ГОС математика / Мат. ан / 7,8,9

Вопрос 7. Исследование ф-и на экстремум. Задачи на наибольшее и наименьшее значения ф-и.

Опр:! ф-ия опред-на на множ-е Х, х₀Х назыв-ся точкой max(min), если-етокрестность (т.е. х₀ -δ; х₀ +δ)х( х₀ -δ; х₀+δ): f(x)<f(х₀) (f(x)>f(х₀)).Для обозначения max,min используется понятие экстремум.

Геом.смысл:

max-под касат-ой,

min-над касат-ой.

Опр: х₀ наз-ся критической точкой ф-ии f(x),если в этой точке произв-ая не-ет, либо если -ет, то обращается в 0.

Опр: критич-ая т.,в кот-ой произв-я =0,наз-ся стационарной т.

Th Ферма:

!ф-ия опред-на на некот-м промеж-ке Х, х₀Х, причем в т. х₀ y=f(x) принимает наиб-ее или наим-ее знач-ие. Тогда,если y=f(x)дифф-ма в т. х₀,то f ‘(х₀)=0

Док-во:

По условию f ‘(x) дифф-ма в т. х₀ => -ет lim=lim при ∆x 0 |=> -ет lim при ∆x 0 -0 и -ет lim при ∆x 0 +0,причем правост-ий предел = левостор-му.

!ф-ия f(x) в т. x₀ принимает наиб-ее знач-ие (для наим-го док-во аналог-но).

1)Оценим при ∆x 0 -0,т.к ф-ия ф т. x₀ принимает наиб-ее знач-ие, а ∆x<0(т.е x<x₀), то неполож-ое делим на неотриц-ое, поэтому 0 => lim 0

2)Рассм-им ∆x 0+0, 0 => lim0.

Из 1) и 2) =>что пределы совпадают и =0 => lim =0 при ∆x 0 => f ‘(x)=0

Геом.смысл: В некоторой точке на кривой имеющей абсциссу x₀ касательная ||-на оси ОХ

Th (необх.усл. сущес-ия экстремума)

! ф-ия имеет произв-ю в т. экстремума. Тогда эта производная=0.

Док-во:

Т.к по условию ф-ия дифф-ма, у нее-ет предел, то она опред-на в некот-ой окрестности т.экстремума х₀.Пусть х₀ точка max => по опред-ию max в некот-ой окрест-ти т. х₀ рассматр-ая ф-ия принимает наиб-ее знач-ие => по Th Ферма произв-ая рассматр-ой ф-ии обращается в 0 в т. х₀.■

Th (1-ое достат.усл. сущес-ия экстремума)

!ф-ия f(x) в окрест-ти (х₀ - δ; х₀ + δ) точки, за исключением, может быть т. х₀ имеет конечную произв-ю f ‘(x), обладает св-ом постоянства знака на промеж-ке (х₀ – δ) и (х₀ + δ). Возможны случаи:

1) f ‘(x)<0 при x<х₀, f ‘(x) >0 при x>x₀. По доказанной выше Th f(x) возрастает на (х₀; х₀+ δ),f(x) убыв-ет на (х₀+ δ; х₀). Т.о значение f(х₀) явл-ся наим-им в окрест-ти (х₀ - δ; х₀ + δ); х₀-точка min.

2) f '(x)>0 при x< х₀, f ‘(x)<0 при x> х₀.Тогда f(x) возр-ет при x< х₀, f(x) убыв-ет при x> х₀. Т.о значение f(х₀) явл-ся наиб-им в окрест-ти (х₀ - δ; х₀ + δ); х₀-точка max.

3) f ‘(x)>0 при x< х₀, f ‘(x)>0 при x> х₀.Тогда f(x) возр-ет при x< х₀, f(x) возр-ет при x> х₀. В этом случае вокрест-ти т. х₀ найдется точка х:f(x)<f(х₀) (для x< х₀) и точка х:f(x)>f(х₀)(для x> х₀) => х₀-не явл-ся точкой экстр-ма.

Вывод: Если при переходе через т. х₀ производная f ‘(x) меняет знак, то х₀-точка экстр-ма.

Если при переходе ч/з т. х₀ произв-ая f ‘(x) меняет знак с “–“ на “+”, то х₀-т.min.

Если произв-ая меняет знак с “+“ на “-”, то х₀-т.max.

Если произ-ая не меняет знак, то экстр-ма в т. х₀ не-ет. ■

Th (2-ое достат.усл. сущес-ия экстремума)

Пусть f ‘(x₀)=0, f “(х₀)≠ 0. Тогда, если f “(х₀)>0, то т.х₀- т.min, если f “(х₀)<0, то х₀- т.mах.

Док-во:

! х₀ явл-ся стац-ой точ.ф-ии f(x)(т.е. f ‘(x₀) =0);

f ‘‘(x₀). Возможны 2 сл:

1) f ‘‘(x₀) >0,

f ‘‘(x₀) =lim при ∆x0.

f ‘(x₀) =0, значит f ‘‘(x₀) = при ∆x0 =[x = x₀ +∆x]=lim>0 при x x₀ (по условию)

По св-ву предела ф-ии в точке при значениях х близких к x₀ >0,т.е -ет δ( x₀ - δ; x₀ + δ) => >0. Пусть x< x₀ => f ‘(x) <0 при x< x₀. Пусть x > x₀ => f ‘(x)>0 при x> x₀.

Т.о по 1дост.усл. x₀ -точка min. Аналогично показ-ся при <0 x₀ -max. ■

Нахождение наиб и наим значения.

!дана ф-ия f(x)-непрер.на [a;b],тогда по Th Вейерштрасса ф-ия достигает наиб и наим. значения.

План нахож-ия:

1.найти критич-е точки.

2. найти знач-ие мФ-ии в крит-их точках и на концах отрезка

3.из всех выбрать наиб. или наим.

[Th Вейерштрасса: если ф-ия непр-на на отрезке, то на этом отр-ке она достигает своих точных(верхних и нижних)границ]

Задача. Бак, имеющий вид прямоуг. парал-да с квадр. основанием, должен вмещать V литров жидкости. При какой стороне основания площадь пов-ти бака (без крышки) будет наим.?

1 этап. Составл. матем. модели. Оптимизируемая величина-площадь пов-ти бака S,т.к. в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наим. S зависит от измерений прямоуг. парал-да. Пусть независимая переменная х- сторона квадрата в основании бака, х>0. Если h-высота бака, то V=x2h, откуда находим h=V/x2. S=x2+4V/x2*х=x2+4V/x.

2 этап. Работа с составленной моделью.(f ‘(x), f ‘(x)=0, знаки производной, сравниваем)

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

ШКМ (эта Th есть, испол-ся для исслед-ия ф-ий и постр-ия графиков)

Колмогоров: вводится понятие критических точек, необходимое условие экстремума называется теоремой Ферма. Приводится признак max (знак меняется с + на -) и min (знак меняется с - на +). Есть правило отыскания наиб. и наим. знач. Для решения задач предлагается следующая схема:

1. перевести задачу на язык функций (выбрать х)

2. найти наиб, или наим. знач. этой функции на некот промежутке

3. выяснить, какой практический смысл имеет полученный результат.

Мордкович: опр. max и min ф-ии, стационарные, критич. точки. Теорема: Если функция имеет экстремум в точке, то в ней производная функции либо равна 0, либо не сущ-т Приводятся достаточные усл. экстремума (max, min, когда экстремума нет-если слева и справа от точки знаки производных одинаковы), алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы, наиб. и наим. знач. Теорема о том, что в точке min-наим. знач, а в точке max-наиб.

Схема решения задачи:

1. Составление мат. модели

2. Работа с составленной моделью

3. Ответ на вопрос задачи.

В шк уч-ке Мордковича материал более близок к курсу высшей мат-ки.

Вопрос 8. Первообразная и неопределенный интеграл.

Опр. Ф-ия F(x) задан-я на мн-ве Х и диф-мая на Х наз. первообразной для ф-ии f(x) на этом мн-ве, если F'(x)=f(x).

Пр. F(х)=х⁴/4-первооб-ая для ф-и f(x)=x³, т.к. F’(x)=(x⁴/4)=x³

У функции бесконечно много первообразных.

Теорема. Пусть F(х)- первооб-ая для ф-и f(х) на [a,b], тогда ф-я F(х)+C, где C=const так же будет первообразной для f(х) на [a,b].

Обратно: всякая первооб-ая для f(x) в указанном промежутке может быть представлена в виде F(x)+С, где C=const.

Т.е. все первооб-ые ф-ии f(х) отличаются друг от друга только постоянной.

Если для данной ф-и f(x) известна одна первооб-я F(x), то мн-во всех ее первообр-х представляется выражением F(x)+C, где C=const.

Опр Совокупность всех первообразных для ф-ции f(x) на (а;в) наз. неопред интегралом от ф-ции f(x).

Обозн. ∫f(х)dx. Т.е. ∫f(х)dx=F(x)+C. Произведение f(х)dx наз подинтегральным выражением, а ф-ия f(х) – подинтегральной ф-ей.

Геом смысл. Если построена какая-нибудь интегральная кривая, то все остальные интегральные кривые получаются из нее парал-м переносом вдоль оси Оу.

Восстановление ф-ции по её производной или нахождение неопр интегр по заданной подынтегр ф-ции наз. интегрированием.

Св-ва неопределенного интеграла.

(F(x)+C)’=F’(x)=f(x)

2. Диф-ал от неопред инт-ла=подъинтегральному выражению: d ∫f(x)dx=f(x)dx

#(∫f(x)dx)’dx=(F(x)+C)’dx=F’(x)dx=

=f(x)dx#

3. Неопред. Интеграл от диф-ла некот ф-ии равен сумме этой ф-ии и произв постоянной ∫F(x)dx=F(x)+C #∫F’(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C#

4. (линейность) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

# (∫kf(x)dx)'=kf(x) и (k∫f(x)dx)'=k(∫f(x)dx)'=kf(x) =>∫kf(x)dx=k∫f(x)dx#

5. (адьютивность) ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

#Аналог-но св.З#

Методы нахожд. неопр. интеграла

1. Метод подстановки (замена переменных).

Состоит в том, что при вычислении интеграла вместо u вводится новая переменная х, связанная с u зависимостью: u=φ(x).При этом φ(x) выбир так чтобы подынтегр ф-ция становилась более удобной для интегрирования.

Пусть u явл функцией от Х (u=), она монотонна и диф-ма. тогда справедлива формула

- формула замены переменных.

Заметим, что когда речь идет о ф-ле (1) естественно предполагается существование

Докажем формулу (1).

1)Вычислим производные

C одной стороны:

Т.к. du=φ’(x)dx

С другой стороны

d()’=f(u)du

Т.о. обе части ф-лы имеют один и тот же диф-ал, и поэтому выражают собой одно и то же семейство первообр для ф-ции f(u). Это и док-ет ф-лу в том смысле, что правая и левая части её могут отл между собой разве лишь на константу#

интеграл стоящий в левой части равенства (1) существует. Если интеграл существует, то

Пр-р

2. Интегрирование по частям.

Этот метод основан на св-ве дифференциала функции. В его основе лежит ф-ла вычисления дифференциала произведения 2х функций

Пусть u и v - дифференцируемые ф-ии от х. Тогда d(uv)=udv+vdu, откуда udv=d(uv)-vdu. Проинтегрировав обе части равенства, получим ∫udv=uv-∫vdu.

Пр-р ∫xe^x dx=[u=x, dv=e^x, du=dx, v=e^x]=xe^x-∫e^xdx= xe^x- e^x= e^x(x-1)

ШКМ: Понятие первообразной есть на всех уровнях обучения математики, но не дается термина неопределенного интеграла (только в углубленном изучении). Само понятие первообразной возникло из практики. Решение задач на нахождение пути по скорости, это задача и привела к возникновению понятия.

Вопрос 9. Определенный интеграл и его свойства.

Пусть ф-ия f(x) задана в некотором промежутке [a, b]. Разобьем этот промежуток на n произвольных частей x₀=a<x₁<x₂<…<x_i<x_i+1<…<x_n=b. В рез-те получим частичные отрезки [x_i, x_i+1]

Обозначим Δx_i – длина частичного отрезка. Наибольшую разность Δx_i=x_i+1-x_i (i=0, 1, …, n-1) будем обозначать λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [x_i, x_i+1] произвольную точку x=ξ_i, что x_i≤ξ_i≤x_i+1 и составим сумму . σ-частичная сумма.

Опр. Если существует конечный предел не зависящий от дробления отр [a,b] точками x_i и от выбора точек ξ_i, то этот предел наз-ся определенным интегралом от ф-ции y=f(x) причем на пром-ке [a,b]. И обозн.

Если такой предел сущ-т, то ф-я f(x) наз интегр-ая по Риману, а интеграл наз опред интегралом Римана.

Опред инт-л это предел, след-но это число.

!m_i и M_i соотв-но нижн и верх границы ф-ии f. s=сумма от i=0 до n-1 (m_i∆x_i), S=сумма от i=0 до n-1 (M_i∆x_i) – нижняя и верхняя инт-ая сумма Дарбу. Св-ва сумм Дарбу: 1)s<S независимо от разбиения, 2)при измельчении суммы Дарбу нижняя только увеличивается, верхняя только уменьшается 3)интегр сумма всегда распол-на м/у s и S

4)sup s=I_*-нижний интеграл Дарбу, inf S=I^*-верхний интеграл Дарбу. При их совпадении определенный интеграл сущ-ет. Например, для у=const.

Опр Крив. тапецией наз плоская фигур, сверху ограниченная гр функции y=f(x), такой что

f(x)с боковой ограничена прямыми х=а и х=, а основание лежит на оси ОХ.

Геометр.смысл Рассмотрим задачу об опр площади кр трапеции, ограниченной сверху кривой у=f(х), где f(х)- положит-ая непрер-ая ф-ия, заданная на отр[а, b]. Площадь этой трапеции была вычислена как предел, суммы , т.е. была получена формула . Мы видим, что этот интеграл сущ-ет, т. е. формула при этих условиях всегда имеет смысл Т.о. если f(х) — положительная, непр-ная на отр [a, b] ф-ия, то опр интеграл от этой ф-ии выражает собой площадь указанной выше кр трапеции. В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Необх усл инт-ти ф-ции: Если ф-ия f(x) интегрируема на отр [а, b], то она ограничена на этом отрезке.

Суммы Дарбу.

! f(x) ограничена на [a;b] и х_i – произвольное разбиение этого отрезка. Т.к ф.ограничена на отрезке, то она ограничена и на любом промежутке [x_i-1;x_i], а поэтому у ф-и f(x) существует точная нижняя грань m_i и точная верхняя грань M_i на промежутке [x_i-1;x_i].

Обозначение.

Введем понятия верхней и нижней сумм.

Опр. Суммы

и

будем называть соответственно нижней и верхней суммами ф-и f(x) для данного разбиения {x_i} отрезка [a;b].

s<S не зависимо от обстоятельств.

Свойства сумм Дарбу.

1) f(x) ограничена на [a;b] => s, S определены.

Док-во:

f – огр. => Е(f) – огр. =>(по т.) inf f(x) на [a;b]

s, S – определены.

2) при измельчении разбиения, нижняя интегральная сумма может только увеличиваться, а верхняя только уменьшаться.

Док-во: (для нижних сумм)

Разбиение τ s =

Разбиение

(inf совпали)

n – кол-во точек.

Сумма Дарбу зависит от количества точек

Нижняя сумма Дарбу будет увеличиваться. #

При стремлении разбиения к 0, кол-во точек в разбиении увел. (происходит из мельчайшего разбиения), тем самым нижняя сумма Дарбу увеличивается.

Свойства определенного интеграла.

1.

2.

3.

4.

5. f ≥0 на [a, b], a<b,то

6.Пусть f(x) и g(x) интегр на [a,b], f(x)≥g(x) для любого х из [a,b], тогда

7. Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a,b], a<b. Тогда:

8. Пусть f(x) интегр на [a,b], a<b. Причём выполняется нер-во: Тогда

Теорема о среднем:

Если f непрерывна на ,то такая, что =

Док-во:

Т. К. функция непрерывна на [a;b] то по 2 теореме ВШ она принимает свое наибольшее и наименьшее значения в М и m соответственно, т. е. справедливо тогда в силу св-ва 8 имеем

поделим нер-во почленно на

Пусть

тогда по 2 теореме БК такое что, следовательно

Пусть a>b, тогда применим теорему о среднем:

#

ШКМ: Интеграл вводится для непрерывной на ф-ии. В школе вопросы о существовании не встают. Вводится определение определенного интеграла, как предел интегральной суммы, свойства рассматриваются и приложения к вычислению площади криволинейной трапеции. Опр. Интеграл функции f на наз. приращение ее первообразной на этом отрезке и вводится обозначение . Из определения следует, что интеграл =F(b)-F(a)