Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).
z1z2 r1r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )) |
(1) |
||||
z1 |
|
r1 |
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )) |
(2) |
|
z2 |
r2 |
||||
|
|
|
|||
Пример3. Выполнить действия:
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 cos |
|
i sin |
|
|
* |
|
|
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6 |
|
6 |
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используя формулу (1), находим:
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10 |
|
|
6 |
|
3 |
|
6 |
|
3 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
При возведении комплексного числа
z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n
модуль данного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени:
zn rn (cosформулаn Муавраi sin n )(4)
Пример4. Решить уравнение z2 4 0
Корнями данного уравнения являются все значения 
4 Для числа - 4 имеем r = 4,
Согласно формуле(3), |
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||
находим: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
4 2 cos |
|
|
|
i sin |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если к = 0, то 1 |
|
|
|
|
i sin |
|
2i |
||||
2 cos |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Если к = 1, то |
2 |
|
3 |
i sin |
3 |
2i |
|
2 cos |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Корень n-й степени из комплексного
числа z = r (Cosφ + iSinφ) имеет n различных значений, которые находятся по формуле :
n |
|
n |
|
|
2 |
i sin |
2 |
|
|
|
|||||||
|
z |
r cos |
n |
n |
(3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь к = 0, 1, 2, … n-1