2.Элементы математической статистики
I. Выборки и их характеристики
1.1. Выборочный метод и способы составления выборок
Математическая статистика – это наука, занимающаяся разработкой методов сбора, регистрации и обработки результатов наблюдений (измерений) с целью познания закономерностей случайных явлений массового характера.
Совокупность предметов или явлений, имеющих какие-либо общие свойства как качественные, так и количественные, называется объектом наблюдения.
Статистические данные – это числовая информация о том, какие значения принимают единицы измерения.
Задачами математической статистики в зависимости от поставленной цели являются:
1. Приближенное определение закона распределения случайной величины.
2. Вычисление параметров распределения.
3. Оценка достоверности параметров распределения и правдоподобие гипотез распределения.
Вся исследуемая совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.
Выборочная совокупность – это часть элементов генеральной совокупности, отобранных случайным образом с целью исследования.
Объём совокупности (генеральной или выборки) – это число входящих в неё объектов n .
Выборочный метод статистики заключается в том, что в результате исследования объектов выборки, делают заключение о генеральной совокупности. Объясняется это тем, что для генеральной совокупности исследование может быть:
1. Трудоемким с большими затратами средств.
2. Практически не осуществимым.
3. Неограниченным во времени.
4. Частично разрушающим или уничтожающим все объекты наблюдения.
Существуют два основных способа составления выборки:
1. Повторный, когда один и тот же объект может попасть под наблюдение более одного раза.
2. Бесповторный, когда каждый выбранный объект не возвращается в генеральную совокупность.
Первый способ можно рассматривать как независимые испытания, а второй – как зависимые.
1.2. Статистическое распределение и его геометрическое изображение
Статистическая информация – это ряд значений, записанных в той последовательности, в которой они были получены.
Количественный признак объекта генеральной совокупности обозначают X,Y,Z…
Соответствующие возможные значения объекта – xi , yi , zi … (варианты).
Частота – это число ni объектов с одинаковыми количественными признаками.
Перечень вариантов и соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.
Ряд в котором значения случайной величины записаны в порядке возрастания или убывания, называется ранжированным.
Распределения могут быть дискретными (все значения изолированы друг от друга) и интервальными (все значения заполняют некоторый интервал).
Алгоритм составления дискретного статистического распределения:
1. Определяют наибольшее Хmax и наименьшее Хmin значения.
2. Ранжируют ряд.
3. Подсчитывают частоты каждого значения признака.
4. Составляют дискретный вариационный ряд в виде таблицы
|
Х |
Х1 |
Х2… |
Хn |
|
ni |
n1 |
n2… |
n |
Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности отдельных значений случайной величины, называется законом распределения случайной величины.
Закон может быть задан в виде таблицы распределения
|
X |
X1 |
X2 |
… |
Xn |
|
P |
P1 |
P2 |
… |
Pn |
Дискретный вариационный ряд графически представляют полигоном распределения частот или относительных частот
Интервальный вариационный ряд графически представляют гистограммой.
Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi;ni)
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению
или
Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то получите полигон того же распределения.