.

8.14. Да.

8.15. y = 2 −3cos x .

8.16. y =

8.17. y = x2 −2x

x +1 .

8.18. y = ln(1+ x2 ) −2 .

8.19. 2x + y +1 = 0 .

1+2x

x2 +( y −1)2

y = −x ,

8.27. xy >1,

8.20. 60°.

8.21. Окружность

= 4 .

8.22. Луч

x > 0 .

8.29. y = ± cos x +C

( C > −1 ).

8.30. y = ±

x2 +C .

8.31. y =

cos x

8.32. y =

. 8.33. y3 + y − x2 = C .

8.34. y +ln | y |= x +C ;

y = 0 .

8.35. arcsin y = x2 +C

( C < π );

π );

y = ±1.

8.36. y = (arcsin x +C)2

( C > −

y = 0 . 8.37. y = Ce 1−x2 ;

x = ±1 .

8.38. y = tg ln C(1+ x2 )

( C > 0 ).

8.39. y = 2e−x (x +1) .

8.40. y = −ln(2 −ex ) .

8.41. x2 + y

2 +ln

= 2 .

8.42. 2 y +sin y +cos x +1 = 0 .

8.43. y =1.

8.44. y = 0 .

8.45. y =

1− x2

+ x

8.46. y =

sin x

;

= 0 ;

x = πn ,

n .

1− x2 −Cx

1+C sin x

8.47. y =1− x −2

3 − x ;

y = −3 .

8.48. y =

x (−π, 0) .

8.49. y = ±x

2ln Cx

−tg

( C ≠ 0 ).

8.50. x + y ln Cy = 0 ( C ≠ 0 ); y = 0 .

8.51. y − x ln Cy = 0

( C ≠ 0 );

x = 0 ;

y = 0 .

8.52. y = −x ln Cx

( C ≠ 0 );

x = 0 .

8.53. y = 2x(arctg Cx + πk) ,

k Z;

y = π(2n +1)x ,

n Z.

8.54.

y = x ln ln Cx

( C ≠ 0 ).

8.55. y = x arcsin 2x .

8.56. y = xe1−x .

8.57. y =	1	(x2	−1) .	8.58. x2 = 2 y2 ln 2 y .
	2

8.60. 2 xy arctg xy = ln(x2 + y2 ) . 8.61. y = −x .

8.59. y = x		2		+Cx3	; x = 0	; y = −x .
		1		−Cx3

8.62. ϕ(t) = −	1		.	8.63. y = (x +1)2 (ex +C) .

	t2

8.64. y = Cx3 − x2 .			8.65. y = e−x2 (x3 +C) . 8.66. y =		1 e3x +Ce−2 x .	8.67. y = x(sin x +C) .
8.68. y = ex ln Cx				8.69. y = (x +1)(x2 +1) .	5		8.71. x = y3 +Cy ;
			( C ≠ 0 ).		8.70. y = sin x .
y = 0 . 8.72. x = ey +Ce−y .				8.73. y = 1 e−2 x2 (x2 +C)2 ; y = 0 .		8.74. y = 3 Cx3 −3x2 .
8.75. y = x ln x + C				4
			. 8.76. y = e2 x −ex +0,5x +0, 25 .		8.77. y = −x .		8.78. y = 0, 25x2 .
	1	x
8.79. y = Cx +		( C ≠ 0 ); y = ±2 x . 8.80. y = Cx −eC ; y = x(ln x −1) .					8.81. y = Cx +ln C

	C

( C > 0 ); y = −1−ln(−x) .

8.82. y = C(x +1) + C ( C ≥ 0 );

y = −

. 8.83. cos

= C .

4(x +1)

8.84. y = C(x +1) +C2 ;

y = −0, 25(x +1)2 .

8.85. y = Cx +

1+C2 ;

y =

1− x2 .

8.86. y = −ln(C −e2 x )

( C > 0 ).

8.87. y = 0,5e−

8.88. y = −e−x ctg x .

8.89. y = (1− x) cos x .

8.90. y = 2x ln x .

8.91. y =

8.92. y = 1 (x2 + 4) .

ln x + 2

8.93. Гипербола

y =

8.94. Гипербола

x2 − y2 = 4 .

8.95. x2 + y2

= 5x4 .

x −1

8.96. y = 1 − x2 .

8.97. Через

x −2 y = 0 6 мин 18 с.

8.98. Через 40 мин.

8.99. Через

14πR2

8.102.

8.108.

8.111.

с ≈ 1 ч 51 мин 28 с.

8.100. h

v0 −v1

с ≈ 0,0011 с. 8.101. Нет.

v v ln

4000ln 2

Да.

8.103.

Нет.

8.104. Нет.

8.107. y = arctg x +C1x +C2 .

y = x3 −sin 2x +C x +C

8.109. y = C ln | 2x +1| +C

8.110. y = C x4 +C

y = C (x +ex ) +C

8.112. y = ln | x +C | +C

;

y = C .

8.113. y =

(C x +C

( C ≠ 0 ).

8.114. y =1−

( C 2

≠ 0 );

y =1.

4C1

C1x +C2

8.115. y5 +C y = C

−5x ;

y = C .

8.116. y4 +C y = x +C

;

y = C .

8.117. y = ±(C x +C

)−2

+2 ;

y = 2 .

8.118. y = ±

C x +C

8.119. y = ln x − x2 +2 .

8.120. y = 2

x3 −3x .

8.121. y = 3x + 2 −(x −6)3 .

8.122. y = (x −2)2 .

8.123. y = x2 +1.

8.124. y = e−x

+1.

8.125. y = ln(x +1) .

8.126. y = tg x .

8.127. y =

1 +C ln | x | +C

1 sin 2x .

8.128. y = ex (x −1) +C x2 +C

8.129. y = C sin x +C

− x −

8.130. y = C x3

−

−x2 +C

8.131. y −C ln | y |= x +C

;

y = C .

8.132. y =

eC1x

( C ≠ 0 ); y = C − x ;

y = 0 .

8.133. y =

8.134.

= C1x +C2

( C1 ≠ 0 );

y = C .

cos2 (x +C

)

8.135. y = arcctg x .

8.136. y =

(x2

−

1) .

8.137.

(

RH − R2

+ H arcsin

H −2R

πH

) . 8.138. v =

F eat −1

x =

eat +1

−

t , где a =

kF .

8.139. Линейно не-

eat +1

зависима.

8.140. Линейно зависима. 8.141. Линейно зависима.

8.142. Линейно незави-

сима.

8.143. Линейно зависима.

8.144. Линейно независима.

8.145. Линейно незави-

сима.

8.146. Линейно зависима.

8.147. Да. 8.148. Да. 8.149. Нет.

8.150. y = 3x2 −2x3 .

8.151. y = ex +2e2 x +3e3x .

8.152. y′′−2 y′+ y = 0 .

8.153. x2 y′′−6xy′+12 y = 0 .

8.154. y = C tg x +C

cos x +ln x .

8.155. y = e3x (C +C

x) .

8.156. y = e2 x (C cos x +C

sin x) .

8.157. y = C e−34 x

e2 x .

8.158.

y = e−

(C +C

x) .

8.159. y = e−3x (C cos 2x +C

sin 2x) .

8.160. y = C ex

e4 x .

8.161. y = C e

e−

3x .

8.162. y = C1 cos

2x +C2 sin

2x .

8.163. y′′−4 y′+5y = 0 .

8.164. y′′− y′−2 y = 0 .

8.165. y = e−x (2 −3x) .

8.166. y = e−2 x −2 .

8.167. y = −sin 2x .

8.168. y = xe2 x .

8.169. y = 1 (ex −e−x ) .

8.170. y = 2cos x +3sin x .

8.171. y = C e−23 x

+ex (C

cos x +

8.172. y = C e−2 x +e2 x (C

8.173. y = (C +C

+C sin x) .

cos x +C sin x) .

x) cos x +

+(C

x)sin x .

8.175. x = e−t (1−t2 ) .

8.176. y = 2 +e−x .

8.177. r =

(eωt

−e−ωt ) .

•

2ω

8.178. x = a cos

8.179. y

′′

′

r = ω r .

+ y

− y = xe .

Уравнение

имеет

вид

mt .

8.180. y′′− y′−2 y = −4x .

8.181. y = C1 cos x +C2 sin x +cos x ln | tg

| +2 .

8.182. y = ex (C + C

x +

4 − x2 + x arcsin

) .

8.183. x2 ( Ax + B)e4 x .

8.184. Aex .

8.185. x( Ax2 + Bx +C) .

8.186. ex (( Ax + B) cos 2x +(Cx + D)sin 2x) .

8.187. ( Ax + B) cos x + (Cx + D)sin x .

8.188. x( Acos 2x + B sin 2x) .

8.189. Ax +

+B cos 4x +C sin 4x .

8.190. Ax + B +C cos x + D sin x .

8.191. y =

1 xe3x .

8.192. y = 2cos x +sin x .

8.193. y = C +C

− x3 .

8.194. y = e−2 x (C +C

x) +ex .

8.195. y = e−2 x (C cos x +C

sin x) +2e−3x .

8.196. y = C ex +(C

−

)e−x .

8.197. y = ex (C +C

x + x2 ) .

8.198. y = C cos 3x + C

sin 3x +1−

8.199. y = C e2 x

e3x +5cos3x −sin 3x .

8.200. y = ex (C +C

y = e3x (C cos x +

x) +cos x .

8.201.

sin x) +2sin x .

8.202. y = C cos x +C

sin x +3sin 2x .

8.203. y = C ex

+(C

− x)e−4 x

+(6x +1)e−x .

8.204. y = C cos 2x +C

sin 2x +2(1−cos x) .

8.205. y = e−2 x +3x .

8.206. y = e3x

+cos 2x .

8.207. y = e2 x (x −2) .

8.208. y =1+ x2 .

8.209. y = cos x −cos 2x .

8.210. y = xe−x +cos x +sin x .

8.211. y′′′−4 y′′+8y′ =

= 8 cos 2x +16 sin 2x .

8.212. y(4) −2 y′′′+ y′′ = 6 −4sin x .

8.213. y = C1ex +(x2 +C2 x +

+C )e−x

−4 .

8.214. y = C +C

x +C cos x +C

sin x +

(x2 +2x −12) .

8.215. y = 2xex

−

−cos x .

8.216. y =1+(x −3)sin 2x . 8.217.

ln(9 + 80) с ≈ 2, 77 с. • Уравнение

9,81

имеет вид s −

s =

, где s – путь, пройденный за время t концом опускающейся части

8.220. y = e−

троса. 8.218. I =

t sin ωt . • Уравнение имеет вид LI +

∫Idt = E(t) .

z = 2e

8.221. y1′ = y2 ,

y2′ = y3 , y3′ = xy1 y3 − y23 .

8.222. y1′ = y2 ,

y2′ = y3 , y3′ = y4 ,

y4′ = y12 .

8.223. y = ± C x +C											,		z = ±			2	C x +C						( C ≠ 0 ).									8.224. y = C ex				+C			e5x ,
8.223. y = ± C x +C										2	,		z = ±				C x +C					2	( C ≠ 0 ).									8.224. y = C ex				+C			e5x ,
					1					2						C1			1			2		1											1			2
																C1
z = −C ex		+3C			e5x .					8.225. λ = 2 ,							X	1		= (1, −3) ; λ				2	= 5 , X				2	= (2, −3) . 8.226. λ = −1,
	1			2									1					1						2					2								1
X1 = (1, 1) ;				λ2	= 3 ,						X2 = (5, 1) .						8.227. λ1,2 =1±3i ,									X1,2 = (2, 1 3i) .								8.228. λ = −2 ,
X = (1, 1) .			8.229. λ = −1,										X = (1, 1, −1) .								8.230. λ1 = 0 ,					X1 = (1, 2, 3) ; λ2								=1, X2 = (1, 1, 1) .
8.231. λ			= −2 ±i .								8.232. λ = 0 ,						λ		2	= −3 .			8.233. x = 3C e2t +C										e4t ,	y = C e2t		+C				e4t .
	1,2												1						2										1			2			1			2
8.234. x = C et +C								e2t			,	y = C et				+2C		e2t .					8.235. x = C e−t						+5C			e2t ,		y = C e−t +2C						e2t .
				1			2						1				2									1					2			1				2
8.236. x = C e−t					+3C					et ,			y = C e−t +C								et .				8.237. x = e−2t (5C cos3t +5C											2	sin 3t) ,
				1					2							1				2													1			2
y = e−2t [(4C −3C							) cos3t +(3C +4C										)sin 3t] .									8.238. x = e5t (C cos 2t +C cos 2t) ,
			1			2							1			2																	1		1
y = e5t [−(C +C						) cos 2t +(C −C										) sin 2t].															8.239. x = e−3t (C +C										t) ,
			1		2								1		2																					1				2
y = e−3t (−C +0,5C								2	−C			t) .					8.240. x = e−t (2C +C										2	+ 2C			t) ,			y = e−t (C +C						2	t) .
			1					2			2														1		2			2						1				2
8.241. x = −sin 2t ,									y = 2(cos 2t +sin 2t) . 8.242. x = 2e2t ,																	y = e2t . 8.243. Эллипс с центром
O	и	полуосями										a	и			v	m .						8.244. x = C +3C e2t ,											y = C	e−t −2C e2t ,
																0	k										1			3				2				3
z = C −2C				e−t +C e2t							.	8.245. Устойчиво. 8.246. Неустойчиво. 8.247. Устойчивый фо-
	1		2				3
кус.	8.248. Седло.										8.249. Центр.						8.250. Неустойчивый фокус.															8.251. Неустойчивый
узел.			8.252. Устойчивый													узел.					8.253. Неустойчивый											вырожденный						узел.
8.254. Устойчивый												вырожденный									узел.					8.255. x = 2e2t (C cos t +C											2	sin t) ,
																																		1			2
y = e2t [−(C +C						) cos t +(C −C								2	)sin t] ; неустойчивый фокус; фазовые траектории закру-
			1		2								1	2

чиваются по часовой стрелке, направление движения по ним – от начала координат.

8.256. x = 2C e−2t +C		e−5t , y = C e−2t −C			e−5t	; устойчивый узел; прямолинейные фазовые
1	2		1	2
траектории лежат	на		прямых	x −2 y = 0		и x + y = 0 , остальные касаются прямой

x −2 y = 0 в начале координат; направление движения по всем фазовым траекториям – к началу координат. 8.257. x = C1e−t +4C2e2t , y = C1e−t +C2e2t ; седло; прямолинейные фазовые траектории лежат на прямых x − y = 0 (направление движения – к началу коор-

динат) и x −4 y = 0	(направление движения –	от начала координат).
8.258. x = C1 cos t +C2 sin t ,	y = (C1 −C2 ) cos t +(C1 +C2 )sin t ; центр; направление движе-
ния по фазовым траекториям – против часовой стрелки.		8.259. При α (−∞, −0,5) –

седло, при α (−0,5; 0) (4, +∞) – неустойчивый узел, при α = 0 и α = 4 – неустойчивый вырожденный узел, при α (0, 4) – неустойчивый фокус; точка покоя неустойчива при любых α. 8.260. При α (− 3, 3) – седло, при α (−2, − 3) ( 3, 2) – устойчивый узел, при α = ±2 – устойчивый вырожденный узел, при α (−∞, −2) ( 2, +∞) –

устойчивый	фокус;	точка	покоя	асимптотически	устойчива	при
α (−∞, −	3) ( 3, +∞)	и неустойчива при α (− 3, 3) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20151.19 Mб52Grafiki.pdf
#
11.02.201530.61 Кб18Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015118.63 Кб151Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015223.74 Кб14Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20181.53 Mб11Лекции по матану.doc
#
11.02.20152.53 Mб345матан 3 семестр.pdf
#
11.02.20151.7 Mб110матан шпора.doc
#
11.02.20151.1 Mб112Математика.docx
#
11.02.2015101.89 Кб335Основные свойства степеней, корней, формулы.doc
#
11.02.201524.06 Кб17Семинар.doc
#
22.04.20193.19 Mб49ТЕСТы по математике(Экзамен).docx