Кисляков Н.И. Прикладная механика Л.5 1324.02.17

Лекция 5

5.1. Деформации. Гипотеза плоских сечений

5.2. Нормальные напряжения и подбор поперечного сечения балки

5.3. Касательные напряжения и проверка прочности балок по касательным напряжениям

5.4. Главные напряжения и полная проверка прочности балок

5.5. Проверка прочности балки по главным напряжениям.

5.1. Деформации. Гипотеза плоских сечений

Характер деформации при чистом изгибе легко выяснить при по­мощи опыта с резиновой моделью бруса прямоугольного сечения с нанесенной на боковых гранях сеткой квадратиков (рис. 3.1, а). При изгибе такого бруса двумя парами, приложенными по концам, можно видеть удлинение горизонтальных граней квадратиков у вы­пуклой стороны бруса и укорочение граней у вогнутой стороны* сопровождаемые искривлением этих граней (рис. 3.1b). Значит опыт с очевидностью показывает, что продольные волокна изогну­того бруса удлиняются у выпуклой его стороны и укорачиваются у вогнутой.

Так как переход от удлинения к укорочению происходит непре­рывно, то внутри бруса существует слой волокон, которые искри­вляются, но не меняют своей длины. Такой слой называется ней­тральным слоем, а его след на плоскости сечения — нейтральной линией или нейтральной осью.

На модели видно, что поперечные линии сетки наклоняются друг к другу, оставаясь прямыми и нормальными

Рис. 3.1.

к искривленным продольным линиям. При этом углы деформирован­ных квадратиков остаются прямыми, что указывает на отсутствие деформаций сдвига, состоящих именно в изменении углов прямо­угольных элементов. Если же не наблюдается деформаций сдвига, то не должно быть и связанных с ними касательных напряжений. Таким образом, опыт подтверждает сделанное выше заключение об отсутствии касательных напряжений при чистом изгибе. Искривление сетки квадратиков на обеих боковых поверхностях бруса в силу симметрии сечения будет совершенно одинаковым.

Естественно предположить, что картина распределения деформа­ций, наблюдаемая на поверхности бруса, имеет место и внутри него. Иначе говоря, во всех плоскостях, параллельных боковым, закон постепенного перехода от удлинения к укорочению волокон оди­наков. В таком случае нейтральный слой волокон представляет собой до изгиба плоскость и после изгиба цилиндрическую поверхность. В силу симметрии сечения относительно плоскости действия внешних сил изгиб происходит в той же плоскости, т. е. прямая и изогну­тая оси бруса лежат в одной плоскости ху (рис, 3.1). При этом нейтральная ось

есть прямая, перпендикулярная к оси симметрии у. Поперечные сечения бруса взаимно наклоняются, вращаясь вокруг своих нейтральных осей.

Вывод: сечения, плоские и нор­мальные к оса бруса до изгиба, остаются и после изгиба пло­скими и нормальными к изогнутой оси бруса. Положение это, подтвержденное многочисленными опытами, принимается в сопроти­влении материалов в качестве рабочей гипотезы и носит название «гипотезы плоских сечений» или «гипотезы Бернулли» по имени ученого Я. Бернулли, впервые ее высказавшего в 1705 г.

Пользуясь этой гипотезой, установим закон изменения удлинений волокон по высоте бруса. Двумя весьма близкими по перечными сечениями а — bнс—d выделим элемент бруса длиной ds

(рис. 2 а). После изгиба сечения образуют элементарный угол и все волокна искривятся, имея в точке О общий центр кривизны. Волокна нейтрального слоя сохранят при этом прежнюю длину ds, при положительном изгибающем моменте выпуклость будет обращена вниз (рис. 160, б). Положительная ось у направлена вверх и начало координат

Рис 2. помещено в произ­вольной ее точке. Координатную ось z совместим с нейтральной осью сечения. Тогда расстояние какого-либо волокна тп (рис. 2, б) до нейтрального слоя будет равно величине координаты у соответствующей точки т сечения.

Обозначим радиус кривизны нейтрального волокна через р. Тогда волокно тп будет иметь радиус кривизны и длину.

Абсолютное удлинение волокна тп :.

Относительное удлинение

Здесь имеют абсолютные значения величин . Кривизну принято считать положительной, если центр кри­визны обращен в положительную сторону оси у, и отрицательной в обратном случае. В нашем случае > 0 иу < 0, поэтому правая часть предыдущего равенства отрицательна, в то время как удлинение волокна тп, расположенного с выпуклой стороны, положительно. Чтобы привести в соответствие знаки обеих частей, равенство следует записать так:

(3.5)

Таким образом, удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Простое растяжение и сжатие сопровождается поперечной дефор­мацией сечения, определяемой коэффициентом Пуассона, причем отдельные волокна изменяют свою длину, не оказывая давления друг на друга. Опыт показывает, что при изгибе также происходит изменение формы поперечного сечения: оно сужается у выпуклой стороны бруса и расши­ряется у вогнутой стороны, принимая вид, показанный (для случая прямоугольного сечения) на рис. 161 сплошными линиями. Боковые стороны сечения взаимно наклоняются, вращаясь около точек k и l. Поперечные волокна изменяют длину и искривляются выпуклостью в сторону, обратную выпуклости продольных воло­кон. Нейтральная линия kl искривляется без изменения длины. Если допустить, что при чистом изгибе имеют место простое растяжение и сжатие продольных волокон бруса,

Рис. 3 т. е. что волокна не нажимают друг на друга, то относительные удлинения поперечного и продоль­ного волокон, равноотстоящих от нейтрального слоя, должны нахо­диться в отношении, равном коэффициенту Пуассона:

где e_z — поперечная относительная деформация.

Определение обоих удлинений и опытным путем подтвер­ждает сделанное допущение. Значения , полученные из опытов на изгиб и на простое растяжение, оказываются весьма близкими.