IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Такими уравнениями называются уравнения вида:
a0 y a1 y a2 y 0 (1)
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её |
|||||
производных, а коэффициенты |
a0 ,a1,a2 |
- постоянные |
a |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнение:
a0r 2 a1r a2 0 (2)
которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой функции соответствующими степенями r , причём сама функция заменяется единицей.
Общее решение имеет вид
y C1 y1 x C2 y2 x
где y1 и y2 - линейно независимые частные решения уравнения (1),
а С1 и С2 - произвольные постоянные.
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта D квадратного уравнения (2):
1) D 0 |
r1 |
В этом случае имеем 2 различных действительных корня |
|
и общее решение имеет вид: |
|
yC1er1x C2er2 x
2)D 0
Вэтом случае имеем единственный действительный корень решение имеет вид: y C1 C2 x er0 x
3)D 0
и r2 ,
r0 , и общее
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней |
|
|||
r1,2 i |
где i |
1 - мнимая единица, |
и |
- |
|
действительные числа. |
|
|
|
Общее решение имеет вид:
y e x C1 cos x C2 sin x
Примеры выделения чисел и :
1. r1,2 2 
5 2 
5 1 2 
5 
1
2 |
|
i |
2, |
|
|
5 |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
r1,2 |
3 |
|
|
3 |
1 |
|
3 |
i |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
12 , 23.
Примеры интегрирования уравнений
1. y 5y 6 y 0 |
, y y x |
|
|
|||
Характеристическое уравнение: |
|
|
||||
r |
2 |
5r 6 0 |
|
r1 6 |
|
D 0 |
|
r 1 |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Имеем случай 1) |
y C e6x C |
e x - общее решение |
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
2. d 2 y |
dy |
|
|
|
y y x |
dx2 |
4 dx |
4 y 0 , |
|
||
Характеристическое уравнение:
r2 4r 4 0 r 2 2 0 r 2 D 0.
Имеем случай 2). Общее решение запишется:
y C1 C2 x e 2 x
|
d 2 S |
dS |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
dt2 |
|
6 dt 13S 0 , S S t . |
||||||||||
|
Характеристическое уравнение: |
||||||||||||
|
r2 |
6r 13 0 , |
D 36 52 16 0. Имеем случай 3). |
||||||||||
|
|
6 |
|
|
6 4 |
|
|
3 2i 3, 2. |
|||||
|
r |
16 |
1 |
||||||||||
|
1,2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Общее решение: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
S e3t C1 cos 2t C2 sin 2t |
||||||||||||
4. |
Найти частное решение уравнения y 2 y 2 y 0 |
||||||||||||
|
с начальными условиями |
y 0 1, y 0 1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найдём общее решение. |
Характеристическое уравнение: |
|||||||||||
|
r2 2r 2 0, D 22 4 1 2 4 0 |
||||||||||||
|
имеем 2 комплексных корня |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
1 i 1, 1 |
|||||
|
r |
4 |
1 |
||||||||||
|
1,2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Общее решение: |
|
|
|
|
|
||
y e x C1 cos x C2 sin x - * |
|
|
|||||
y e x C1 cos x C2 sin x e x C1 sin x C2 cos x |
|
||||||
В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия |
|
||||||
x 0, y 1 |
x 0, y 1: |
|
|
||||
1 e0 C1 cos 0 C2 sin 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
1 e0 C |
|
cos 0 C2 sin 0 e0 C1 sin 0 |
C2 cos 0 |
|
|||
2 |
|
||||||
1 С1 |
|
С1 1 |
|
|
|||
|
|
С2 2 |
|
|
|||
1 С1 С2 |
|
|
|
|
|||
Найденные значения С1 |
и |
С2 подставляем в общее решение * : |
|||||
y e x cos x 2sin x - искомое частное решение.