Лекция по теории систем 3
.docЛекция № 3 Понятие системы с точки зрения макроподхода. Операторы. Принцип суперпозиции
Микроподход предполагает рассмотрение объекта «изнутри» на основе изучения протекающих в нем процессов.
Динамической системой å называется сложный математический объект, определяемый следующими аксиомами:
аксиома а: заданы множества:
моментов времени Т; состояний Х; входных воздействий U; допустимых входных воздействий W; выходных значений Y; выходных функций Г.
аксиома б: задано направление времени, т.е. Т - упорядоченное подмножество множества действительных чисел.
аксиома в: множество допустимых входных воздействий W удовлетворяет следующим условиям:
1. W - непустое;
2. Для воздействий ÎW, в моменты времени , существует такое на, что , при и при
аксиома г: Задана переходная функция состо-яния j, которая определяет состояние , достигнутое в момент времени , при , если в момент вре-мени имелось состояние: .
Свойства функции j :
Направление времени: j определена при , и необязательно определена при .
Согласованность:
,
Свойство композиции:
Для , :
Свойство причинности: Если есть такие, что при , то
.
аксиома д: Существует отображение выхода h, которое таково: .
Тогда система может быть формально задана следующим образом:
Говорят, что пара задает оператор функционирования системы. На рисунке показано формирование реакции системы с помощью переменных состояния в соответствии с микроподходом.
Оператор А задан, если установлено прави-ло по которому любому элементу из множества U ставится в соответствие элемент из множества Y и при этом Y не является множеством чисел.
Способы записи оператора:
1. ;
2. К применен оператор А; реакция - ;
3. ;
4. .
Примеры операторов
1. Оператор дифференцирования: .
2. Оператор интегрирования: .
Любой динамической системе может быть поставлен в соответствие оператор.
Операторы разделяются на два класса: нелинейные операторы и линейные операторы.
Оператор называется линейным если для не-го выполнен принцип суперпозиции, и – нели-нейным, если принцип суперпозиции для него не выполнен. Мы рассмотрим 2 формы записи этого принципа – дискретную и непрерывную.
Дискретная форма.
Непрерывная форма.
.
Запись означает, что оператор А действует в момент времени t.
Если системе соответствует линейный опе-ратор, то система называется линейной. Иначе система называется нелинейной.
Физический смысл принципа заключается в следующем: реакция линейной системы на линейную комбинацию воздействий может быть определена, как линейная комбинация реакций системы на каждое из воздействий в отдельности.
Операторы интегрирования и дифференци-рования - линейные операторы. Оператор возве-дения в квадрат: является нели-нейным оператором.
Обобщенная -функция Дирака
Для конструирования моделей ДС рассмотрим обобщенную -функцию Дирака и ее свойства. Определим ее так: , причем .
Возможные модели -функции:
Мы будем использовать т.н. фильтрующее свойство -функции:
Приведем доказательство этого свойства:
-функция связана с единичной функцией , которая задается так: . В частности и .
Применим теперь фильтрующее свойство -функции для входного процесса :
.
Этот результат можно интерпретировать как разложение процесса по бесконечному числу импульсов . Считая -функцию одним из возможных элементарных воздейст-вий, запишем реакцию системы с оператором , используя полученное разложение:
.
Если , то
Основной результат этого в следующем: введена функция , которая определя-ется как реакция системы на импульсное воздействие (т.н. импульсная переходная (весовая) функция). С ее помощью получе-на общая форма модели линейной непреры-вной системы, представляющая собой интеграл свертки весовой функции с вход-ным воздействием
Весовая функция показывает удельный вес возмущения, которое дейст-вовало на систему в момент времени на формирование реакции системы в момент времени t.