Задачи повышенной сложности

ма ряда в данном случае

совпадает со значениями функции f (x) = x2 , поскольку

f (−π) + f (π)

= f (π) = f (−π) .4

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

матан 3 семестр.pdf

Скачиваний:

365

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

9.231.

9.233.

9.235.

9.237.

9.239.

9.241.

4 + x2 .

ln (x2 +3x + 2).

1 .

(1+ x)2

x2 − x − 2

12 ln 11+− xx .

∫x sin u2 du .

0 u

9.232.

9.234.

9.236.

9.238.

9.240.

9.242.

	x			.
	3 + 4x			.		)
ln 1+ x − 2x2							.
(
	1		.
1 − x			.
1 − x
			3		.
	1 + x − 2x2				.
	3 27 − x .
	x	u2
∫e−		2 du .
0

Разложить функции в ряд по степеням x − x0 и определить области сходимости полученных рядов.

9.243. x3 − 2x2 −5x − 2, x = −4 .	9.244. x3	+ x2 −3x + 4, x =1.
0				x	0
9.245. Разложить в ряд Маклорена функцию		f (x) =		x	и из полу-
9.245. Разложить в ряд Маклорена функцию		f (x) =	1	+ x2	и из полу-
			1	+ x2

ченного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена

для функции	1− x2				.
для функции	(	+ x	)	2	.
	1	+ x
		2
9.246. Разложить в ряд Маклорена функцию						f (x) =		1	и из полу-
9.246. Разложить в ряд Маклорена функцию						f (x) =	1	− x	и из полу-
							1	− x

ченного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена

для функции	1			.
		(1− x)2

						Задачи повышенной сложности
Разложить функции в ряд по степеням x − x0 и определить области
сходимости полученных рядов.								9.248. ln (x2 + 6x +12), x0 = −3 .
9.247. ln (5x +3), x0 =1.
9.249.	1					, x0 = 3.		9.250.	1	, x0 = −4 .
	x2 −6x +5								x2 +3x + 2
9.251.		3x + 4			, x = 0 .			9.252.	1		, x =1.
									(x2 + 2x +3)2
	x2 + x −		6		0						0
9.253. 7x2 , x = 0 .								9.254. 12 x , x = 0 .
	0								0
9.255.	xcos x −sin x						, x = 0.	9.256.	xsin x −1+ cos x			, x = 0 .

		x2			0				x2		0

Используя возможность почленного интегрирования степенных рядов, разложить в ряд Маклорена следующие функции:

9.257. 2x arctg x −ln (1+ x2 )+3 .

9.258. ln (x3 + 9 + x6 ).

3. Применение степенных рядов.	f (x) в интервале
1) Приближенное вычисление значений функции. Если функция	f (x) в интервале
∞
(x0 − R; x0 + R) разлагается в степенной ряд f (x) = ∑an (x − x0 )n ,	то в качестве при-
n=0

ближенного значения функции f (x) в точке x (x0 − R; x0 + R) можно взять частичную

сумму этого ряда: f (x) ≈ Sn (x) = ∑ak (x − x0 )k . Точность этого равенства увеличивает-

k =0

ся с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е.

∞

f (x) − Sn (x) = Rn (x) = ∑ ak (x − x0 )k .

k =n+1

Оценивать остаток ряда можно различными способами. Можно использовать представление остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши или интегральной (см. Гл. 4 §3). Можно, кроме того, строить для ряда числовую мажоранту, сумму которой несложно вычислить. В отдельных случаях можно применять признак Лейбница: если степенной ряд в некоторой точке x удовлетворяет признаку Лейбница, то

e = ∑

k =0

Rn (x) ≤ an+1 (x − x0 )n+1 .

Пример 1. Вычислить число e с точностью до 0,001. 3Подставив x =1 в формулу (12), имеем

1 + ∑∞ 1 . k ! k =n+1 k !

Оценим остаток

∞

n +1

∑

k −n

k =n+1 k !

n! k =n+1

(n +1)...k

n! k =n+1

+1)

1−

n!n

n +1

Следовательно, равенство e = ∑

имеет абсолютную погрешность, равную

k !

k =0

. Найдем n , для которого

< 0,001

или n!n >1000 . Получаем n ≥ 6 . Вычисляя

n!n

2 +∑

и округляя, находим ответ с требуемой точностью e ≈ 2,718 .4

k =2 k !

9.259. Определить, сколько нужно взять членов в разложении функции ln(1+ x) , чтобы вычислить ln 2 с точностью до 10−4 .

9.260. Определить, сколько нужно взять членов ряда в разложении функции cos x , чтобы вычислить cos10° с точностью до 10−4 .

Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до 10−4 :

9.261. e .	9.262.	1 .
		e
9.263. sin 12°.	9.264. cos1.

Задачи повышенной сложности

Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значения функций с точностью до 10−4 :

9.265.	4 700 .	9.266.	15 .
9.267.	ln 2 .	9.268.	3 520

2) Приближенное вычисление определенных интегралов. Разлагая подынтегральную функцию f (t) в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степен-

ных рядов, представить интеграл ∫x	f (t)dt в виде степенного ряда и вычислить его с за-
0

данной точностью при любом значении x из интервала сходимости полученного ряда.

Пример 2. Разложить функцию ∫x e−t2 dt в степенной ряд по степеням x .

∞

3Используя разложение ex = ∑

, получим

k !

k =0

e−t2

∞

= ∑(−1)k t

k =0

k !

на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим

∞

2k +1

∫e−t2 dt = ∑(−1)k

(2k +1)k !

k =0

Разложить указанные функции в степенные ряды по степеням x :

9.269. ∫x

ln (1+t2 )

dt .

9.270.

∫x sin t dt .

x 0

9.271. ∫x cost2dt.

9.272. ∫x

1 +t

Вычислить интегралы с точностью до 10−4 :

0,2

arctg t dt.

0,3

ln(1

+t) dt.

9.273. ∫

9.274. ∫

0, 6

0,5

9.275. ∫ 3 1+ x2 dx .

9.276. ∫e−t2 dt .

0,8	dx			1
9.277. ∫	dx		.	9.278. ∫sin x dx.
9.277. ∫		5	.	9.278. ∫sin x dx.
0	1+ x			0	x

3) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано, что решение y(x) представимо в виде степен-

ного ряда

∞	k	∞	y(k ) (x )		k
y(x) = ∑ak (x − x0 )		= ∑	0	(x − x0 )		,	(18)
y(x) = ∑ak (x − x0 )		= ∑	k !	(x − x0 )		,	(18)
k =0		k =0	k !

коэффициенты которого можно определить с учетом заданного уравнения различными способами.

а) Способ последовательного дифференцирования.

Пусть требуется найти решение уравнения y '' = f (x, y, y '), удовлетворяющее условиям y(x0 ) = y0 , y '(x0 ) = y1 , причем функция f (x, y, y ') в точке (x0 , y0 , y1 ) имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты y(k ) (x0 ) ряда (18) определяются путем последовательного дифференцирования исходного уравнения и подста-

новки в него x0		и найденных уже значений y '(x0 ), y ''(x0 ),...
Пример		3. Найти решение уравнения y '' = x2 y , удовлетворяющее условиям
y(0) = 0, y '(0) =1.
3Имеем		y(0) = 0, y '(0) =1, из заданного уравнения находим y ''(0) = 0 . Далее,
дифференцируя уравнение, имеем
y ''' = x2 y '+ 2xy,
y(4)	= x2 y ''+ 4xy '+2 y ,
y(5)	= x2 y '''+6xy ''+6 y ' ,
…
y(k +2) = x2 y(k ) + 2kxy(k −1) + k(k −1) y(k −2) ,
…
и при x = 0 получаем отсюда
y(k +2) (0) = k(k −1) y(k −2) (0), k = 2,3,...
Так как y(0) = y ''(0) = y '''(0) = 0 и y '(0) =1 , то

y(4n) (0) = y(4n+2) (0) = y(4n+3) (0) = 0
и
y(4n+5) (0) = (4n + 2)(4n +3) y(4n+1) (0) = 2 3					6 7...(4n +2)(4n +3), n .
Следовательно,		3 6	7...(4n +2)(4n +3)
∞
y(x) = ∑	2			x4n+1 .

n=0			(4n +1)!

По признаку Даламбера полученный ряд сходится для любых x , а определяемая этим рядом функция y(x) является решением заданного уравнения при любых x .4

Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:

9.279. y '' = x2 y, y(0) = y '(0) =1.

9.280. y '' = −x2 y '− 2xy +1, y(0) = y '(0) = 0 .

Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд:

9.281. y '' = −2xy, y(0) = y '(0) =1.

9.282. y '' = y cos x + x, y(0) =1, y '(0) = 0 .

б) Способ неопределенных коэффициентов.

Если исходное дифференциальное уравнение линейно относительно искомой функции и ее производных, причем коэффициент при старшей производной в точке x0

отличен от нуля, то решение следует искать в виде ряда (18) с неопределенным коэффициентами ak , k = 0,1,...

Пример 4. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения y ''− xy '+ y =1, удовлетворяющее условиям y(0) = y '(0) = 0 .

∞

3Ищем

решение

виде

ряда y(x) = ∑ak xk , в котором

силу условий

k =0

∞

y(0) = y '(0) = 0

имеем a0

= a1 = 0 . Следовательно,

y(x) = ∑ak xk . Подставив это выра-

жение в уравнение, получаем

k =2

∞

∑k(k −1)ak xk −2 −∑kak xk +∑ak xk =1.

k =2

Отсюда находим, что 2 1 a =1 , т.е.

, и (k +1)(k + 2)a

= (k −1)a для

k =1, 2,...

1 2

k +2

Так как a1 = 0 , то a2m+1 = 0

для всех m = 0,1,..., а для k = 2m, m =1, 2,..., получаем

рекуррентную формулу

a2(m+1) =

(2m −1)a2m

, m =1, 2,... ,

(2m +

1)(2m +

из которой выводим равенства

a2(m+1) =

(2m −1)!! .

(2m + 2)!

Следовательно, искомое решение имеет вид

∞

(2m −1)!! x2m+2 ,

y(x) =

+∑

m=1

(2m + 2)!

причем полученный ряд сходится при всех x

Найти решение уравнений, удовлетворяющие заданным условиям:

9.283. y ''+ xy '+ y =1, y(0) = y '(0) = 0 . 9.284. y ''− xy '+ y = x, y(0) = y '(0) = 0 . 9.285. y ''+ xy '+ y = x, y(0) = 0, y '(0) =1.

9.286. y ''+ xy '+ y = x cos x, y(0) = 0, y '(0) =1.

§ 4. Ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

	a0			a0	∞
		+ a1 cos x +b1 sin x +... + an	cos nx +bn sin nx +... =		+∑an cos nx +bn sin nx , (19)
2
			2		n=1
где действительные числа a0 , an ,bn			(n =1, 2,...) называются коэффициентами ряда.
Тригонометрическая система функций
		1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,...,cos nx,			sin nx,...

является ортогональной на отрезке [−π; π], т.е. интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю.

Если функция f (x) интегрируема на отрезке [−π; π], то существуют числа
a0 = π1		∫π	f (x)dx,		(20)
		−π
an =	1	∫π	f (x) cos nxdx,	n =1, 2...	(21)
an =	π	∫π	f (x) cos nxdx,	n =1, 2...	(21)
		−π
bn = π1 ∫π			f (x)sin nxdx,	n =1, 2,...	(22)
		−π

называемые коэффициентами Фурье функции f (x) ; тригонометрический ряд (19), ко-

эффициенты которого определяются по формулам (20)-(22), называется рядом Фурье функции f (x) .

Для интегрируемой на отрезке [−π; π] функции f (x) записывают

f (x) a0 +∑∞ an cos nx +bn sin nx

2 n=1

и говорят: функции f (x) соответствует (поставлен в соответствие) её ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x) .

Определение. Функция f (x) называется кусочно монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x1, x2 ,..., xn−1 на интервалы (a, x1 ),(x1, x2 ),...,(xn−1,b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна.

Заметим, что если функция f (x) кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [a, b], то она может иметь точки разрыва только первого рода.

Теорема (Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье). Если 2π- пе-

риодическая функция

f (x) кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [−π; π]

, то её

ряд Фурье сходится во всех точках. Сумма этого ряда равна значению функции

f (x) в

точках непрерывностифункции изначению

f (x −0)+ f (x +0)

в точках разрыва.

Если функция

f (x) четная, то её ряд Фурье имеет вид

∞

f (x) =

+∑an cos nx ,

(23)

n=1

где a0 =

∫π

f (x)dx, an

∫π

f (x) cos nxdx, n .

(24)

Если функция f (x) нечетная, то её ряд Фурье имеет вид

			∞
			f (x) = ∑bn sin nx,			(25)
			n=1
где bn =	2	∫π	f (x)sin nxdx, n .			(26)
где bn =	π	∫π	f (x)sin nxdx, n .			(26)
0				f (x) = sgn x, −π < x < π , и, поль-
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию				f (x) = sgn x, −π < x < π , и, поль-
			∞	(−1)	n
зуясь расположением, найти сумму ряда Лейбница ∑				(−1)		.
зуясь расположением, найти сумму ряда Лейбница ∑				2n +1		.
			n=0	2n +1

3Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная, значит, она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье функции f (x) . Так как функция нечетная,

то an = 0, n = 0,1,... ,

π(2m −1) при n = 2m −1.

b =

∫

sgn x sin nxdx =

− cos nx

−cos πn) =

πn

0 при n = 2m, m .

∞

Следовательно, при −π < x < π sgn x =

∑sin(2m −1)x

, откуда при x = π получаем

π m=1

2m −1

∞

(−1)

m+1

∞

(−1)

= π

1 =

∑

, т.е. ∑

2m −1

2m +1

π m=1

m=0

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию y = x2 в промежутке [−π; π].

3Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она четная, то её коэффициенты Фурье bn = 0 , а

23π2

находится

по

формулам

(24).

Имеем

a0 =

∫0

x2dx =

an = π2 ∫π x2 cos nxdx =

функции имеет вид

x2 sin nx

2 π

n 4

−

π ∫x sin nxdx

= (−1)

n2 . Значит, ряд Фурье данной

π2

−4

cos x

−

cos 2x

cos 3x

−... .

Это равенство справедливо для любого x [−π; π], так как в точках x = ±π сум-

Ряд Фурье для функции с периодом 2l

Если f(x) – интегрируемая на отрезке [−l;l] функция, то ряд Фурье функции f(x) имеет вид

∞

f (x) =

+∑an cos πnx

+bn sin πnx ,

(27)

где

n=1

= 1 l

f (x)dx,

(28)

l −∫l

f (x) cos πnx dx,

n =1, 2,...,

(29)

l −∫l

= 1 l

f (x)sin πnx dx,

n =1, 2,... ,

(30)

l −∫l

9.287. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена

1 + cos x −sin x −cos 4x совпадает с этим многочленом.

9.288. Доказать, что ряд

Фурье

тригонометрического многочлена

+ ∑ak cos kx +bk sin kx совпадает с этим многочленом.

k =1

f (x) = sin2 2x −

9.289.

Найти

коэффициент

Фурье

функции

−7sin2 x .

f (x) = sin2 x +

9.290.

Найти

коэффициент

Фурье

функции

+2cos2 3x .

9.291. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = sin x cos2 x .

9.292. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) =1+ cos x cos2x .

9.293. Вычислить коэффициент b6

Фурье периодической с периодом

2π функции f (x)=

, x [−π;π].

9.294. Вычислить коэффициент a4

Фурье периодической с периодом

2π функции f (x) =

, x [−π;π].

9.295. Вычислить коэффициент a2

Фурье периодической с периодом

3 функции

−1, 0 < x <1,

f (x)=

< 3.

1,1 < x

9.296. Вычислить коэффициент b3 Фурье периодической с периодом

2 функции

3 , 0 < x <1,

f (x)=

2 ,1 < x < 2.

9.297.

Доказать,

что

если

f(x)

имеет

период

l , то

a∫+l

f (x)dx = ∫l

f (x)dx =

∫2

f (x)dx при любом a .

−

9.298. Записать выражение коэффициентов Фурье (28) - (30) для чет-

ной и нечетной функций на [−l;l].

Разложить 2π - периодичную функцию в ряд Фурье и найти значе-

ние S(x0 ) суммы полученного ряда в заданной точке x0 .

9.299.

1 при 0 < x < π

, x0

= π.

(x) =

0 при −π < x < 0

9.300. f (x) =

π− x

при 0 < x < 2π,

= π .

x + π, x < 0,

9.301. Разложить в ряд Фурье функцию

в проме-

f (x)=

− x, x ≥ 0

жутке [−π,π]

и построить график суммы ряда Фурье этой функции.

9.302. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)= x в интервале (−π,π)

и построить график суммы ряда Фурье этой функции.

Разложить в ряд Фурье следующие функции периода 2l :

9.303. f (x) =

cos x

, −π < x < π, l = π.

9.304. f (x) =

sin x

−π ≤ x ≤ π, l = π.

9.305. f (x) = sin ax,

−π < x < π, l = π.

9.306. f (x) = cos

ax,

−π < x < π, l = π.

9.307. f (x) = 2x, 0 < x <1, l =

1 .

9.308. f (x) =10 − x, 5 < x <15, l =5.

(−π;π)

9.309.

Разложить

ряд

Фурье

интервале

функцию

−x

при −π < x ≤ 0,

f (x) =

0 при 0 < x ≤ π.

(−π;π)

9.310.

Разложить

ряд

Фурье

интервале

функцию

1 при −π < x ≤ 0,

f (x) =

при 0 < x ≤ π.

−2

∞

−(−

7π

9.311. Доказать равенство ∑

, используя разложение в

n=1

−x, − π ≤ x ≤ 0,

ряд Фурье функции f (x)= x2

, 0 < x ≤ π.

∞

9.312. Доказать равенство ∑

, используя разложение в

ряд Фурье функции f (x) =

n=1 (2n −1)

, −π ≤ x ≤ π.

9.313. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 9.304, найти сумму

∞

ряда ∑

n=1

−1

9.314. Используя разложение функции

f (x)= −1, − π ≤ x ≤ 0, в ряд

1, 0 < x ≤ π

∞

(−1)

n−1

Фурье, найти сумму ряда ∑

n=1

2n −1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20151 Мб60Grafiki.pdf
#
11.02.201531 Кб19Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015119 Кб161Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015224 Кб17Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20182 Мб23Лекции по матану.doc
#
11.02.20153 Мб365матан 3 семестр.pdf
#
11.02.20152 Мб117матан шпора.doc
#
11.02.20151 Мб128Математика.docx
#
11.02.2015102 Кб366Основные свойства степеней, корней, формулы.doc
#
11.02.201524 Кб20Семинар.doc
#
22.04.20193 Мб65ТЕСТы по математике(Экзамен).docx