2. Различные случаи решения злп с двумя переменными

При геометрическом решении ЗЛП возможны следующие случаи:

1. Опорная прямая соприкасается с областью М в единственной точке. Тогда ЗЛП имеет единственное оптимальное решениеиmin.

2. Опорная прямая имеет с областью М общий отрезок прямой. Тогда ЗЛП имеет бесконечное множество решений иmin.

3. Область М – неограниченная сверху (справа), и при уменьшении линия уровня движется вверх (вправо). Следовательно, уровень функцииможет уменьшаться сколько угодно иmin. Это означает, что ЗЛП не имеет оптимального решения. Задача не будет иметь решения и в случае.

Пример 1. Дать геометрическое истолкование и решить упражнение 2 к §1.

Решение. Область ограничений в упражнении может быть задана в стандартной форме:

Среди неотрицательных решений этой системы неравенств нужно найти такое, которое минимизирует функцию .

Выбрав систему координат , построим область ограничений (Рис. 3.7). Возьмем линию уровня, тогда. Векторпоказывает, что при увеличениилиния уровнядвижется влево и вниз, и первое прикосновение, как видно из рис.3. 7,

Рис. 3. 7

с областью М произойдет в точке пересечения прямых и .Это точка . Значит оптимальным решением является решениеиmin.

В исходной задаче требовалось найти max. Как было отмечено ранее, оптимальное решение будет таким же, поэтомуmax=.

2. Рассмотрим ЗЛП с той же системой ограничений:

но с другой целевой функцией . Требуется найти допустимое решение системы неравенств, которое минимизирует эту функцию.

Линии уровня функции параллельны прямой. Поэтому опорная прямаяпройдет по границе области ограничений М (по отрезку прямой), т.е. оптимальных решений у этой задачи бесконечное множество. Одно из них, иmin.

Пример 3. Найти неотрицательное решение системы неравенств:

и минимизирующее линейную функцию .

Область допустимых решений ограничена тремя прямыми L, L и L, определяющими полуплоскости решений первых трех неравенств и является неограниченной сверху и справа. Линия уровня при уменьшенииk будет перемещаться вправо, а, значит, minи данная задача оптимального решения не имеет.

Рис. 3. 8

Мы видим, что геометрическое истолкование ЗЛП приводит к ее решению. Из рассмотренных примеров видно, что если ЗЛП имеет оптимальное решение при n=2, то одним из ее оптимальных решений являются координаты вершины (угловой точки) многоугольника допустимых решений системы ограничений задачи, в которой целевая функция имеет экстремум.

Таким же образом можно решить ЗЛП в канонической форме, в которой число переменных n больше количества уравнений m на 2. Тогда можно выбрать две переменные, остальные переменные и целевую функцию выразить из уравнений (как в примере с задачей 1 из §1) через них, затем решить графически ЗЛП с двумя переменными.

Аналогично можно истолковывать решение ЗЛП при большем числе переменных. При количестве переменных n=3 множество допустимых решений системы ограничений задачи геометрически представляет многогранную неограниченную выпуклую область или выпуклый многогранник, и одним из оптимальных решений задачи, если они существуют, будут координаты вершины (угловой точки) этого выпуклого многогранника (или многогранной области), в которой достигается экстремум целевой функции. При n>3 может быть сохранена геометрическая терминология, но решать ЗЛП графически уже невозможно.