Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

cos 7x - cos 3x = -2sin

7x − 3x

× sin

7x + 3x

= -2sin 2x × sin 5x , получим

= lim

2sin2 x

= ,

- 2sin 2x sin 5x

x→0

представляем дробь в виде произведения

sin2 x

= lim

1× 2x ×

sin 2x

x→0

sin 5x

предел произведения равен произведению пределов

sin x 2

= lim

× lim

= ,

sin 2x

sin 5x

x→0

sin x

= 1, lim

= 1,

Учтем

то,

что

lim

=1,

lim

получим

x→0

sin 2x

x→0

sin 5x

равенство исходного предела −

1 − cos 2x

Ответ: lim

= −

x→0

cos 7x − cos3x

Пример 2.34. Вычислите предел функции lim

sin 3x

x→0 (arcsin x)2 ctgx

Решение. lim

sin 3x

x→0

(arcsin x)2 ctgx

при x → 0 числитель дроби – бесконечно малая функция, а знаменатель представляет собой произведение бесконечно малой функции на бесконечно

большую ( y = ctgx –			бесконечно большая функция при x → 0 ), заменим
ctgx =	1
ctgx =	tgx
	tgx
. = lim		sin 3x ×tgx	= ,
. = lim		(arcsin x)2	= ,
	x→0	(arcsin x)2

теперь при подстановке получим неопределенность вида ,0

представим дробь в виде произведения

= lim

x→0

= lim

x→0

sin 3x ×

tgx

3x × x

(arcsin x)

sin 3x ×

tgx

×3 ×

(arcsin x)

применяем свойства пределов функций, следствия первого замечательного предела, получаем, предел равен 3 .

Ответ: lim	sin 3x	= 3.
	(arcsin x)2 ctgx
x→0

Пример 2.35. Вычислите предел функции lim 2xsin x . x→0 1 - cos x

Решение.

Выражение под знаком предела является отношением двух бесконечно

малых величин, имеем неопределенность вида .0

Применим формулу повышения степени 1 - cos x = 2sin2 x ,

имеем,

lim

2x sin x

= lim

xsin x

x→0

2sin

x→0

sin

2 x

умножим и числитель, и знаменатель на

sin x × x ×

lim

2 x

x→0

sin

перегруппировываем множители

sin x ×

= lim

2 x

→0

×sin

представляем в виде произведения

sin x

= lim

x→0

sin

2 x

применяем свойства пределов функций, следствия первого

замечательного предела, получаем предел равен 4 ×1×1 = 4 .

Ответ: lim

2x sin x

= 4 .

x→0 1 - cos x

Пример 2.36. Вычислите предел функции lim

1 − cos x

x→0

tg2 x

при x = 0 ,

Решение. Вычислим

значения

числителя и

знаменателя

получим

нули,

то

есть,

имеем

неопределенность типа

Применим

формулы 1 - cos x = 2sin

2 x

, tg

x =

sin2 x

получим

cos

(cos

1 - cos x

sin

lim

= lim

tg2

sin2 x

x→0

умножим и числитель, и знаменатель на

sin

(cos

x)×

= lim

= ,

(sin2 x)

x→0

представим выражение в виде произведения дробей

2 x

2 sin

(cos

x)×

sin

(cos

x)×

(sin2 x)

(

sin2 x

)

sin

(cos2 x)×

(sin

тогда

x 2

sin

(cos

x)×

= lim

= ,

x→0

sin x

используем свойства пределов функций, первый замечательный предел

и его следствия, тогда предел равен

1 − cos x

Ответ: lim

x→0

tg2 x

Неопределенность вида 1∞

Второй замечательный предел

lim(1 + x)

= e

(2.51)

x®0

ln (1 + x)

(2.52)

loga (1 + x)

(2.53)

lim

= 1

lim

ln a

x→0

lim

ax −1

= ln a

(2.54)

lim

ex −1

= 1

(2.55)

x→0

x→0 x

(1 + x)p -1

-1

(2.56)

1 + x

(2.57)

lim

= p

lim

x→0

Пример 2.37. Вычислите предел функции lim (1 + 6x)x

x®0

Решение.

lim (1 +

6x)

= ,

x®0

предел

основания

показатель

– бесконечно большая

функция

получаем неопределенность

вида

1¥

, представим показатель

степени в

виде

× 24 , тогда

×24

+ 6x)

= ,

= lim (1 + 6x)6 x

= lim (1

6 x

x®0

предел основания степени e , показатель 24 , поэтому предел равен e24 .

Ответ: lim (1 + 6x)

= e24 .

x®0

Пример 2.38. Вычислите предел функции lim (1 + 2x) x .

x®0

Решение. lim (1 + 2x)x = ,

x®0

вычислим пределы показателя

lim (1 + 2x) = 1,

x®0

и основания степени

lim 1 = ∞ .

x®0 x

Тем самым имеем неопределенность вида 1∞ , для того чтобы раскрыть

эту неопределенность будем использовать второй замечательный предел для этого преобразуем показатель степени

1 2

= lim (1 + 2x)x ×2 =

x®0

=lim (1 + 2x) 1 2

2 x

x®0

учитывая

lim (1 + 2x)

= e , получаем, что предел равен e2 .

2 x

x®0

Ответ: lim(1 + 2x)

= e2 .

x®0

Пример 2.39. Вычислите предел функции lim (

4x − 7)

x2 -4

x®2

Решение

Найдем пределы основания

lim (4x − 7) = 1

x®2

и показателя степени: показатель –

дробь, предел числителя 2 , а

знаменателя ноль, следовательно, предел дроби ∞ .

lim

= ∞ .

x®2 x2 −

Получаем неопределенность типа

∞

, преобразовав выражение под

знаком предела, раскроем неопределенность.

Сделаем замену переменного t = x − 2 , тогда x = t + 2 , t → 0 ,

преобразуем основание степени 4x - 7 = 4(t + 2) - 7 = 4t +1,

показатель степени

x	=		t + 2			=			t + 2	=	t + 2
x2 - 4	=	(t + 2)2 - 4				=	(t + 2 - 2) ×(t + 2 + 2)			=	t ×(t + 4)
lim (4x - 7)			x		(4t +1)			t +2
				= lim					=
			x2 -4	= lim				t(t +4)	=
x®2				t®0

будем использовать второй замечательный предел, поэтому преобразуем

выражение

t +2

(4t +1) t(t +4) =

показатель степени домножим на 4 × 1 4

= (4t + 1)	1 4(t +2)			= ,
	4t		(t +4)

преобразуем выражение используя свойства степеней

4(t +2)

(t +4)

= (4t +1)

Подставим

4(t +2)

(t +4)

= lim

(4t

t®0

4(t + 2)

предел основания

lim (4t +

= e , предел показателя

lim

= 2 ,

(t + 4)

t®0

тогда

(

)

4 t

(t +4)

= lim

1) 4t

= e

(4t

t®0

Ответ: lim(4x - 7)

= e2 .

x2 −4

x→2

Пример 2.40. Вычислите предел функции lim(2x -1)

x2 −1

x→1

Решение.

Вычислим предел основания степени lim(2x -1) =1, показателя степени

x®1

lim

= ¥ ,

так

как в

числителе предел функции

равен единице,

а в

x®1 x2 -1

x → 1 .

знаменателе

бесконечно

малая

функция

при

Раскрываем

неопределённость 1¥ .

Сделаем замену переменного t = x −1, x = t + 1, при x →1, t → 0 . Тогда

t +1

1×

t +1

+2t

(

)

(

)

lim(2x -1)

t +2 t

t +2

= lim(2t +1)

= lim(2t

+1)

= .

x2 -1

x®1

t®0

домножим показатель степени на

× 2 ,

(t +1)

×2×

t +2

= lim(1 + 2t ) 2t

t®0

тогда, применив свойства степеней, получим

		1
		1
= lim	(1 + 2t ) 2t
t®0

2(t +1)

t +2

предел основания lim (1 + 2t ) 2t = e ,

t®0

предел показателя lim

2(t +1)

=1,

t + 2

t®0

тогда исходный предел равен e1 = e .

Ответ: lim(2x − 1)

= e .

x2 -1

x®1

2x -1

-1

Пример 2.41. Вычислите предел функции lim

x®1

2x -1

-1

Решение. lim

x®1

Вычислим пределы основания

lim

2x −1

x®1

и показателя степени

lim

= ¥

x®1 3 x -1

получаем неопределенность вида

1¥

, преобразуем основание степени

=1 +

-1

2x -1

=1 +

x -1

x −1

и показатель степени

(

-1)

( 3

-1)

, подставим

x -1

x-1

x -1

(

)

= lim

1 +

x-1 x × 3 x -1

= ,используем свойства степеней

x®1

x-1

×(

-1)

x -1

x-1

= lim

1 +

= ,

x®1

x -

x−1

= e .

предел основания степени lim

x→1

Предел показателя

lim

x −1

x®1 x( 3 x -

домножим на неполный квадрат суммы и

(x − 1)( 3

+ 3

+ 1)

= lim

− 1)( 3 x2

+ 3

x®1 x( 3

используем формулу суммы кубов

										88

	(x -1)( 3			x2 + 3					+1)
= lim	(x -1)( 3			x2 + 3				x	+1)	=
= lim			x(x -1)							=
x®1			x(x -1)
сократим и подставим
			+ 3			+ 1	= 3 , тогда исходный предел равен e3 .
		x2
= lim	3	x2			x
= lim			x
x®1			x

Ответ:		2x −1
	lim
	lim
	x®1	x

3 x -1 = e3 .

x®0

(

)

Пример 2.42. Вычислите предел функции lim cos x

x .

x®0 (

)

Решение. lim cos

вычислим предел основания степени lim(cos

) = 1

x®0

и предел показателя lim

= ∞ ,

x®0

поэтому раскрываем неопределенность 1¥

применим формулу повышения степени cos

= 1 − 2sin2

= lim 1

- 2sin2

= ,

x®0

домножим показатель степени на

× -2sin2

-2sin

× -2 sin2

-2 sin2

= lim 1

- 2sin2

= ,

x®0

преобразуем показатель степени

						1
						1
					x
= lim		- 2sin	2			-2sin2		x


	1						2
x®0				2			2
x®0

-2sin2 x 2

= .

				1
			x
				-2 sin2		x


Найдем предел основания lim 1	- 2sin2				2
Найдем предел основания lim 1	- 2sin2				2
x®0		2
		2

= e ,

	- 2sin2	x				- 2sin2					x
													1
предел показателя lim		2	= lim							2		= -		,
		2								2
											2
x→0	x			x→0					x				2
							4 ×
							4 ×	2
								2
поэтому исходный предел равен e−			1	=	1
							.
			2
			2

x→0	(				)	1			e
Ответ: lim		cos					=	1		.
				x x						.
				x x
				Неопределенность вида [¥ - ¥]
Неопределенность							вида					[¥ - ¥] , получающаяся				в		результате
алгебраической суммы двух дробей, устраняется или сводится к виду																			0


																			0
путем приведения дробей к общему знаменателю.
													3		-	2
Пример 2.43. Вычислите предел функции lim																		.
Пример 2.43. Вычислите предел функции lim													1 - x	3		1 - x	2	.
												x→1	1 - x			1 - x
			3					2
Решение. lim							-					=
Решение. lim			1 - x			3	-	1 - x			2	=
	x→1		1 - x					1 - x

Знаменатели обеих дробей – бесконечно малые функции, следовательно, каждая дробь бесконечно большая функция при x → 1 , тогда раскрываем неопределенность вида [¥ - ¥] ,

разложим знаменатели на множители

		3				2
= lim		3	-			2		= ,

		(1 - x)(1 + x + x2 )		(1	- x)(1
x→1		(1 - x)(1 + x + x2 )		(1	- x)(1		+ x)
приведем дроби к общему знаменателю
= lim		3 + 3x - 2 - 2x - 2x2			=,
= lim	(1 - x)(1 + x + x2 )(1		+ x)		=,
x→1	(1 - x)(1 + x + x2 )(1		+ x)
приведем подобные
= lim		- 2x2 + x +1				=,
= lim	(1 - x) ×(1 + x + x2 )(1 + x)					=,
x→1	(1 - x) ×(1 + x + x2 )(1 + x)

подставим

предельное

значение

переменного,

получим

неопределенность

вида

раскладываем числитель

на

множители и,

сократив, подставим вновь

= lim

(1 - x)(1 + 2x)

= lim

(1 + 2x)

( -

)

×( +

)

(

)

( +

)( +

)

3 × 2 2

x→1 1

Ответ: lim

1 - x

x→1 1 - x

Неопределенность типа [0 × ¥]

сводится либо к неопределенности вида ¥ , либо к неопределенности

вида путем преобразования произведения в частное, то есть один из

множителей можно представить в виде A =	1	в зависимости какой из
множителей можно представить в виде A =	1	в зависимости какой из
	1
	A

множителей

так

представим,

получим

одну

из

возможных

неопределенностей.

Пусть lim f ( x) = 0 , lim g ( x) = ¥ .

x→a

Тогда

( x)

lim f ( x) g ( x) = [0 × ¥] = lim

1g ( x)

x→a

или

( x)

lim f ( x) g ( x)

= [0 × ¥] = lim

1 f ( x)

x→a


Пример 2.44. Вычислите предел функции lim		(1 - x) × tg π x .
	x→1	2	π
Решение. Подставим значение x = 1,	получим (1 -1) ×tg		π		= 0 × ¥	, то
Решение. Подставим значение x = 1,	получим (1 -1) ×tg				= 0 × ¥	, то
	[0 × ¥] ,			2
есть, раскрываем неопределенность вида	[0 × ¥] ,	для этого сделаем замену

переменного

1 − x = t , x = 1 − t , t → 0 , получим

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.202574.24 Кб0polozhenie_o_kontrolnyh_rabotah.doc
#
01.07.2025128.51 Кб3Polozhenie_o_kursovoy_rabote.doc
#
12.03.2015292.52 Кб13Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб36polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб23portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб20posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
01.07.2025618.51 Кб0Poyasnitelnaya_zapiska.docx
#
01.07.20255.63 Mб0pp04.docx
#
01.03.202565.86 Кб2PPU (1).docx
#
28.08.201980.38 Кб15Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб50Prakticheskoe_5_Udarenie.doc