(x0 − R; x0 + R),

т.е.

существует

такая

постоянная

M > 0 ,

что для

всех

x (x0 − R; x0 + R)

и всех n = 0,1, 2... выполняется неравенство

(x0 − R; x0 + R)

f (n) (x)

≤ M .

Тогда на

интервале

функция

f (x) раскладывается

в ряд Тейлора

∞

f (n) (x )

f (x) = ∑

0

(x − x0 )n ,

x − x0

< R .

n!

n=0

Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена

x

2

x

3

x

n

∞

x

n

ex

=1+ x +

+

+... +

+... = ∑

,

(12)

2!

3!

n!

n=0 n!

x

2

x

4

x

6

(−1)

n

x

2n

∞

(−1)

n

x

2n

cos x =1−

+

−

+... +

+... = ∑

,

(13)

2!

4!

(2n)!

6!

(2n)!

n=0

x

3

x

5

x

7

(−1)

n

x

2n+1

∞

n

x

2n+1

sin x = x −

+

−

+... +

+... = ∑(−1)

.

(14)

5!

7!

(2n +1)!

3!

n=0

(2n +1)!

Ряды (12), (13), (14) сходятся для любого x

, т.е. радиус сходимости каждого

их этих рядов равен +∞.

x

2

x

3

x

4

x

n

∞

x

n

ln(1+ x) = x −

+

−

+... +(−1)n+1

+... =

∑(−1)n+1

.

(15)

n

2

3

4

n

n=1

Ряд (15) сходится для x (−1;1], т.е. радиус сходимости ряда равен 1.

(1+ x)α =1+αx + α(α−1) x2 +

α(α−1)(α−2) x3

+... +

2!

3!

∞

(16)

+ α(α−1)(α−2)...(α−n +1) xn +... =1+∑α(α−1)(α−2)...(α−n +1) xn

n!

n=1

n!

Если α ≠ 0, α

, то ряд (16) сходится для x (−1;1) , т.е. радиус сходимости ря-

да равен 1.

Пример 1. Разложить функцию f (x) = x3 + x −4 по степеням x −2 .

3Воспользуемся формулой (10), в которой надо взять x0

= 2, n = 3 (n – степень

многочлена). Вычислим

f (2),

f ' (2),

f '' (2),

f ''' (2)

и полученные числа подставим в фор-

мулу (10).

f (2) = 6 ,

f ' (x) = 3x2

+1, f ' (2) =13 ,

f '' (x) = 6x, f ''

(2) =12 ,

f ''' (x) = 6 .

После подстановки в (10), в которой вместо x − x0

надо писать x −2 , получим

x3 + x −4 = 6 +13(x −2) +6(x −2)2 +(x −2)3 .4

Пример 2. Разложить функцию f (x) =

1

в ряд по степеням x .

1

+ x

3По формуле суммы геометрической прогрессии

1

∞

= ∑(−1)n xn .

(17)

1+ x

n=0

Ряд сходится при

x

<1.4

Пример 3. Разложить в ряд по степеням (x +3) функцию ln (2 −5x).

3Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической

функции:

5

5(x +3)

ln (2 −5x)= ln (2 −5(x +3) +15)= ln17 1−

(x +3)

= ln17 +ln 1

−

.

17

17

Воспользуемся разложением (15) для ln (1+ x), полагая

x = −

5

(x +3) . Так как

17

разложение (15) имеет место при x (−1;1], то наше разложение будет иметь место при

−

5

(x +3) (−1;1]. Таким образом,

17

∞

n+1

5

n

1

∞ 5

n (x +3)n

ln (2 −5x)= ln17 +∑(−1)

−

(x +3)

= ln17 −∑

,

17

n

n

n=1

n=1 17

5

(x +3) ≤1, т.е. ряд сходится при

32

2

−1 < −

x −

;

.4

17

5

5

При разложении в ряд Тейлора часто используют почленное дифференцирова-

ние и интегрирование степенных рядов.

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = arctg x .

3Найдем производную f (x), получим

f ' (x) = (arctg x)' =

1

.

1+ x2

Заменив в формуле (16) x на x2 , получим

1

∞

= ∑(−1)n x2n

для x (−1;1).

1+ x

2

n=0

Интегрируя этот ряд почленно, получаем

x

dx

∞

x

2n+1

arctg x =

∫0

= ∑(−1)n

.

1+ x

2

2n +1

n=0

Так как при почленном интегрировании интервал сходимости сохраняется, то

∑

x2n+1

(

]

arctg x = ∞

(−1)n

для любого x

−1;1 .4

n=0

2n +1

9.227.

e−x2 .

9.228.

xe−2 x .

9.229.

sin2 x .

9.230.

sin 2x cos 2x .