Лекция по теории систем 2

Лекция № 2. Элементы математической теории систем. Понятие системы с точки зрения макроподхода

Понятие абстрактной системы может быть введено различными способами (имеется более 30 математических и лингвистических опреде-лений понятия абстрактной системы).

Чтобы пояснить смысл вводимого определения абстрактной системы (кратко – сис-темы), рассмотрим физически существующий объект О, над которым производится экспери-мент Э для описания поведения объекта в задан-ных условиях. Примерами экспериментов могут служить наблюдения за поведением живого ор-ганизма, изучение движения летательного аппа-рата, анализ деятельности предприятия и т. д.

Совокупность физических объектов, взаимо-действующих в процессе эксперимента Э с объе-ктом О, назовем окружающей средой. Взаимо-действие между объектом и средой протекает в двух направлениях: во-первых, среда действует на объект и, во-вторых, объект сам оказывает не-которое воздействие на среду. Эксперимент Э заключается в наблюдении и регистрации при помощи некоторых приборов и устройств фи-зических процессов и величин, характеризую-щих взаимодействие среды и объекта. Будем предполагать, что эксперимент Э является мно-гократным, т.е. имеется любое число тождест-венных копий объекта О, над каждой из которых можно провести эксперимент Э в тех же самых условиях. (Поведение объекта рассматривается на некотором множестве воздействий и при этом наблюдается некоторое множество реакций).

Нашему рассмотрению подлежат только такие эксперименты, в которых:

1) приборы и устройства наблюдения и регистрации данных не вносят существенных искажений в результаты наблюдений и

2) все наблюдаемые физические величины и процессы могут быть количественно описаны при помощи функций, определенных на дейст-вительной прямой E¹ и со значениями в Е¹, т.е. при помощи действительных (скалярных) фун-кций. Предположим, что в условиях данного эксперимента воздействия среды на объект опре-делены во всех точках одного и того же непус-того множества , а ответные действия объекта – во всех точках одного и того же непус-того множества . Множества Т и Т* назовем множествами моментов времени. В большинстве рассматриваемых ниже задач будет предполагаться, что Т и Т* совпадают.

Выбор того или иного типа множества моментов времени определяется природой объекта и среды, характером эксперимента Э, а также устройствами наблюдения, регистрации и обработки экспериментальных данных.

Функции u(t), определенные на T и со значениями в Е¹, описывающие действие среды на объект, назовем входными сигналами или воздействиями, а функции у(t), определенные на Т* и со значениями в Е¹, описывающие действие объекта, – выходными сигналами или реакциями. Предположим, что все входные сигналы u(t) являются элементами нормированного пространства А(Т), а все выходные сигналы y(t) – элементами нормированного пространства В(Т*). Пространства А(Т) и В(Т*) назовем пространствами входных и выходных сигналов. Образуем декартово произведение пространств сигналов . Теперь можно дать такое определение понятия системы.

Системой называется бинарное отношение . (упорядоченная пара . Для ряда задач пространства А(Т) и В(Т*) совпадают, и система рассматривается как отношение .

Если каждому входному сигналу u(t) Î A(T) соответствует один и только один выходной сигнал то система называется функциональной. Функциональному отношению можно сопоставить оператор y(t) = fu(t), действующий из A(T) в B(Т*).

Определим теперь понятие стационарной системы. Пусть для простоты Т=Е¹. Введем на декартовом произведении A(T)×A(T) отношение сдвига ), сопоставляющее каждой функции u(t) Î A(T) функцию Систему назовем стационарной, если для всех

_.

_{В упрощенном понимании это означает, что реакция системы зависит не от момента приложения воздействия, а от его длительности.}

Система называется непрерывной (по времени), если ее пространства входных и выходных сигналов являются пространствами функций.

Система называется дискретной (одному и тому же объекту можно обычно сопоставить как непрерывную, так и дискретную модель/сис-тему), если хотя бы одно из ее пространств сигналов есть пространство последовательнос-тей, т. е. дискретное по времени пространство.

Смысл введенного определения системы был пояснен на примере многократного экспе-римента с физически существующим объектом. Однако само определение имеет более широкий характер и позволяет считать системами матема-тические модели любых ясно представимых объектов нашего сознания, не обязательно су-ществующих физически, если только поведение этих объектов может быть описано матема-тически и для них можно определить абстракт-ные пространства сигналов.

Назовем объект физически возможным, если он существует, или может быть физически осуществлен. Выясним теперь, какие из всех возможных систем могут являться моделями физически возможных объектов. Отличительным свойством физически возможных объектов является свойство причинности; причинность понимается здесь в смысле классической механики. Оно заключается в том, что реакция объекта на воздействие, начинающее поступать в произвольный момент времени, может быть определена однозначно, если известны законы, определяющие поведение объекта и все его прошлое до этого момента времени. Чтобы являться моделью физически возможного объекта, система тоже должна быть причинной, т. е. удовлетворять этому условию. Это условие может быть расчленено на два, в первом из которых требуется, чтобы реакция системы в любой текущий момент времени не зависела от будущих значений сигнала, а во втором – чтобы прошлое однозначно определяло будущее. Первое из этих условий – это условие неантисипативной связи (связи без упреждения) между воздействиями и реакциями системы. Назовем системы, удовлетворяющие этому условию, неантисипативными (без упреждения). Системы, выходной сигнал которых хотя бы в один из моментов времени зависит от воздействий, которые будут приложены к системе в будущем, назовем антисипативными (с упреждением). Если вы­ходной сигнал не зависит от прошлых значений входного сигнала, то такую систему назовем чисто антисипативной.

Если система функциональна, то второе условие причинности заведомо выполняется. Сопоставим этому отношению оператор y(t) = fu(t), действующий из пространства А(Т) в себя.

Функциональную систему y(t)=fu(t) назовем антипричинной, если она чисто антисипативна, т. е. если для всех и

Рассмотрим числовую функцию от двух аргументов y=f[t,u], Если система определяется оператором y=f[t,u(t)], то такая система называется безынерционной. Безынерционная система функ-цииональна. Выходной сигнал безынерционной системы в момент времени не зависит от прошлых и будущих значений входного сигнала, и значит, безынерционные системы причинны и антипричинны одновременно

Функциональную систему y = fu(t); назовем линейной, если оператор f линеен, и нелинейной, в противном случае.