2. Деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука

Основными типами деформаций являются: 1) растяжение или сжатие (рис. 2а и 2б); 2) кручение (рис. 2в) – работа валов; 3) изгиб – работа всякого рода балок (рис. 2г); перерезывание (рис. 2д) – работа болтов, заклёпок.

Рассмотрим деформацию стержня по рис. 1а. Центральным растяжением или сжатием называется деформация его под действием двух равных и противоположно направленных сил, приложенных к концевым сечениям и направленным по оси стержня.

Пусть сечение стержня mnперпендикулярно его оси. Отбросим часть Б; тогда, чтобы равновесие части А не было нарушено, нужно заменить действие отброшенной части Б силами, передающимися на часть А через сечение (рис. 1б). Заменяющие силы будут уравновешивать внешнюю силуP, поэтому они должны сложиться в равнодействующуюР_нсил, распределённых по сечению и выражаемых через напряжения, равнуюРи направленную противоположно действующей на часть А внешней силе.

Опыты показывают, что если растягивающие силы достаточно точно совпадают с осью стержня, то удлинения прямых линий, проведённых на поверхности стержня парал-лельно его оси, будут равны. Отсюда возникает предположе-ние о равномерном распреде-лении напряжений по сечению. Лишь у концов стержня, там, где происходит непосредственная передача сил на стержень, распределение напряжений неравномерно по сечению, но уже на небольшом расстоянии от концов, равном примерно 10% от длины стержня при отношении длины стержня к его диаметру 7:4 и более, наступает равномерное распределение напряжений по сечению, перпендикулярному оси. Эти напряжения направлены параллельно силеР, т.е. нормально к сечениюmn, поэтому их называютнормальныминапряжениями; их обозначают буквой.Так как они распределены равномерно по площади сеченияF, тоР_н=F, а так какР_н=Р, получаем

По этой формуле можно вычислить напряжение , если известна растягивающая силаРи размер сеченияF.

Без всяких изменений эта формула может быть применена к случаю сжатия стержня.

Полную картину работы элемента можно получить лишь в опытах. На рис. 3 представлены результаты опытов по растя-жению стержня из стали У8 длиной 220 мми сечениемF=176 мм². Приращениеl длины l измерялось на длинеl=100 ммв средней части стержня.

Вначале опыта увеличение длины идётпропорционально увеличению нагрузки; приращению усилия в5 кНсоответствует при-ращение длины на одну и ту же (в пределах точности опыта) величину, а именно13,610^-3 мм. Когда нагрузка достигла известного предела, в данном случае55 кН, пропорциональность нару-шилась, за этим пределом деформации (удлинение образца) растут быстрее, а после75 кНещё быстрее.

Напряжение, вызванное нагрузкой, после которой нарушается пропорциональность, называется пределом пропорциональности.Если до достижения предела пропорциональности нагрузку снять, элемент полностью вернётся к исходной форме.

Если повторить опыт, измеряя увеличение длины на расстоянии l=50 мм, то приращения длины при тех же нагрузках будут вдвое меньше приращений на длинеl=100 мм.

Если в опыте использовать стержень другого поперечного сечения, то удлинения меняются обратно пропорционально площади при одних и тех же нагрузках.

Таким образом, пока нагрузка на образец не достигнет известного предела, удлинение прямо пропорционально растягивающей силе Р, длине образцаlи обратно пропорционально площади поперечного сеченияF. Обозначив черезlприращение длины образца от силыР, можно записатьформулу, обобщающую опытные данные:

где Е– коэффициент пропорциональности, различный для разных материалов.

Величина l называетсяабсолютным удлинениемстержня от силы Р. Формула носит названиезакона Гука.

Разделив обе части этой формулы на первоначальную длину l, получим

Отношение l/lназываетсяотносительным удлинением;оно обозначается буквой Подставив вместоl/l символ, а вместоP/Fсимволполучим иную запись закона Гука:

или

Коэффициент пропорциональности Еназываетсямодулем упругости. ЧемЕбольше, тем меньше растяжение стержня под влиянием усилияРпри прочих равных условиях.

Величину Едля стали У8 можно получить из приведённых опытных данных:Е =210 ГПа=2110⁶ Н/см² =2,1410⁶ кг/см².

Величина Едаже для одного и того же материала несколько колеблется. Для некоторых материалов (сталь, медь)Еодинаково при растяжении и сжатии.

Формула закона Гука позволяет определить удлинение или укорочение, которое получит элемент при растяжении и сжатии. Обратно, зная это удлинение, размеры и материал стержня, можно найти нормальное напряжение, которое в нём возникает. Если известна внешняя сила Р, растягивающая или сжимающая стержень, вычисляется по уже приведённой формуле

если же внешняя сила неизвестна, а можно измерить удлинение стержня, то

С помощью этих формул, зная площадь поперечного сечения F, можно определить усилиеР :

Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольныхдеформаций ипоперечные.

Опыт показывает, что при растяжении стержня длина его увеличивается на l, а ширина уменьшается на величинуb=b-b₁, гдеb₁– ширина растянутого стержня. Относительная поперечная деформация₁=b/b. Для большинства материалов₁в 3…4 раза меньше  =l/l.

Абсолютная величина отношения ₁ кназывается коэффициентом поперечной деформации иликоэффициентом Пуассона :

Коэффициент Пуассона , как и модуль упругостиE, являетсяхарактеристикой упругих свойств материала. Для материалов, упругие свойства которых одинаковы во всех направлениях, упругие постоянныеЕиполностью характеризуют их свойства. С достаточной для практики точностью к ним могут быть отнесены сталь и другие металлы, бетон, неслоистые пластмассы. Для стали коэффициент Пуассона при деформациях в пределах пропорциональности = 0,24…0,30.