6.

Решить систему а) по формулам Крамера; б) матричным методом;

в) методом Гаусса:

4x

−3y −2z = 2,

3x + y + 7 =

4,

= 5, б)

+ y − z = 2,

а) 2x + 3y − 2z

3x

+ 5y +3z = 5.

x − 4y −27 = −3,

2x

Ответ: а) (1;1;0); б) (1;0;1).

Задания для аудиторного занятия

«Векторы. Полярная система координат»

1.

Даны векторы: aG = (2;−1;3), b = (0;−4;5). Найти:

а) 2aG −3b

; б) aG (2a

);

в) пр→

(2a

−3b

−3b

); г) cosϕ, где ϕ =

a,b .

a

Ответ: а) (4;10;-9); б) –29; в) −

29

; г) 0,79.

14

2.

Будут ли перпендикулярны векторы

а) aG = (−2;1;0); bG = (2;4;5);

б)

= (−3;0;4);

= (−2;5;6).

b

a

3.

Даны точки А(-1;3;4),

В(0;-2;1), С(-2;3;1). Найти:

JJJG

JJJG

а) AB × AC ; б)

площадь треугольника АВС.

Ответ: а) (15;6;-5); б)

286

.

2

4.

Найти момент

G

точке

В(2;-1;3),

силы F = (−1;3;0), приложеной в

координат: а) r = 2 ; б)

ϕ =

3

π; в) r = aϕ

(a > 0); г) r = −3cosϕ; д)

4

4.

Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0 (−2;3)

и

перпендикулярной прямой 2x −3y +8 = 0 .

Ответ: 3x + 2y = 0 .

5.

Точка M(2;−5) является вершиной квадрата, одна из сторон

которого лежит на прямой x − 2y −7 = 0 . Вычислить площадь квадрата.

Ответ: 5.

x2

y2

6.

Построить линии, заданные уравнениями: а)

+

=1;

б)

16

9

x2

−

y2

=1; в) y2

= 4x ; г) y = − 3

16 − x2

;

д) x = − 3

x2 −16 ; е)

25

16

4

4

x = 2

−y .

7.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

M0 (2;−1;3)

а) перпендикулярно

вектору

= (3;2;−4); б)

параллельно

n

плоскости 5x − 4y + 8z −9 = 0 ;

в)

параллельно

векторам

aG = (−1;3;4);

= (3;0;−2).

b

Ответ:

а)

3x + 2y − 4z + 8 = 0 ;

б)

5x − 4y +8z −38 = 0 ;

в)

6x −10y + 9z − 49 = 0 .

8.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точки

M1 (2;−1;3); M2 (−1;0;3), M3 (0;−2;5).

точку M0 (2;−1;3)

а) параллельно

вектору a = (4;0;5); б)

параллельно

прямой

x −1

=

y + 4

= z

; в) перпендикулярно плоскости 3x +7y +5z = 0.

2

3

0

Ответ:

а)

x − 2

=

y +1

= z −3 ;

б)

x − 2

=

y +1

= z −3

;

в)

2

4

0

5

3

5

x − 2

=

y +1

= z −3 .

3

x

5

Задания для аудиторного занятия «Пределы. Непрерывность»

1. Найти пределы:

а) lim

3x2 + 8x −7

; б)

lim

10x2 + 7x + 8

; в) lim

4x3 + 7x +8

; г) lim

6x + 3

.

2x3 +

14x2

+ 9

7x +

4

x→∞

5x2 − 4

x→∞ 5x − 4x2 +13

x→∞

x→∞

Ответ: а) 0; б) -

5 ; в)

∞; г) 6

2

7

2. Найти

пределы:

а)

lim

3x2 −8x + 4

;

б)

lim

x2

− 2x +1

;

в)

x2

− 4

x3 −1

x2 −1

x→2

x→1

lim

.

2

x→−1 x2 − x −

а) lim

2x +1 −3

; б)

lim

14 − x − 4

;

в) lim

2x + 4 − 2

.

7

x

3

x − 4

−

−

x

(

)

x→4

x→−2

x→0

x −1

Ответ: а)

1 ; б)

3

; в)

− 1 .

3

4

2

5. Найти пределы: а)

lim

2x +1 x

lim

4x + 2 3x−1

3x + 2

; б)

2x −5

; в)

x→+∞

x→+∞

2

−1, x < 0

x

π

.

f (x)= cos x, 0 ≤ x ≤

2

π

π

−

, x >

x

2

2

1. Найти производные функций:

а) y = 3x2 −

2

+ 7

x3 − 4

1

; б) y = sin(3x −8); в) y = tg(5x2 + 6x);

3

x

3 x5

г) y = e−cos x ; д) y = sin(1− 2x) ln(1+

x ); е) y = arctg 1

cos2 7x ;

ln(1+ 2x2 )

x

ж) y = arcsin(1− x)

1− 4x2

; з) y =

; и) y =

ctg(5x + 4)

.

1− x

1− 4x

′

2. Найти y

а) 2xy3 − 4x = 7 ; б) 3x2y2 +

y

−5x = 0 ;

y2

x

в) cos(x − 2y)+ xy3 = 5 ; г) 6

xy2 −sin(x + y)−5y = 0.

3. Найти y′′

в) y = sin(3x2 +8); г) y = (x +1)cos4x .

а) y = e1−4x ; б) y = x2e7x ;

4. Найти дифференциал dy, если

1− x2

а) y = 1− 4x ; б) y = x2 ln(1−5x); в) y =

.

cos3x

а) lim

7x2

+ 8x

; б) lim

cos3x −1

; в)

lim

arctgx

.

2x2

x→∞13x2 − 4x

x→0

x→0 arcsin4x

7. Провести полное исследование функции и построить ее график

а) y = e2x−x2 ; б)

x2

.

2 − x

Ответ: а) y

(1)= e , точки перегиба M

2 − 2 ;

, M

2 + 2 ;

;

max

e

e

1

2

1

2

8. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и

вычислить

кривизну

линии

G

G

G

в

r = (t3 + t −1)i + (2t2 + 3t + 2)j + (t2

+1)k

точке t0 = 0.

Ответ:

x +1

=

y − 2

= z −1

- уравнение касательной,

x + 3y −5 = 0

-

1

3

0

в) z = y2 − 2x −1 sin xy ; г) u = xyz3 .

x3

2. Найти частные производные второго порядка

а) z = e3x2 y2 ; б) z = (x + y)2 + 3x ; в) z = ex−2y

+ arctg x .

y2

y

x

19,1

25,0

30,1

36,0

40,0

45,1

50,0

y

76,30

77,80

79,75

80,80

8,38

83,90

85,10

Содержание

Организационно-методические указания………………………………..

3

Контрольные вопросы курса “Высшая математика” ………………..…

3

Контрольная работа №1………………………….…………………………

5

Задание 1…………………………………………………………………..

5

Задание 2…………………………………………………………………..

6

Задание 3…………………………………………………………………..

7

Задание 4…………………………………………………………………..

8

Задание 5…………………………………………………………………..

11

Задание 6…………………………………………………………………..

14

Задание 7…………………………………………………………………..

16

Задание 8…………………………………………………………………..

16

Решение типового варианта контрольной работы №1………………..

18

Задание 1…………………………………………………………………..

18

Задание 2…………………………………………………………………..

21

Задание 3…………………………………………………………………..

23

Задание 4…………………………………………………………………..

24

Задание 5…………………………………………………………………..

25

Задание 6…………………………………………………………………..

27

Задание 7…………………………………………………………………..

28

Задание 8…………………………………………………………………..

28

Задания для аудиторного занятия «Определители. Матрицы.

Задания для аудиторного занятия «Аналитическая геометрия на

плоскости и в пространстве»………………………………………………

32

Задания для аудиторного занятия «Пределы. Непрерывность»……

33

Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное

исчисление функций одной переменой»………………………………...

34

Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное

исчисление функций нескольких переменных»………………………...

35

Литература……………………………………………………………………

37