Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Математика

Файл:

матан 3 семестр.pdf

Скачиваний:

361

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

2.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Глава 9

РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

§ 1. Числовые ряды

1. Сходимость ряда. Пусть задана бесконечная последовательность действительных или комплексных чисел u1,u2 ,...,un ,...

Выражение вида

∞
u1 +u2 +u3 +... +un +... = ∑un	(1)

n=1

называется числовым рядом. При этом числа u1,u2 ,u3 ,...,un ,... называются членами ряда.

Числовой ряд, членами которого являются действительные (комплексные) числа называют действительным (комплексным) числовым рядом.

Сумма Sn = u1 +u2 +u3 +... +un первых n членов ряда называется его n – й час-

тичной суммой.

Рассмотрим частичные суммы:

S1 = u1,

S2 = u1 +u2 ,

S3 = u1 +u2 +u3,

………………...

Sn = u1 +u2 +u3 +... +un ,

………………………….

Если

существует конечный

предел

S = lim Sn , то ряд (1)

называется

сходя-

щимся, а число S – суммой ряда (1).

n→∞

Если

lim Sn

не существует

или

бесконечен,

то

ряд

(1) называется

расходя-

щимся.

n→∞

∞

Комплексный числовой ряд ∑un

сходится к комплексному числу

S = A +iB ,

n=1

∞

A, B

, тогда и

только

тогда,

когда

сходятся действительные

ряды

∑Re un

n=1

∞

∑Im un , а их суммы равны числам А и В соответственно.

n=1

∞

Пример 1. Показать, что ряд ∑

сходится и найти его сумму.

n=1 n(n +

3Так

как

дробь

представима

виде

−

то

n(n +1)

n +1

+... +

=1−

1 + 1 −

1 +

1 − 1

+... +

−

1 −

3 4

(n −1)n

n(n +1)

n −1

n +1

1 2 2 3

2 2 3 3 4

=1−

. Следовательно, lim Sn = lim 1

−

, т.е. заданный ряд сходится и его

n +1

n→∞

n +1

сумма равна 1.4

∞

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд ∑qn

и в случае сходимости найти

его сумму.

n=0

=1+q +q2 +... +qn−1 . Если q =1,

3Имеем Sn

то Sn

= n , lim Sn = ∞ , и, следова-

n→∞

тельно, ряд расходится. Пусть теперь q ≠1, тогда

Sn =

1−qn

−

−q

1−q

Положим q = reiϕ ,

тогда

= rneinϕ .

При

0 ≤ r <1

имеем lim qn

= lim rneinϕ = 0 , т.е.

n→∞

lim

= 0 , откуда lim S

. Если же r>1, то rn

→ ∞ и , следовательно, конечного

−q

n←∞ 1

n→∞

предела

lim

, а значит, и предела последовательности частичных сумм не сущест-

1−q

n→∞

(cos nϕ+i sin nϕ)

вует. Наконец, при r=1 и ϕ ≠ 0 предел lim einϕ = lim

(а потому и предел

n→∞

lim Sn ) также не существует.

n→∞

∞

Таким образом, ряд ∑qn ,члены которого составляют бесконечную геометриче-

n=0

скую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q, сходится при q <1 и его сумма равна 1−1q и расходится при q ≥1 .4

∞

Теорема

(необходимое условие

сходимости).

Если ряд ∑un сходится,

то

n=1

lim un = 0 .

n→∞

Следствие (достаточное условие расходимости). Если lim un ≠ 0 , то ряд

∞

∑un

n→∞

расходится.

∞

Пример 3. Исследовать сходимость ряда ∑

3n +1

n=1

∞

= 2

3Ряд ∑

расходится, т.к lim un = lim

≠ 0

, т.е не выполняется не-

3n +1

n=1

n→∞

обходимое условие сходимости ряда.4

∞

Ряд un+1 +un+2 +... = ∑ uk ,полученный из ряда (1) путём отбрасывания его пер-

k =n+1

вых n членов, называется остатком ряда (1) после n-го члена.

Свойства сходящихся рядов.

1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток.

∞

Если ряд ∑un

сходится и его сумма равна S, то ряд ∑Cun , где C – любое

n=1

число, также сходится и его сумма равна CS.

∞

Если ряды ∑un и ∑vn

сходятся и их суммы, соответственно, равны S1 и

n=1

∞

S2 , то ряд

∑(un +vn )

также сходится и его сумма,

соответственно,

равна

n=1

S1 + S2 .

∞

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того, чтобы ряд ∑un

схо-

n=1

дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого

ε > 0 существовал такой номер

N=N(ε), что при любом n>N и любом целом p > 0 выполнялось неравенство

Sn+ p − Sn

un+1 +un+2 +... +un+ p

< ε.

Пример

Исследовать

на

сходимость

гармонический

ряд

1+ 1

∞

1 .

+ 1 +... + 1 +... = ∑

n=1

3 Здесь

lim u

= lim 1

= 0

но

ряд

расходится. Действительно, для любого

n→∞

n→∞ n

n=1,2,… имеем S2n − Sn

... +

. Заменяя каждое слагаемое меньшей ве-

n +1

+ 2

личиной

, получаем S2n − Sn >

+...

= n

= 1 . Это неравенство означа-

2n 2

ет, что при p=n для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следовательно, ряд расходится.4

Найти первые 5 членов ряда.

∞	n		∞	n +1
9.1. ∑		.	9.2. ∑			.
	n
n=1	2		n=1	2n +3
Найти частичные суммы S2			и S3 .
∞			∞	n
				(−1)n	n .
9.3. ∑cos πn .			9.4. ∑
n=1	n!		n=1	3

Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:

∞				1		∞			2
9.5. ∑				1	.	9.6. ∑			2		.
9.5. ∑	(2n −1)(2n +1)				.	9.6. ∑	4n		2		.
n=1	(2n −1)(2n +1)					n=2	4n		−9
∞		n	+n	n		∞		n	−n	n
9.7. ∑	2		+n	3 .		9.8. ∑	4		−n	3 .
n=1			5			n=1		7

Используя достаточное условие расходимости ряда, установить расходимость следующих рядов:

∞	5	− 2n	2		∞
9.9. ∑				.	9.10. ∑3n + 7 .
	2	+ 2n +1
n=1 3n					n=1	2n + 4
∞	n −1 .				∞		n +18
9.11. ∑9					9.12. ∑3			.

n=1	n +1				n=1		8n − 4
∞					∞
9.13. ∑(−1)n .					9.14. ∑sin πn .
n=1					n=1		2

Задачи повышенной сложности

Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:

∞	2n +1							∞	1
9.15. ∑						.		9.16. ∑		.
	2				)
n=3 n	(	n						n=1 n(n +3)
			−1
∞				1
9.17. ∑ln 1			−				.
				n	2
n=2

		∞		1
9.18. Показать, что ряд ∑ln 1+					расходится.
		n=1		n
Используя достаточное условие расходимости ряда, установить рас-
ходимость следующих рядов:
∞	n				∞	n
9.19. ∑	e	.			9.20. ∑22 .
9.19. ∑	10	.			9.20. ∑22 .
n=1	n				n=1 n
					∞		n
					∞	2 +in) .
9.21. Исследовать на сходимость ряд ∑(						2 +in) .
			lim un+1		n=1	n 2		un+1 для всех
9.22. Доказать, что если			lim un+1		=1 , но отношение			un+1 для всех
			n→∞ un					un

номеров n, начиная с некоторого, больше единицы, то ряд расходится.

∞	∞
9.23. Пусть ряд ∑un	сходится, ряд ∑vn расходится. Доказать, что
n=1	n=1
∞
ряд ∑(un + vn ) расходится.
n=1

9.24. Может ли сумма двух расходящихся рядов быть сходящимся рядом? Ответ обосновать.

∞	∞
9.25. Доказать, что если ряд ∑un , un ≥ 0	сходится, то ряд ∑un2 так-
n=1	n=1

же сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.

∞	∞	∞
9.26. Доказать, что если ряды ∑un2	и ∑vn2	сходятся, то ряд ∑	unvn

n=1	n=1	n=1
также сходится.

		∞	∞
9.27.	Доказать, что если ряды	∑un2	и ∑vn2 сходятся, то ряд
		n=1	n=1
∞
∑(un + vn )2	тоже сходится.
n=1
	∞		∞	un
	∞		∞
9.28. Доказать, что если ряд ∑un2		сходится, то ряд ∑			также схо-

				n
	n=1		n=1	n

дится.

2.Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Пусть дан

∞	(un > 0), то ряд называется рядом с неотрицательными
ряд ∑un . Если n un ≥ 0	(un > 0), то ряд называется рядом с неотрицательными
n=1

членами (с положительными членами).

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными чле-

нами

∞
∑un ,	(2)
n=1
∞
∑vn	(3)

n=1

ипусть существует номер n0 такой, что для любого n ≥ n0 выполняются нера-

венства un ≤ vn , тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).

∞

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=2

ln n

3Заметим, что для любого n ≥ 2

выполняется неравенство

ln n < n ,

поэтому

1 <

∞

для n ≥ 2 . По признаку сравнения из расходимости гармонического ряда ∑

ln n

n=1

∞

следует расходимость ряда ∑

ln n

n=2

∞

Пример 2.

Зная,

что ряд ∑

сходится (см.п.1, пример 1),

установить

n (n +1)

n=1

∞

сходимость ряда ∑

n=1

∞

3Так как

∑

= ∑

, то,

учитывая

неравенства

(n +1)

(n +

n(n +1)

n=1

n=0

∞

n=1,2,…, по признаку сравнения убеждаемся в сходимости ряда ∑

n=1

πn

∞

1+cos

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

n5 + 2

3Так

как

при

всех

выполняется

неравенство

πn

1+cos

2n2

∞

≤

и ряд ∑

сходится, то по признаку сравнения

n5 + 2

πn

n=1

∞

1+cos

ряд ∑

сходится.4

n5 + 2

n=1

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда с положи-

∞

тельными членами ∑un

и ∑vn

и существует lim

= k , 0 < k < +∞ . Тогда ряды

n=1

n→∞ v

∞

∑un и ∑vn

сходятся или расходятся одновременно.

n=1

∞

−2

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

+3n

∞

3Так

как

ряд

∑

сходится

(см.

пример 2) и

так как

n=1

5n2 −2

5n4 −2n2

∞

5n2 −2

lim

= lim

, то ряд ∑

также сходится.4

+3n

n→∞

n=1

∞

+ 2

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

−7n

3n + 2

3n2 + 2n

∞

3Так какlim

= lim

, а гармонический ряд

∑

расхо-

−7n

n→∞ 4n

n→∞

n=1

∞

3n + 2

дится, то и ряд ∑

расходится.4

n=1

−7n

∞

Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд ∑un с положительными члена-

n=1

ми и существует пределlim un+1 = l . Тогда:

n→∞ un

при l <1 ряд сходится, при l >1ряд расходится,

при l =1 требуется дополнительное исследование.

∞

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

3Имеем u

3n n!

n+1

3n+1 (n +1)!

и lim

un+1

= lim

(n +1)n+1

n→∞ un

n→∞

3n+1 (n +1)! nn = (n +1)n+13n n!

= lim

3n3 (n +1) n! nn

= lim

3 nn

= lim

>1 .

(n +1)n (n +1) 3n n!

(n +1)n

n→∞

Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.4

∑∞ 2 5 8 ... (3n −1)

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд n=1 1 6 11 ... (5n −4) .

(

)

3n +2

3Заметим,

что

un+1 = un

n +1 −1

= un

. Применим признак Даламбера:

5(n +1)−4

5n +1

lim

un+1

= lim

3n + 2

<1, откуда следует, что ряд сходится.4

5n +1

n→∞

∞

Теорема (признак Коши). Пусть дан ряд ∑un с неотрицательными членами и

n=1

существует предел lim n un = l . Тогда

n→∞

при l<1 ряд сходится, при l>1 ряд расходится,

при l=1 требуется дополнительное исследование.

∞

1 n2

Пример 8. Иcследовать на сходимость ряд ∑

n=1

lim n un = lim n

3Имеем

= lim

<1, т.е

по признаку

n→∞

Коши ряд сходится.4

∞

+ 4

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1

−

3ln n

3Вычислим

lim n un

= lim

3n2

+ 4

Так

какlim

= lim e

n→∞

→∞

n→∞

3ln n

− lim

+ 4

= 3

= e

n→∞

n = e0 =1

и lim

то

lim n u

= lim

lim

>1 . Согласно

n→∞

2n2 +3 2

n→∞

n←∞

n→∞

2n2 +3 2

признаку Коши данный ряд расходится.4

Теорема (интегральный признак Коши). Если функция

f (x) , определенная при

всех

x ≥1 неотрицательна,

непрерывна и убывает на промежутке [a, +∞) , то ряд

∞

+∞

∑ f (n) и несобственный интеграл

∫ f

(x)dx

сходятся или расходятся одновременно.

n=1

∞

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд ∑

(n +1)ln (n +1)

n=1

3Функция f (x)

удовлетворяет условиям интегрального при-

(x +1)ln (x +1)

знака Коши: она положительна, непрерывна и убывает на промежутке

[1; +∞) . Находим

+∞

= lim b

d ln (x +1)

= lim ln ln

(

x +1

b = lim

(

ln ln

(

b +1

−ln ln 2

)

= +∞.

∫

b→+∞ ∫

b→+∞

)

b→+∞

)

1 (x +

1)ln (x +1)

ln (x +1)

Так как исследуемый несобственный интеграл расходится, то и исследуемый

ряд расходится.4

Пример

11. Выяснить,

при каких

значениях

α сходится ряд

Дирихле

∞

∑

α .

n=1

3Если α ≤ 0 ,

то

lim

= lim n−α ≠ 0 ,

т.е. не выполнен необходимый признак

n→∞ nα

n→∞

∞

сходимости ряда, и ряд ∑

расходится. Так как при α > 0

функция f (x)

промежутке [1; +∞)

n=1

удовлетворяет условиям интегрального признака Коши,

то иссле-

+∞

дование ряда Дирихле сводится к исследованию сходимости интеграла ∫1 dxxα

. Как из-

вестно (см гл.5 §6 п.1), этот интеграл сходится при α >1

и расходится приα ≤1. Сле-

довательно, и ряд Дирихле сходится при α >1 и расходится при .4

Используя признак сравнения или предельный признак сравнения,

исследовать на сходимость следующие ряды:

∞

9.29. ∑

9.30. ∑

5n −

(3n − 2)

n=1

∞

9.31. ∑

9.32. ∑

−1

n=1

− 2

n=1

∞

9.33. ∑

9.34. ∑

n(n +1)(n + 2)

n(n +1)(n + 2)(n +3)

n=1

∞

1+ n 2

∞

n2 +5

9.35. ∑

9.36. ∑

+ n

+ 2n

n=1

∞

9.37. ∑

9.38. ∑

(3n − 2)

(

n +3)

+ 2

n=1

∞

ln n

∞

9.39. ∑

9.40. ∑

4 n3

n=2

n=1

ln n

∞

9.41. ∑sin

9.42. ∑ln

n=1

∞

9.43. ∑

3 n2 arctg

9.44. ∑sin 2π .

n=1

∞

2n −1

9.45. ∑ln 1

9.46. ∑

1+ n

3 .

n=1

∞

9.47. ∑1+i2

n .

9.48. ∑

n=1

Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость сле-

дующие ряды:

∞

3 .

∞

9.49. ∑n

9.50. ∑nn .

n=1

∞

2n+1

9.51. ∑n

9.52. ∑e

n=1

∞

9.53. ∑(n +1) 1

9.54. ∑

n=1

∞

2 −1

9.55. ∑n!

9.56. ∑

(

2 )

n=1

∞

2 5 ... (3n −1)

∞

100 103 ... (97 +3n)

9.57. ∑

9.58. ∑

n=1

1 5 ... (4n −3)

n=1

1 5 9 ... (4n −3)

∞

(3nn +12 ) .

∞

9.59. ∑

9.60. ∑

n=1

ПользуясьпризнакомКоши, исследоватьнасходимостьследующиеряды:

∞	4n +1				2n
9.61. ∑			3n		.
n=1			3n
∞	1				1		n2
9.63. ∑			1	+			.
9.63. ∑		n	1	+			.
n=1	2				n
∞				n	+		1		2n
				n	+		1
9.65. ∑ n								.
9.65. ∑ n								.
n=1			3n			− 2
∞						1	n
9.67. ∑ arcsin							.
n=1						n
∞			−cos			π n
9.69. ∑ 1			−cos				.
n=1						n

∞	5n + 2					n
9.62. ∑						.
n=1	2n −1
∞		n−1
9.64. ∑	2 n .
n=1	n
∞	1				1 n2
9.66. ∑			1	+		.
9.66. ∑		n	1	+		.
n=1	3				n
∞	3n −1					n
∞	3n −1					3
9.68. ∑							.
9.68. ∑							.
n=1	6n +5

∞	1
9.70. ∑sinn	1	.
9.70. ∑sinn	n−1	.
n=1	2

Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды:

∞			1
9.71. ∑			1		.
9.71. ∑			2	n	.
n=2	nln			n
∞			1
9.73. ∑			1			.
9.73. ∑	n	3				.
n=2	n		ln n
∞
9.75. ∑arctg2n .
n=1	1+ n

Исследовать на сходимость ряды:

∞		n	n
9.77. ∑			.

n=1	n +1

∞		1
9.72. ∑		1	.
9.72. ∑	n		.
n=2	n	ln n
∞		1
9.74. ∑		1					.
9.74. ∑	(n + 2)ln				3	(n + 2)	.
n=1	(n + 2)ln					(n + 2)
∞		1
9.76. ∑		1		.
9.76. ∑				.
n=1		n2 +1
	∞
9.78. ∑cos π .
n=1		n

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
11.02.20151.19 Mб57Grafiki.pdf
#
11.02.201530.61 Кб18Programma_ekzamena_po_matematike_za_2_semestr.pdf
#
11.02.2015118.63 Кб160Varianty_RGR_po_MATANU.pdf
#
11.02.2015223.74 Кб14Лабораторная работа № 2 математика 2001.doc
#
12.11.20181.53 Mб19Лекции по матану.doc
#
11.02.20152.53 Mб361матан 3 семестр.pdf
#
11.02.20151.7 Mб113матан шпора.doc
#
11.02.20151.1 Mб119Математика.docx
#
11.02.2015101.89 Кб354Основные свойства степеней, корней, формулы.doc
#
11.02.201524.06 Кб18Семинар.doc
#
22.04.20193.19 Mб58ТЕСТы по математике(Экзамен).docx