Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
16
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
124.42 Кб
Скачать

Вопрос 19. Случайные события и их вероятности.

Опр. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие пространства элементарных событий (Ω). С каждым опытом (испытанием) со случайными исходами можно связать некоторое множество (пространство элементарных событий), состоящее из всех рассматриваемых исходов (элементарных событий) этого опыта.

Опр. случайное событие, связанное с некоторым опытом, происходит, если опыт завершился некоторыми определенными из рассматриваемых исходов.

Пр. подбрасывание кубика (опыт) –

Случайное событие (СС)– на верх. грани выпало четное число очков: произойдет при осуществлении одного из трех исходов (2,4,6), и не произойдет в случае исходов (1,3,5).

Опр. Первые три исхода называют благоприятными для события – «на верх. грани выпало четное число очков».

Случайное событие можно рассматривать как подмножество пространства эл.событий (ЭС), состоящее из благоприятных для него ЭС. В пр. состоит из 3х ЭС.

Опр. СС называется достоверным, если оно происходит при любом исходе опыта, таким образом, достоверное событие совпадает с пространством ЭС.

Опр. СС называется невозможным, если оно не происходит на при каком исходе опыта. Невозможное событие = пустое множество.

Из примера – достоверное событие - «на верхней грани выпало число очков, меньшее 7»;

Невозможное – … кратное 11.

Обозначения СС – лат. буквы А, В, С…

Опр. События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при каком исходе опыта.

Пр. кубик – «выпало четное число очков» и «простое число очков» - являются совместимыми, т.к. произойдут одновременно при исходе опыта «на верхней грани выпало 2 очка». Несовместные – «…число очков, кратное 3» и «…число очков, кратное 5».

Опр. События А,В,С,… называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны.

Опр. Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятных для А, к общему числу равновозможных исходов:

где m – число исходов, благоприятных для А, n – число всех равновозможных исходов.

Пр. вер-ть события «четное число на кубике» – 3/6=1/2

Аксиомы событий.

А1. Если множества А1,А2,… - события, то их объединение также является событием.

А2. Если множество А является событием, то его дополнение до Ω также является событием.

След.1. Ω является событием.

Опр. Событие Ω называется достоверным.

След.2. Если множества А1, А2,… - события, то их пересечение также является событием.

След.3. является событием.

Опр. Событие называется невозможным.

Опр. События А и В называются несовместными, если их пересечение равно .

Опр. События А1, А2, … называются попарно несовместными, если для любых i и j (i ≠ j) события Аi и Аj являются несовместными.

Аксиомы вероятности.

Р1. Для любого события А числа Р(А) неотрицательно.

Р2. Р(Ω) = 1.

Р3. Если события А1, А2, … попарно несовместны, то

Операции над событиями.

Опр. Суммой событий А и В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В.

«+» - событие произошло,

«-» - событие не произошло.

Операцию сложения событий можно задать таблицей.

А

В

А+В

+

+

+

+

-

+

-

+

+

-

-

-

Опр. Произведением событий А и В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события А и В.

А

В

А+В

+

+

+

+

-

-

-

+

-

-

-

-

Опр. События называются равными, если они происходят или не происходят одновременно.

Пр. Монета подбрасывается 2 раза. Событие А – при первом подбрасывании «орел», событие В - «орел».

А+В – «орел» выпал хотя бы один раз из двух,

А*В – «орел» выпал оба раза.

Опр. Условной вероятностью Р(В/А) события В при условии, что событие А произошло, называется число

Р(В/А)=Р(АВ)/Р(А), где Р(А)≠0.

Формул полной вероятности.

Пусть события Н12,…,Нn – попарно несовместны и Н12+…+Нn=Ω (т.е. в результате испытания осуществляется одно и только одно из событий Н12,…Нn), тогда для любого события А справедливо равенство

Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+Р(Н2)Р(А/Н2)+…+Р(Нn)Р(А/Нn)

Замечание: формула полной вероятности применяется в том случае, если условия задачи подразумевают два выбора: в результате одного происходит ровно одно из событий Н12,…,Нn - гипотезы, а в результате другого может произойти или не произойти событие А, причем его вероятность меняется в зависимости от того, какое из событий Н12,…,Нn осуществилось.

Пр. Имеются две урны с шарами. В 1й урне находятся 2 белых и 3 черных шара, а во второй – 2б и 3 красных шара. Из первой урны наугад извлекаются один шар и помещаются во вторую урну. После этого из второй урны наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым?

Решение. Возможны две гипотезы: Н1- из 1й урны во 2ю был положен белый шар и Н2 – из1й урны во2ю был переложен черный шар. Вероятность каждой из гипотез находим из условий задачи:

Р(Н1)=2/5, Р(Н2)=3/5 (по клас.опр.вер-ей).

Обозначим событие «из 2й урны извлечен белый шар» буквой А. Тогда, по ф-ле полной вероятности, причем условные вероятности находим из условия задачи: Р(А/Н1)=3/6=1/2 (во второй урне стало 6 шаров, из которых 3 - белые), Р(А/Н2)=2/6=1/3 (во второй урне из 6 шаров 2 - белые). Окончательно получаем Р(А)=2/5 * ½ + 3/5 * 1/3= 0,4.

Формула Байеса.

Пусть события Н12,…,Нn – попарно несовместны и Н12+…+Нn=Ω (т.е. в результате испытания осуществляется одно и только одно из событий Н12,…Нn), тогда для любого события Нi справедливо равенство

Пр. из предыдущего примера известно, что извлеченный из второй урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что переложенный из первой урны во вторую шар также был белым?

Решение. По ф-ле Байеса, из пред. примера имеем:

Заметим, что условная вероятность Р(Н1/В) (переложен белый шар при условии, что из второй урны извлечен черный шар) равна 0, т.к.соответствующее событие является невозможным.

Формула Бернулли.

Вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз при проведении n независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода: успех и неудачу – вычисляется по формуле:

где р – вероятность наступления события А в каждом испытании, q=1-р, k=0,1,…,n

Пр. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, последовательно с возвращением извлекаются 3 шара. Какова вероятность того, что среди них ровно 2 белых?

Решение. Опыт состоит в извлечении наугад одного шара из урны. Обозначим событие, заключающееся в появлении белого шара, буквой А. Т.к. шары каждый раз возвращаются в урну, то опыты независимы и вероятность З(А)=0,6. Число испытаний n=3, число успехов (появления белого шара) k=2. Вероятность неудачи (появление черного шара) q=1-0,6=0,4. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, то из трех извлеченных шаров ровно 2 окажутся белыми, равна

Вопрос 20. Дискретные случайные величины и законы их распределения.

Опр. Случайной величиной (СВ) называют числовую функцию, определенную на пространстве Элементарных событий (ЭС) Ω. Множество значений этой функции называют возможными значениями случайной величины.

Пр. При подбрасывании игральной кости случайной величины является число выпавших очков. Множество ее возможных значений состоит из чисел 1,2,3,4,5,6.

Обозначения. СВ - X,Y,Z.

Опр. СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений является конечными или счетными.

В примере СВ является дискретной, т.к.ее множество возможных значений конечны.

Пример ДСВ, имеющей счетное множество возможных зн-й, является кол-во подбрасываний монеты до первого появления «орла».

Опр. Законом распределения вероятностей случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Х

х1

х2

хn

Р

р1

р2

рn

Где хi - возможные значения СВ Х, а рi – соответствующие вероятности, причем Σ рi = 1

Опр. Пусть х1, х2,…, хn – значения СВ Х, а у1, у2,…, уn – значения СВ У. СВ Х и У называются независимыми, если для любых i и j выполняется равенство

Р (Х=хi;У= yj)=Р(Х=хi) * Р (У= yj).

Опр. Суммой СВ Х и У называют случайную величину Z=X+Y, значения которой равны различным числам хi+yj, а вероятность значения zk равна Σ Р(Х=хi;У= yj), где суммирование ведется по всем парам (i; j), для которых хi+yj= zk.

Пр.

СВ Х и У заданы таблицами распределения вероятностей

Х

0

1

2

Р

0,1

0,3

0,6

У

-2

-1

1

Р

0,5

0,4

0,1

Составить таблицу распределения вероятностей для суммы Z=X+Y, если Х и У – независимые СВ.

Решение. Найдем возможные значения СВ Z, для удобства составим таблицу сумм хi+yj:

хi\yj

-2

-1

1

0

-2

-1

1

1

-1

0

2

2

0

1

3

СВ Z принимает 6 различных значений: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Найдем соответствующие вероятности.

Р(Z=-2)=Р(Х=0; У= -2)

Т.к.по условию Х и У независимые, то Р(Х=0; У= -2)= Р(Х=0) * Р(У= -2) и, подставляя соответствующие вероятности из таблиц распределения вероятностей СВ Х и У, получаем:

Р(Z=-2)=Р(Х=0; У= -2)= Р(Х=0) * Р(У= -2) = 0,1 * 0,5=0,05

Т.к. значение -1 СВ Z=X+Y принимает в двух случаях, то Р(Z=-1)=Р(Х=0; У= -1)+ Р(Х=1; У= -2) = 0,1 * 0,4 + 0,3 * 0,5 =0,19

Ан-но находим вероятности остальных возможных зн-1 Х+У.

Сделаем проверку Σ рk = 0,05 + 0,19 + 0,42 + 0,25 + 0,03 + 0,06 = 1

Математическое ожидание.

Пусть дискретная СВ Х задана таблицей:

Х

х1

х2

хn

Р

р1

р2

рn

(1)

Опр. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется число M[x]=Σixipi.

Если множество возможных значений ДСВ бесконечно, то сумма в этом равенстве является рядом, от которого по определению требуется абсолютная сходимость.

Мат.ожидание ф-ии у=f(x) от СВ Х выражается формулой M[f(X)]=Σi=1 n f(xi )pi.

Опр. Дисперсией ДСВ Х, заданной таблицей, называется число , где m=M[X].

Дли дисперсии справедливо равенство:

, где m = M[X].

Опр. Средним квадратичным отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии

Свойства математического ожидания.

  1. М[C]=C, где С – постоянная величина.

  2. М[CХ]=CM[X], где С – постоянная величина.

  3. М[Х+У]= М[Х]+ М[У].

  4. Если Х и У – независимые случайные величины, то М[ХУ]= М[Х] * М[У].

Свойства дисперсии.

  1. D[C]=0, где С – постоянная величина.

  2. D[CX]=C2X, где С – постоянная величина.

  3. Если Х и У – независимые случайные величины, то D[Х+У]= D[Х] + D[У].

Пр. В первой урне находятся 1 белый и 3 черных шара, а во второй – 2 белых и 1 черный шар. Из каждой урны извлекли по шару. Найдите математическое ожидание числа белых шаров в выборке.

Решение. Пусть Х – число белых шаров в выборке.

Х1 – число белых шаров, извлеченных из первой урны. Х2 – из второй урны.

Тогда Х = Х1 + Х2. И, в силу св-ва 3 мат.ожидания М[Х]= М[Х1]+ М[Х2].

Закон распределения вероятностей СВ Х1:

Х1

0

1

Р

3/4

1/4

Следовательно, М[Х1]= ¼. Ан-но М[Х2]= 2/3.

Значит М[Х] = ¼ + 2/3 = 11/12

Основные законы распределения дискретных СВ.

  1. Биномиальный закон с параметрами n и p задается таблицей (1), где xi принимают целые значения от 0 до n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли.

СВ Х – число успехов в схеме Бернулли.

  1. Закон Пуассона с параметром λ задается таблицей (1), где xi принимают целые неотрицательные значения от 0 до ∞, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Пуассона , где k = 0,1,2,3,… Закон Пуассона, называемый также законом редких явлений, является предельной формой биномиального закона при р0 и n ∞.

  2. Геометрический закон с параметром р задается таблицей (1), где xi принимают все натуральные значения, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле pk = pq k-1, где q = 1-р

СВ Х – число испытаний до первого успеха в схеме Бернулли.

  1. гипергеометрический закон с параметрами N, n и m задается таблицей (1), где xi принимают целые значения от 0 до s = min(n;m), а соответствующие вероятности вычисляются по формуле

где k=0,1,2,…,s

Соседние файлы в папке Мат. ан