Тема:Функции распеределения

Задание 1.Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1. найти плотность распределения вероятностей f(x)

2. определить коэффициент А

3. схематично построить графики F(x) и f(x)

4. найти математическое ожидание и дисперсию Х

5. найти вероятность того, что Х примет значение из интервала ( , )

Решение:

1. Используем свойство . Получаем:

2. Используем свойство

3. Ниже показаны графики функции распределения и плотности распределения.

f(x)

F(x)

3. Математическое ожидание:

Дисперсия:

5. Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0 , 3)

Задача2 .Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р = 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях п раз. Сколько раз надо провести этот опыт, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события А от вероятности р = 0,6 не более, чем 0,05?

Решение: Поскольку условия опыта неизменны, то применяется схема независимых испытаний Бернулли.

Используется формула:

В этой формуле:

 = 0,05 – заданная величина отклонения относительной частоты от вероятности.

p = 0,6 – вероятность появления события А в одном опыте.

q = 1 – p = 0,4 – вероятность непоявления события А в одном опыте.

P₁ = 0,9 – граница заданной вероятности появления А в п опытах.

аргумент функции Лапласа для значения

Получаем:

Ответ: для выполнения условий задачи опыт требуется выполнить 258 раз.

Задача 3. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:     

Х	1	2	3
Р	0,3	0,2	0,5

и построить ее график. Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным

. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства ()

имеем F(x) = p₁ = 0,3.

Если 2 < х ≤ 3, то имеем F(x) = p₁ + p₂ = 0,5.

Если х > 3, то F(x) = p₁  + p₂ + p₃ = 1.

Окончательно получаем

График функции F(х) изображен на рис..      Рис.

Задача4 Функция распределения случайной величины Х задана выражением

Найти : 1)коэффициент α;

2)вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4);

3) построить график функции.

Решение . 1)При х=3 π/4 функция F(x ) равна 1, т.е. α∙ sin (3π/4–π/4)+1/2=1, или α∙si n(π/2) + 1/2 = 1.

Откуда α = 1/2. 2)Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство ( P(a ≤ X ≤ b) = .), получаем π (π/4 <X<3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2 × sin(π/2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2.

3)График функции у =1/2∙sin(х-π/4 )+1/2 отличается  от графика  функции у = sinх тем, что он «сжат» по оси Оу в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) на рисунке:

Рис.

Задача 5 У яровой пшеницы сорта Саратовская 29 длина главного колоса в сантиметрах представляет собой случайную величину Х, подчиняющуюся закону распределения, который характеризуется дифференциальной функцией распределения

Найти интервал ,в который попадут практически все возможные значения длины главного колоса пшеницы этого сорта.

Решение: Случайная величина Х-длина главного колоса пшеницы сорта Саратовская распределена по нормальному закону с параметрами

и Согласно правилу трех сигм получим, что практически все возможные значения Х будут находится в интервале(6,63,6)см,т.е.главный колос пшеницы может иметь длину от 3 до 10,2см.

Ответ: от 3 до 10,2см.