1.6.6. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 27) относительно координатных осей г, у:

(2.30)

Повернем оси z, y на угол а против часо­вой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Тогда моменты инерции сечения относитель­но повернутых осей z_1, y₁равны

Рис. 27

(2.34)

(2.35)

Эти формулы, полученные при повороте любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы и для центральных осей.

Складывая почленно формулы (2.34), находим

Таким образом, при повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относи­тельно начала координат.

При повороте системы осей на угол a = 90°

1 .6.7. Определение направления главных осей. Главные моменты

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, v. Следовательно,

Чтобы определить положение главных центральных осей несим­метричной фигуры, повернем произвольную начальную систему центральных осей z, у (рис. 28) на некоторый угол а₀, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю:

Тогда из формулы (2.35)

(2.37)

(2.38)

Два значения угла , отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. меньший из этих углов но абсолют­ной величине не превышает. В дальней­шем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом (поло­жительным или отрицательным) главную ось будем обозначать буквой и.

На рис. 23 приведены некоторые примеры обо­значения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначены буквами z и у.

Значения главных моментов инерции можно получить из общих формул (2.34) перехода к повернутым осям, приняв а = а₀:

Рис. 23

Главные моменты инерции обладают свой­ством экстремальности. Моменты инерции достигают экстремального значения относительно главных осей, т.к. . Суммамоментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей величина постоянная, тогда один из ни достигает максимального значения, другой минимального.

Плоскости, поведенные через ось стержня и главные оси инерции его сечения, называются главными.