Лекция по теории систем 18

Лекция №18. Нелинейные непрерывные системы. Описание с помощью макроподхода (продолжение)

Структурная схема системы, вычисляющей функцию

Легко заметить, что такая процедура определения элементов матрицы g заполняет ее нижнюю часть, а верхняя заполняется симметричным отображением относительно диагонали в силу свойства функции g₂(τ₁,τ₂).

Принципиальным отличаем, определения весовой функции g_i, для нелинейных систем от линейной системы является то, что в случае линейной системы достаточно одного эксперимента, а в случае нелинейной системы приходится производить серии экспериментов, варьируя некоторые параметры входных воздействий.

Модель нелинейной системы в виде функционального ряда представляет собой параллельное соединение некоторого числа подсистем типа y_i(t). Поэтому попытка определения весовой функции только линейной части такой системы приведет к тому, что в реакции будут представлены диагональные элементы всех без исключения весовых функций, в том числе и весовая функция линейной части.

_{n n}

y(t) =∑ y_i(t) =∑ g_i ( t, t … t )

ⁱ⁼⁰ _{u(t) = δ(t)} ⁱ⁼⁰ _i

Поэтому возникает проблема такой организации вычислительного эксперимента, при котором возможно независимое определение весовых функций, входящих в определение подсистем. Возможно, что лучше изменить не вычисляемый эксперимент, а структуру математической модели. Такая модель может быть получена, если функциональный ряд построить ортогонально.

Приведенная процедура определения динамических характеристик нелинейной системы, которые основываются на исследовании реакции системы на комбинацию импульсных воздействий, может быть достаточно обобщена на случай более сложных систем (имеются в виду очередные слагаемые бесконечного функционального ряда). При этом возникают исключительно технологические затруднения, обусловленные особенностями организации серии экспериментальных исследований, заключающейся в воздействии на систему комбинацией импульсных возмущений и приводящей к получению набора динамических характеристик полностью, характеризующих исследуемую систему.

Приведенная процедура ориентирована, прежде всего, на изучение нелинейных систем с неизвестной … (макро-подход?)

Естественным критерием качества построенной модели является сравнение реакции модельной системы в некотором вполне определенном смысле. При этом никто не гарантирует, что реакция системы и ее модели будут мало отличаться, если измениться входное воздействие. Это недостаток предложенной процедуры.

Устранение такого недостатка производится путем изучения реакции системы на специальные виды возмущения. Обычно для этого используют случайный процесс типа белый гаусовский шум. Этот процесс обладает следующими уникальными свойствами. Он представляет собой случайный процесс, имеющий постоянную спектральную плотность во всем диапазоне частот. Это означает, что в нем представлены воздействия всех возможных частот, причем появление той или иной частоты в данный момент времени равновероятно. Чаще всего проводят аналогию с белым светом, который содержит в себе все возможные цвета.

Использование такого процесса в качестве входного воздействия гарантирует, что найденные динамические характеристики обеспечат качество математической модели и при использовании других видов воздействий.

Естественно, что при этом существенно усложняется сама процедура определения динамических характеристик. Они могут быть найдены с применением аппарата многомерного корреляционного анализа. Причем в результате его применения получаются систем многомерных интегральных уравнений относительно искомых характеристик g_i.

Для того чтобы избавится от системы уравнений, предложенный функциональный ряд подвергают процессу отроганизации. В результате получают бесконечное число слагаемых. Однако скалярное произведение этих слагаемых друг на друга оказывается равным нулю, если они не совпадают. Это приводит к тому, что Динамические характеристики определяются независимо друг от друга. При этом функциональный ряд Вольтера превращается в ортогональный функциональный ряд Винера.

n = 2 2!x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – x₁² – x₂²

n = 3 3!x₁x₂x₃ = (x₁ + x₂ + x₃)³ – ((x₁ + x₂)³+ (x₂ + x₃)³ + (x₃ + x₁)³) + x₁³ + x₂³ + x₃³

Задача: Описать процедуру определения динамических характеристик при n = 2 и n = 3 в случае использования ступенчатых воздействий.

Рассмотрим процедуру определения динамических характеристик, когда в модели системы представлено несколько слагаемых.

∞ ∞ ∞

y(t) = ∫g(τ) u(t−τ) dτ + ∫ ∫g₂(τ₁,τ₂) u₁(t−τ₁) u₂(t−τ₂) dτ₁ dτ₂ (2)

0 0 0

При u(t) = δ(t) y(t) = g₁(t) + g₂(t, t) (3)

Выясним, влияет ли первое слагаемое на процесс определения ядра g₂(τ₁,τ₂).

Для этого заметим факт: (u₁ + u₂)² – u₁² – u₂² = 0 (4)

Т.к. для линейной системы выполнен принцип суперпозиции, то ее реакция на сумму воздействий определяется, как наложение ее реакций на каждое из воздействий в отдельности. Поэтому для воздействий u₁ и u₂ выполнено выражение (4). Следовательно, при использовании процедуры определения ядра g₂(τ₁,τ₂) линейная система не оказывает ни какого воздействия, т.е. если система имеет вид (2), то сначала надо определить g₂(τ₁,τ₂) в соответствии с известной процедурой. После того как определена функция g₂(τ₁,τ₂) можно найти функцию g₁(τ), используя два приема:

Первый заключается в том, что формируется часть математической модели, соответствующая второму слагаемому. Эта часть модели вычитается из y(t) и для оставшейся части, являющейся линейной системой, применяют стандартную процедуру нахождения g(t)

Второй прием заключается в том, что на вход системы подается импульсное воздействие в виде дельта функции. Реакция системы после этого совпадает с выражением (3). Функция g₂ известна, следовательно, g₁(t) = y(t) – g₂(t, t).

Составим систему, состоящую из трех слагаемых.

_{∞ ∞ ∞}

y(t) = ∫g(τ) u(t−τ) dτ + ∫ ∫g₂(τ₁,τ₂) u₁(t−τ₁) u₂(t−τ₂) dτ₁ dτ₂ +

⁰ _{∞ ∞ ∞} ^{0 0}

+ ∫ ∫ ∫g₃(τ₁,τ₂,τ₃) u₁(t−τ₁) u₂(t−τ₂) u₃(t−τ₃) dτ₁ dτ₂ dτ₃

^{0 0 0}

Заметим следующий факт:

(u₁ + u₂ + u₃)ⁿ – ((u₁ + u₂) ⁿ + (u₂ + u₃) ⁿ + (u₃ + u₁) ⁿ) + u₁ ⁿ + u₂ ⁿ + u₃ ⁿ = 0

при n =1 и n = 2

Задача: Доказать утверждение при n = 2

Приведенное соотношение означает, что определение ядер начинать с g₃(τ₁,τ₂,τ₃). Для этого применяется стандартная процедура. После нахождения g₃(τ₁,τ₂,τ₃) из реакции системы вычитается составляющая, соответствующая этой функции. В результате получается система, описываемая двумя слагаемыми, для которой может быть применена процедура определения g₂ и g₁. Следовательно, процесс определения функции g_i можно начинать с ядра старшего порядка. После его определения из реакции системы вычитается соответствующее слагаемое, в результате чего остается система, имеющая меньшее число слагаемых, для которых процесс определения ядер повторяется.

Процесс определения ядер можно упростить, используя следующие свхемы.

y_н(t) – нечетная функция y_ч(t) – четная функция

_{∞ ∞}

y₂(t) = ∫ ∫g₂(τ₁,τ₂) u(t−τ₁) u(t−τ₂) dτ₁ dτ₂

^{0 0}

_{∞ ∞}

ŷ₂(t) = ∫ ∫g₂(τ₁,τ₂) (–u(t−τ₁)) (–u(t−τ₂)) dτ₁ dτ₂

^{0 0}

I y₂(t) + ŷ₂(t) 2 y₂(t)

= = y₂(t)

2 2

II y₂(t) – ŷ₂(t)

= 0

2

_{∞ ∞}

y₃(t) = ∫ ∫g₃(τ₁,τ₂,τ₃) u(t−τ₁) u(t−τ₂) u(t−τ₃) dτ₁ dτ₂ dτ₃

^{0 0}

_{∞ ∞}

ŷ₃(t) = ∫ ∫g₃(τ₁,τ₂,τ₃) (–u(t−τ₁)) (–u(t−τ₂)) (–u(t−τ₃)) dτ₁ dτ₂ dτ₃

^{0 0}

I y₃(t) – ŷ₃(t)

= 0

2

II y₃(t) + ŷ₃(t) 2 y₃(t)

= = y₃(t)

2 2

На примерах видно, что первая схема выделяет из процесса y(t) слагаемое четного порядка, а вторая схема слагаемое нечетного порядка.

Рассмотрим теперь систему представленную функциональным рядом

_∞

y(t) = ∑ y_i(t)

_∞ⁱ⁼⁰ _{∞ i}

y_i(t) = ∫ … ∫ g_i(τ₁, τ₂, … ,τ_i) ∏u(t−τ_k) dτ_k

0 0 k+1



i

_∞

y_ч(t) = y₀(t) +y₂(t) + … + y_2k(t) + … = ∑ y_2i(t)

ⁱ⁼⁰_∞

y_н(t) = y₁(t) +y₃(t) + … + y_2k+1(t) + … = ∑ y_2i+1(t)

ⁱ⁼⁰

Предлагаемая схема позволяет существенно уменьшить количество испытаний системы. Такой результат достигается за счет того, что каждая из схем выделяет в системе компоненты с четными и нечетными номерами. А это означает, что для определения функции g₂(τ₁,τ₂) нет ни какой необходимости первоначально определять функцию g₃(τ₁,τ₂,τ₃). Достаточно использовать первую схему с тем, чтобы избавиться от влияния слагаемых с нечетными номерами.

Задача: Сколько копий систем необходимо для определения функции g_i(τ₁, … ,τ_i)

(при i = 2 – три копии, при i = 3 – семь копий)

Определение ядер функционалов Вальтера для схем с заданными структурными схемами.

Для образования структурных схем или соединений систем, введем обобщенное устройство, позволяющее выполнить соединение.

Сумматором называется система, имеющая n входов u₁, u₂, … , u_n и один выход y(t), где

u_{1 n}

u₂ y(t) y(t) = ∑ a_i u_i (t)

u_n ⁱ⁼⁰

n=2 a₁=1 a₂=1 n=2 a₁=1 a₂= –1

u₁ y(t) u₁ y(t)

–

u₂ u₂

Сумматор может называться устройством сравнения.

Замечание: Сумматор является линейной системой.

Умножителем называется система, имеющая n входов u₁, u₂, … , u_n и один выход y(t), который задается формулой: _k

y(t) = ∏ u_i (t)

u₁ y(t) ⁱ⁼⁰

u₂ u₃

Ранее были разработаны последовательное и параллельное соединение систем, которые соответствуют в теории систем операциям: композиция и сумма систем. Введем операцию умножения систем.

Пример ∞

y₁(t) = ∫g₁(τ) u₁(t−τ) dτ

0

∞

y₂(t) = ∫g₂(τ) u₂(t−τ) dτ

0

∞ ∞ ∞∞

y₁(t) ∙ y₂(t) = ∫g₁(τ₁) u₁(t−τ₁) dτ₁∙ ∫g₂(τ₂) u₂(t−τ₂) dτ₂ = ∫∫g(τ₁) g(τ₂) u₁(t−τ₁) u₂(t−τ₂) dτ₁ dτ₂ =

0 0 ∞∞ 0 0

= {g₂(τ₁,τ₂) = g(τ₁) ∙ g(τ₂)} = ∫∫g₂(τ₁,τ₂) u₁(t−τ₁) u₂(t−τ₂) dτ₁ dτ₂

0 0

Операция умножения систем может перевести нас из класса линейных систем в класс нелинейных систем. В частности в примере получена нелинейная система, описываемая функциональным рядом Вальтера второго порядка. (Если одна из систем линейна, а другая реагирует постоянной величиной, то произведение таких систем оставит нас в классе линейных систем).

Рассмотрим пример определения динамических характеристик системы, полученной последовательным соединением линейной системы и системы, реакция которой определяется многочленом от входного воздействия.

Легко заметить, что, где – функционал Вольтера порядка i.

Определили динамические характеристики системы в виде последовательного соединения двух систем и выразили их через динамические характеристики систем, входящих в соединение.

Выбор такого вида соединения обусловлен тем, что достаточно большое число систем представлено или может быть представлено в таком виде; нелинейные свойства определяются многочленом, а динамические свойства определяются линейной составляющей, т.е. функцией g_i. При этом получаем полное описание результата соединения.

Пример: Пусть линейная часть систем задается апериодическим звеном первого порядка.

Вход такой системы определяется, как решение обыкновенного дифференциального уравнения.

T yy = u(t)

T yy = 0  T λ1 = 0  λ=–1/ T

y₀ = c ∙ e ^–t/T g(t) = (1/T) ∙ e ^–t/T

_{i i}

g_i(τ₁, … ,τ_i) = ∏ g(τ_k) = ∏ (1/T)ⁱ ∙ e ^–τk/T = (1/T)ⁱ ∙ e ^{–(τ1 + … + τi)/T}

^{k+1 k+1}

Определение динамических характеристик систем, заданных нелинейными дифференциальными уравнениями.

Рассмотрим систему заданную обыкновенным дифференциальным уравнением следующего вида: L y + F(y) = u(t)

, где L – линейный дифференциальный оператор порядка n

dⁿ

L =

dtⁿ

F – многочлен от функции y(t) и ее производных вплоть до (n–1)-го порядка

F(0,0, …,0) = 0

Существование и единственность решения могут быть доказаны на основе принципа сжимающих отображений. Этот факт позволяет установить явную связь между входной переменной u(t) и выходной переменной y(t).

Рассмотрим случай нулевых начальных условий.

Перейдем к эквивалентному данному уравнению. Для этого первоначально рассмотрим уравнение: L y = u(t)

Для сформированной системы может быть определена весовая функция. Например, используя характеристический многочлен, который легко записывается по форме дифференциального оператора, назначив специальные начальные условия и записав исходную весовую функцию, как общее решение однородного уравнения с этими специальными начальными условиями.

Пусть h(t,τ) – весовая функция этой системы. Если теперь вернуться к исходной системе, то ее реакция может быть определена, как реакция системы с отрицательной обратной связью, у которой петля обратной связи имеет нелинейное преобразование F(y), а общее преобразование подчиняется линейному закону L примененному к y.

Такой подход позволяет записать искомую реакцию, как решение нелинейного интегрального уравнения в следующем виде:

_{∞ ∞}

y(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ – ∫h(t,τ) F[y(τ)] dτ

^{0 0}

Для решения этого уравнения может быть применен метод последовательных приближений.

_∞

y₁(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ

⁰

В соответствии с методом последовательного приближения

_∞

y_n+1(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) F[y_n(τ)] dτ , где n = 1,2…

⁰

Поскольку F(y) является многочленом от y и ее производных, то следует надеяться на то, что соответствующие элементы приближения решения будут совпадать с элементами функционального ряда Вальтера и решение задачи будет выписано, как такой функциональный ряд.

Рассмотрим пример: L y + y² = u(t) F(y) = y²

Будем решать задачу при нулевых начальных условиях. Пусть h(t,τ) – весовая функция системы L y = u(t). В соответствии с ранее предложенной системой

_∞

y₁(t) = ∫h(t,τ) u(τ) dτ

⁰ _∞

y₂(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) y₁²(τ) dτ

_∞ ⁰ _{∞ ∞}

y₁²(τ) = (∫h(t,τ) u(τ) dτ)² = ∫ ∫h(τ,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂

⁰ _{∞ ∞ ∞} ^{0 0}

y₂(t) = y₁(t) – ∫h(t,τ) ∫ ∫h(τ,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂ dτ

^{0 0 0}

_∞

Обозначим: h₂(t,σ₁,σ₂) = ∫h(t,τ) h(τ,σ₁) h(τ,σ₂) dτ

_{∞ ∞} ⁰

y₂(t) = y₁(t) – ∫ ∫h₂(t,σ₁,σ₂) u(σ₁) u(σ₂) dσ₁ dσ₂

^{0 0}

Второе слагаемое в правой части представляет собой функционал Вальтера второго порядка, а первое – функционал Вальтера первого порядка. На самом деле функция h₂(t,σ₁,σ₂) оказалась определенной через весовую функцию линейной системы.

Аналогичным образом может быть определено ядро функционала третьего порядка и т.д., что позволяет выписать полное решение исходного нелинейного дифференциального уравнения.

Замечание: Такой подход является, чуть ли не единственным средством для нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения.