ГОС математика / Мат. ан / 16,17,18

Вопрос 16. Линейные ДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами.

ДУ 2 пор.имеет вид F(x;y;y’;y’’)=0

Опр. Общим решением ур-ия 2 порядка наз-ся ф-ция y=φ(x;c₁;c₂), которая при любых значениях c₁;c₂ является реш-ем этого ур-ия.

Опр. y’’+py’+qy=f(x) (2)-линейное неоднородное уравнение 2 пор., где p,q€R, f€C[a;b].

_{1.f≡0. Опр. (1) -линейное однородное ур-ие 2 порядка, где p, q – постоянные. Харак-ое ур-ие (1): (2), к - неизвестная.}

По теореме: общ.реш. (1) Ф.С.Р

Причем y₁, y₂ линейно независимы и _{линейный диф оператор}

Лемма 1: если к₀ – корень ур.(2), то ф-ия - решение ур.(1) (к₀ – любое, м.б компл.число).

Док – во: непосредственно проверить, найти первую и вторую произ-ые.

Лемма 2: Если u(x) + iv(x) решение ур.(1), то u(x) и v(x) тоже решение.

Док – во: подставить u(x) + iv(x) в (1) и получим что u(x) и v(x) яв-ся решением.

Теорема: Пусть к₁ к₂ корни ур.(2), ФСР: y=e^k1x, y=e^k2x, тогда на основании общей теории обык.ДУ общ. решение ур.(1) можно записать в виде:

• если к₁ к₂ R, к₁к_2, то

_{Пример. y’’-5y’+6y=0, y=c1e}^2x_+c2e^3x

• ФСР: y=e^kx, y=xe^kx если к₁ к₂ R, к₁=к_2, то

_{Пример. y’’-4y’+4y=0, y=e}^2x_(c1+c2x)

• ФСР: y=e^αxcosβx, y= y=e^αxsinβx, если , то

Пример:

Хар.ур.

частное решение

2.f≠0. Теорема. Общим решением ДУ(2) явл-ся ф-ция вида y=y₀+y*, где y₀-общее решение однор.ДУ(1), у*-какое-то частное реш-ие ур-ия(2).

у₀=с₁у₁+с₂у₂, у₁ и у₂-ФСР однор.ДУ, у*-?

у*= с₁(х)у₁+с₂(х)у₂

_{Находим} производные от y = с₁(х)у₁ и y= с₂(х)у₂

Составляем систему

c₁’y₁+c₂’y₂=0

c₁’y’₁+c₂’y’₂=f(x)

И далее решаем систему методом Крамера или Гаусса

Выражаем с₁’ и c₂’, находим с₁ и с₂, подставляем в у*.

у_{общее неоднородное}=у_{общее однородное}+у*.

На основании метода вариации постоянных выделены особые виды правых частей, благодаря которым решение ДУ можно найти быстрее.

Пример. _{y’’-5y’+6y=e}^2x_{, y=c1e}^2x_+c2e^3x_{-общее реш-ие однор.ДУ, ищем реш-ие неоднор.ДУ в виде y=c1(х)e}^2x_+c2(х)e^3x_.

c₁’e^2x+c₂’e^3x=0 (*3 и вычтем ур-ия) (*2 и вычтем ур-ия)

c₁’2e^2x+c₂’3e^3x=e^2x

c₁’e^2x=-e^2x, c₁’=-1, c₁=-x+c₃

- c₂’e^3x=-e^2x, c₂’=e^-x, c₂=-e^-x+c₄

у_{общее неоднородное}=(-x+c₃)e^2x+(-e^-x+c₄)e^3x.

Вопрос 17. Мощность множества. Счетные множества. Несчетность множества действительных чисел.

Множество – неопределяемое понятие

Опр. Под множеством будем понимать собрание, совокупность, некоторых предметов, объединенных по какую-то определенному признаку.

Опр. Множество {х} называется конечным, если кол-во его элементов можно выразить определенным числом. В противном случае оно бесконечно.

Опр. Если каждому эл-ту мн-ва А поставлен в соотв-ие один и только один элемент мн-ва В так, что каждый эл-т из В при этом окажется соответствующим одному и только одному эл-ту из А, то говорят что м/у эл-ми А и В установлено вз.однозначое соответствие.

Способы срав. конечных множ. Сравниваются по кол-ву элементов непосредственным пересчетом.

Пример.

Равное количество элементов.

Множество Х больше множ.Y на 2 элемента.

Способы срав. бесконечных множ. Пересчитать кол-во не можем. Сравнивают на основании установления соответствия м/у элементами.

Пример. N={1,2,3…,n…}, A={2,4,6,…2n…}

n <-> 2n -взаимно однозначное соответствие.

Опр. Мн-во счетное, если оно эквивалентно множ. N^-ых чисел.

Пример.

1. Мн-во квадратов натур.чисел- счетное мн-во.

2. Четные натур. числа – счетное мн-во.

Свойства счетных множеств.

Т. Объединение счетного и конечного множеств счетно.

Док-во:

1 2 3 4 5 … k … k+1 … n - мн-во нат.чисел

а₁ а₂ а₃ … а_k b₁ … b_n-k

А – конечный элемент

В – счетное

мн-во эквивалентно, взаимнооднозначное соответствие.

Т. мн-во счетно  когда его можно представит виде последовательности.

Док-во:

(=>) мн-во счетно => есть взимооднозначное соответствие м/у множествои нат.чисел и мн-м

=> все элементы множества представлены в виде посл-ти.

(<=) мно-во представимо виде посл-ти

=> каждому элементу ставится в соответствие его номер, тем самым взаимооднозначное соответствие установлено#

Т. разность конечного и счетного мн-в явл. счетным.

Т. конечное объединение счетных мн-в счетное.

Опр. Мощность-это то общее что имеют 2 множества, м/у которыми можно установить вз.однозн. соответствие.

Опр. Пусть Х и У два конечных мн-ва. Тогда назовем мн-ва Х и У равномощными, если они состоят из одинакового числа элементов.

Опр. Пусть Х и У произвольные мн-ва.

Х и У мн-ва наз. равномощными, если м/у эл-ми можно установить взаимно однозначное соответствие.

Обозначается: Х~Y.

Опр. Мн-во А наз-ся бесконечным, если в нем сущ. отличное от него подм-во равномощн. А, в противном случае А конечно.

Т. Мн-во всех Q^-ых чисел счетно.

Док-во:

Расположим Q^-ые числа в таблицу след. способом. В первой строчке расположим все целые числа в порядке возрастания их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное: 0,1,-1,2,…,n,-n,…, nN.

Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величины причем снова так, что за каждым числом поставлено ему противоположное: ½,-1/2,3/2,-3/2,… .вообще в n строчку поместим все несократимые дроби со знаменателем n, упорядоченные по их абсолютной величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк и столбцов.

Очевидно, что каждое рациональное число попадает на какое-то место в этой таблице. Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме:

В результате все Q^-ые числа оказываются занумерованными, т.е мн-во Q^-ых чисел счетно. #

Теорема: Множество действительных чисел R несчетно.

Возьмем на числовой прямой отр.[0,1] и докажем, что мн-во точек отрезка [0;1] несчетно.

# Предположим, что нам удалось занумеровать точки отрезка [0;1], т.е. записать их в виде некоторой последовательности. [0, x_1,x_2,…x_n,…,1].

Разделим [0;1] на 3 равные части и обозначим через Δ, ту часть которая не содержит т. х_1. (если мы получили 2 части не содержащие х_1, то обозначим за Δ любую из них.)

Разделим Δ на 3 равные части и выделим ту из них которая не содержит х₂ и обозначим за Δ₂.

Будем продолжать процесс не ограниченно. В результате получим сис-му отрезков Δ_1, Δ_2,... Δ_n, … вложенных в [0;1]. Эта сис-ма отрезков обладает св-ми:

1. Каждый следующий отрезок вложен в предыдущий.

2. Длина Δ_n :.

3. Точки .

И так: Из св-ва 1 и 2 следует что данная сис-ма отрезков явл. стягивающейся. Значит она имеет общую точку принадлежащую всем отрезкам сис-мы, обозначим ее за .

по 3 св-ву. Оказалось что - не занумированна. Противоречие. Значит [0;1] – несчетно.

А так как [0;1]~, то и множество несчетно. (Если подмножество множества несчетно, то все множество несчетно)

Опр. Мн-во точек [0;1] имеет мощность наз. мощностью континуума. Обознач. с.

Опр. Если множ. А ~[0.1], то говорят что оно имеет мощность континуума.

Опр. Всякое бескон. множ. наз-ся несчетным, если оно не равномощно множ. N^-ых чисел.

Опр. Мощность множ. А > мощности множ. В, если :

1. А не ~ В,

2. сущ А₁ содерж-ся в А, что А₁~ B, обозначается |A|>|B|, ~ означает равномощность.

Вопрос 18. Ограниченные и неограниченные множества и функции.

Опр.Числовым множеством наз. любое множество элементами, которого яв-ся действительные числа.

Примеры: 1).числовой отрезок – это множество чисел х удовлетворяющих неравенству , a, b концы отр.АВ, они принадлеж.этому мн-ву. 2). Числовой интервал (a, b) мн-во чисел, удовлетвор.нер-ву , где a, b не принадлеж.интервалу.

Опр. Числовое множество Х наз. ограниченным сверху, если сущ-ет такое число b, что выполняется рав-во .При этом b наз. верхней границей.

Опр. Мн-во Х наз.огранич.снизу, если сущ-ет такое число b, что . Число b наз. нижней границей.

Опр. Если мн-во Х огранич.сверху и снизу, то оно наз.ограниченным. Мн-во Х ограничено тогда и только тогда, когда сущ-ет отр.Х, такой что b₁ – одна из ниж.границ, b₂ – вер.границ.

Опр. Мн-во не яв-ся огранич.наз.неограниченным.

Мн-во натур.чисел огранич.снизу, но неогранич.сверху. Наименьш.эл-ом яв-ся единица. Мн-во целых чисел неогранич.ни сверху ни снизу.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x². Примером функции, ограниченной сверху на мн-ве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.

Переводим все на функции.

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.   В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀ , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀.

Св-ва б.б.ф.

1. Пусть f (x) бесконечно большая функция при x→ x₀, a g (x) такая функция,что g(x)>h >0в некоторой δ- окрестности точки х₀. Тогда f (x)·g(x) – бесконечно большая функция:

Доказательство. Так как

,

то ( K > 0) ( δ₁ = δ₁(K) > 0)( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x)| >K/h .

где h - то число, для которого g ( x) > h > 0 (при условии  0 < | x–x₀ | < δ₁ ). В этом случае в этой окрестности имеем

| f (x)·g (x) | = | f (x) |·| g (x) | > h·K / h = K.

Последнее неравенство означает

.

2.Пусть f (x)бесконечно большая функция при x → х₀, а g (x)-функция, ограниченная в некоторой окрестности точки х₀.Тогда f (x)+ g (x) бесконечно большая функция, то есть

.

Доказательство.Так как

 ,

То ( N > 0) ( δ₁ = δ₁(N) > 0)( 0 < | x – x₀| < δ₁ ) : | f (x)| > N + M .

Так как g (x) ограничена, то

( M > 0) ( δ₂ = δ₂(N) > 0)( 0 < | x – x₀ | < δ₂ ) : | g (x)| < M .

Если считать, что δ = min{δ₁,δ₂}, то справедливо неравенство

| f(x) + g(x) | > | f(x) | − | g(x) | > N + M − M = N,

что и требовалось доказать.