Лекция по теории систем 10

Лекция №10 Методы определения фундаментальной матрицы

Ранее в рассмотрение была введена фундаментальная матрица, определяемая как матричная экспонента, которая, в свою очередь представляет собой матричный степенной ряд:

(1)

В (1) .

Мы рассмотрим три основных метода расчета фундаментальной матрицы:

• метод основанный на определении фундаментальной матрицы (суммирование матричного степенного ряда);

• улучшенный метод суммирования матричного степенного ряда;

• метод определения фундаментальной матрицы как решения матричного дифференциального уравнения.

Рассмотрим первый метод.

Если заниматься непосредственной реализацией каждого слагаемого в (1), то придется многократно вычислять степени матрицы F. (это непроизводительные временные затраты с потерей точности).

Мы используем идею рекуррентных соотношений

Для ее реализации вычислим произведение Т.е.,

Легко заметить, что получено рекуррентное соотношение, связывающее друг с другом матрицы и . Т.к. , то имеем правило расчета матриц , не связанное с необходимостью многократного вычисления степеней матрицы F

(2)

Одновременно мы избавились от необходимости вычисления факториалов.

Рекуррентное соотношение (2) может лечь в основу вычислительной процедуры определения .

Разберемся теперь с не менее важным вопросом: какое количество членов матричного степенного ряда необходимо взять с тем, чтобы обеспечить необходимую точность вычисления функции от матрицы.

Для этого предположим, что расчет элементов производится на интервале времени . Тогда, без особой потери точности, будем считать, что необходимая точность определения достигнута, если для некоторого k. есть одна из канонических норм матрицы . В частности будем иметь: . Таким образом, если, начиная с некоторого k выполнено неравенство , то матричный степенной ряд просуммирован с заданной точностью.

Отметим, что при расчете для равноотстоящих узлов, отстоящих на расстоянии H, целесообразно пользоваться соотношением вида для всех .

Основной недостаток:

• необходимость использования достаточно большого числа членов ряда (1).

Этого недостатка лишен 2-й, улучшенный метод, который основывается на иной технологии расчета .

Второй метод. Для его реализации отрезок разбивается на частей, каждая из которых имеет длину . Т.к. по отношению к H величина h достаточно мала, то матричный степенной ряд может быть вычислен с малым числом членов ряда (на самом деле N выбирается именно так, чтобы число членов ряда оказалось очень малым, не более 3). Тогда, обозначив и задавая , получим: . В таком случае расчет сводится к многократному вычислению квадратов матриц.

Третий метод. Основывается на формуле для общего решения матричного дифференциального уравнения динамики: ,

которая записывается так: .

Правильно выбирая вектор начальных условий, можно последовательно определять вектор-столбцы фундаментальной матрицы . Действительно, пусть . Тогда

Таким образом, решение дифференциального уравнения динамики ровно n раз позволяет последовательно определить столбцы фундаментальной матрицы, если вектор начальных условий изменяется указанным выше образом

Канонические нормы матрицы

По строке

По столбцу