∞

a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 +... +an (z − z0 )n +... = ∑an (z − z0 )n ,

(6)

n=0

где an , z, z0 , называется степенным рядом по степеням

(z − z0 ) . Числа

∞

a0 +a1z + a2 z2 +... +an zn +... = ∑an zn

(7)

R = lim

an

(8)

a

n→∞

n+1

или

1

R = lim

,

(9)

an

n→∞ n

an

∞

Если пределы lim

и lim n

an

для степенного ряда ∑an zn не существуют

n→∞

a

+1

n→∞

n=0

n

∞

бера и Коши для рядов ∑

an zn

часто позволяет определить радиус круга сходимости.

n=0

∞

Пример

1.

Найти

радиус

сходимости

и

область

сходимости

ряда

∑(n!)2 (x +5)n .

n=0

3Выпишем

x

= −5

и

коэффициенты

ряда

a

n

= (n!)2 .

Существует

0

lim

a

n

= lim

(n!)2

= lim

1

= 0 . Таким образом,

радиус сходимости R = 0 ,

об-

an+1

((n +1)!)2

n→∞

n→∞

n→∞ (n +1)2

ласть сходимость состоит из единственной точки x = −5 .4

Пример

2.

Найти

радиус

сходимости

и

область

сходимости

ряда

∞ z −i n

∑

, z

.

n

n=0

1

3Заметим, что z

= i и

a

n

=

. Используя формулу (9), находим радиус сходи-

0

nn

1

мости ряда R = lim

= lim n = ∞. Таким образом,

R = ∞. Это означает, что ряд схо-

n

1

n→∞

n→∞

nn

дится всюду на комплексной плоскости

.4

∞

2

n

(x −3)n .

Пример 3. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда ∑

n=1

n

3Выпишем

x

= 3

и

коэффициенты

ряда

a

n

=

2n

.

Найдем

R = lim

a

n

=

n

a

0

n→∞

+1

n

= lim

2n

(n +1)

=

1

.

Концы

интервала

сходимости

x

= x

− R =

3 −

1

=

5

и

n 2n+1

2

2

2

n→∞

1

0

x = x

+ R = 3 + 1 = 7 .

2

0

2

2

5

7

Итак, ряд абсолютно сходится для всех значений x из интервала

;

.

2

2

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в за-

данный

ряд

x = x1

=

5

.

Получится

числовой ряд

∞ 2n

5

−

n

∞

2n

1

n

2

∑

n

3

=∑

n

−

2

=

n=1

2

n=1

∞

n

= ∑(−1)

. Этот знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница,

n=1

n

следовательно, он сходится.

Подставим в заданный ряд

x

= x2 =

7

. Получим

∞

2n

1 n

∞

1

.

Получили

2

∑

n

=∑

n

n=1

2

n=1

гармонический ряд, который, как известно, расходится.

Итак,

область сходимости –

5

;

7

(к интервалу сходимости присоединился

2

2

n=0

∞

Какой интервал сходимости имеет степенной ряд ∑an (x −1)n ?

[

)

n=0

9.197. Пусть

– область сходимости степенного ряда

−5;−1

∞

∞

∑an (x +3)n . Является ли ряд

∑an абсолютно сходящимся, условно схо-

n=0

n=0

Найти радиус,

интервал и

область сходимости степенных рядов

(x ).

∞

(x

+1)

n

∞

n

9.199. ∑

.

9.200. ∑

(x2−1)n .

n

n=1

n 2 2n +1

n=1

n

2

∞

x

n

∞

9.201.

∑n=1

.

9.202. ∑(3n +1)(x −1)n .

3n−1

n

n=1

∞

n

x

n

∞

(x −3)

n

9.203. ∑(−1)n

.

9.204. ∑(−1)n+1

.

3n − 2

(2n +1)

4

n

n=1

n=1

∞

(2n +1)z

n

.

∞

2

x

n

9.205. ∑

9.206. ∑n

.

n=1

n!

n=1

n!

∞

−

n

(x

−

n

∞

n

9.207. ∑

( 1)

7)

.

9.208. ∑

(x − 2)n .

5n −3

5

n

n=1

n=1

Задачи повышенной сложности

)

Найти область сходимости степенных рядов (x

∞

2n −1

2n+1

n

∞

(x −1)n−1

9.209. ∑

(x −1)

.

9.210. ∑

n

.

+ 2

n=1

3n

n=2

3 ln n

∞

(x +

1)

n

∞

3

n

+ 2

9.211. ∑

.

9.212. ∑

(x − 2)n cos πn .

n +1

n=1

n −ln n

n=1

∞

1

∞

1

9.217. ∑ctg

(x −1)n .

9.218. ∑ sin

(x −1)n .

2

n

n=1

n

n=1

f ' (x )

f (n) (x )

∞

f

(n) (x )

f (x0 ) +

0

(x − x0 )

+... +

0

(x − x0 )n +... = ∑

0

(x − x0 )n

(10)

1!

n!

n!

n=0

называется рядом Тейлора функции

f (x)

в точке x0 .

В случае, когда x0

= 0 , ряд (10) называют рядом Маклорена.

∞

f (x) = ∑an (x − x0 )n

(11).

n=0

Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если функ-

ция

f (x) на интервале

(x0 − R; x0 + R) разлагается в

степенной ряд

∞

f (n) (x )

f (x) = ∑an (x − x0 )n , то это

разложение единственно, причем

an

=

0

, n ,

n!

n=0