posobie_Predel_funktsii_1

61

Определение 2.6. Функция называется бесконечно малой при

x → ∞ ,

если для любой сходящейся к a последовательности

{ xn}

{ xn}

последовательность

{

f ( xn )}

является бесконечно

малой. Предел

бесконечно малой функции

f

при

x , стремящемся к

a , равен нулю

lim

f ( x) = 0 .

x→+∞

Определение 2.8. Функция называется бесконечно малой при x → −∞ ,

если

для любой отрицательной бесконечно большой последовательности

{ xn}

последовательность

{ f ( xn )}

является бесконечно

малой. Предел

бесконечно малой функции

f

при

x , стремящемся к

−∞ , равен нулю

lim

f ( x) = 0 .

x→−∞

последовательность

{ f ( xn )}

является бесконечно

большой. Бесконечно

большая функция

f

при x ,

стремящемся к a , расходится к бесконечности,

при этом записывают lim f ( x) = ∞ .

x→a

Определение 2.10. Положительная в некоторой окрестности точки a

функция называется

бесконечно большой

при x → a , если для

любой

сходящейся к

a

последовательности

{ xn} ,

такой что

xn ¹ a ,

lim ex = 0

(2.15)

lim ex = +∞

(2.16)

x→−∞

x→+∞

lim ax

= 0 , a > 1

(2.17)

lim ax

= +∞

a > 1

(2.18)

x→−∞

x→+∞

lim ax

= 0 , 0 < a < 1

(2.19)

lim ax

= +∞ , 0 < a < 1

(2.20)

x→+∞

x→−∞

lim xα = 0 , α > 0

(2.21)

lim xα = ∞ , α < 0

(2.22)

x→0

x→0

lim xα

= 0 , α < 0

(2.23)

lim xα = ∞ ,

α > 0

(2.24)

x→±∞

x→∞

limln x = 0

(2.25)

lim ln x = +∞

(2.26)

x→1

x→+∞

lim ln x = −∞

(2.27)

x→0+0

lim loga x = 0

a > 1

(2.28)

lim loga x = −∞

a > 1

(2.29)

x→1

x→0+0

lim loga x = 0

0 < a < 1

(2.30)

lim loga x = +∞

0 < a < 1

(2.31)

x→1

x→0+

lim tg x = 0

(2.32)

lim tg x = +∞

(2.33)

x→

π

−0

x→0

2

lim tg x = −∞

(2.34)

x→π +0

2

lim ctg x = 0

(2.35)

lim ctg x = +∞

(2.36)

x→

π

2

x→0+0

lim ctg x = −∞

(2.37)

x→0−0

lim arcctgx = 0

(2.38)

lim arcctgx = π

(2.39)

x→+∞

x→−∞

lim arctg x = − π

(2.40)

lim arctg x = π

(2.41)

x→−∞

2

x→+∞

2

Пример 2.10. Вычислите предел функции lim

3x + 2

.

x→3 2x - 6

Решение. Применяя свойство (2.1) , вычислим пределы числителя

lim(3x + 2) = 3lim x + 2 = 3 ×3 + 2 =11

x→3

x→3

и знаменателя

lim(2x - 6) = 2lim x - 6 = 2 ×3 - 6 = 0 , тогда знаменатель бесконечно

x→3

x→3

малая при x → 3

функция, на основании свойств бесконечно малых и

P ( x) = x2 − 5x + 6 - корень многочлена x = 2 , по теореме Виета x × x = 6 ,

тогдаx = 3 , получаем разложение на множители

1

2

x2 − 5x + 6 = ( x − 2)( x − 3) ,

в знаменателе вынесем общий множитель x2 - 2x = ( x - 2) x ,

подставляем полученные разложения

= lim ( x - 2)( x - 3)

= ,

x→2

x ( x - 2)

сократим и подставим еще раз x = 2

lim ( x - 3) = -1 .

x→2

x

2

Ответ: lim

x2 - 5x + 6

= -

1

.

x→2

x2 - 2x

2

Пример 2.12. lim

x2 - 5x + 6

-12x + 20

Решение.

x→2 x2

Вычислим пределы числителя и знаменателя, подставим значение x = 2

в числитель и знаменатель, получим

22 - 5 × 2 + 6 = 0 ,

22 -12 × 2 + 20 = 0 , то

есть, раскрываем неопределенность

вида

0

, для

этого раскладываем

0

уравнение x2 - 5x + 6 = 0 имеет один корень x = 2 , тогда второй корень

1

x1 × x2 = 6

x2 = 3 ,

найдем из условия, что произведение корней равно

аналогично уравнение x2 -12x + 20 = 0 имеет корни

x = 2 и

x =10

1

2

( x × x = 20) , тогда x2 - 5x + 6 = ( x - 2)( x - 3) , x2 -12x + 20 = ( x - 2)( x -10).

1

2

Подставим полученные разложения

= lim

(x − 2)(x − 3)

=,

x→2 (x - 2)(x -10)

сократим на ( x - 2), так как x - 2 ¹ 0 при x ® 2

= lim

x − 3

=, подставим x = 2

x→2 x -10

=

2 − 3

=

−1

=

1

.

2 -10

-8 8

Ответ: lim

x2 - 5x + 6

=

1

.

x→2 x2 -12x + 20 8

lim

x2

+ 4x + 3

Пример 2.13. Вычислите предел функции

.

x→−1

x3 + 1

x2

+ 4x + 3

0

lim

=

= ,

x

3

+ 1

x→−1

0

тогда

x2 + 4x + 3 = ( x +1)( x + 3) ,

а

для

многочлена

в

знаменателе

воспользуемся формулой суммы кубов x3 +1 = ( x +1)(x2 - x +1)

= lim

( x + 1)( x + 3)

= ,

(

)(

)

x→−1

x + 1

x2 − x + 1

сократим

= lim

x + 3

= ,

x→−1

x2 − x + 1

подставим x = −1 получим

2

.

3

Ответ:

lim

x2 + 4x + 3

=

2

.

x→−1

x3 + 1

3

Пример 2.14. Вычислите предел функции lim

x5

-1

-1

x→1 x7

Решение. lim

x5 -1

=

x→1 x7 -1

x = 1

Подставим

предельное

значение

в числитель

и

знаменатель,

получим

отношение

бесконечно

малых функций, то есть,

раскрываем

0

неопределенность

.

0

Для разложения на множители применим формулу

an - bn

= (a - b) ×(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + abn−2 + bn−1 ).

= lim

( x -1)(x4 + x3 + x2 + x +1)

,

+ x5 + x4 + x3 + x2 + x +1)

x→1 ( x -1)(x6

66

= lim

x4

+ x3

+ x2 + x + 1

= ,

+ x4

+ x3 + x2 + x + 1

x→1 x6 + x5

подставим x = 1 и получим

5

.

7

Ответ: lim

x5 −1

=

5

.

7

x→1 x7 −1

Пример 2.15. Вычислите предел функции

lim

x3 − 2x2 + 16

.

x→−2 x4 + x3 − x −10

Решение.

lim

x3 − 2x2 + 16

= ,

x→−2 x4 + x3 − x −10

значение x = −2 , получим

0

,

подставим

неопределенность

вида

0

−

x3

− 2x2 + 0x + 16

| x + 2

x3

+ 2x2

x2 − 4x + 8

x4

x3

x2

x1

x0

1

1

0

−1

−10

−2

1

−1

2

−5

x3

x2

x1

x0

= lim

( x + 2)(x2 − 4x + 8)

=

( x + 2)(x3 − x2 + 2x −

5)

x→−2

= lim

x2 − 4x + 8

=

20

= −

20

.

− 21

x→−2 x3 − x2 + 2x − 5

21

Ответ:

lim

x3 − 2x2 + 16

= −

20

.

x→−2 x4 + x3 − x −10

21

x3

+ 5x

2 + 3x − 9

Пример 2.16. Вычислите предел функции

lim

.

− 3x2

x→−3 x3

− 45x − 81

lim

(

x3

+ 5x2

+ 3x − 9

)

= 0 ,

lim

(

x3 − 3x2 − 45x − 81 = 0 .

x→−3

x→−3

)

Поэтому получаем

неопределенность

0

. Разделим числитель и

знаменатель на ( x + 3) .

0

−

x3

+ 5x2 + 3x − 9

x + 3

−

x3

− 3x2

− 45x − 81

x + 3

x3

+ 3x2

x2

+ 2x − 3

x3

+ 3x2

x2 − 6x − 27

−

2x2 + 3x

−

−6x2

− 45x

2x2 + 6x

−6x2

−18x

− 9

−−3x

−−27x − 81

−3x − 9

−27x − 81

0

0

отсюда

x3 + 5x2 + 3x − 9 = ( x + 3)(x2 + 2x − 3)

и

x3 − 3x2 − 45x − 81 = ( x + 3)(x2 − 6x − 27),

тогда

( x + 3)(x2 + 2x − 3)

lim

= ,

+ 3)(x

2 − 6x − 27)

x→−3 ( x

сократим

= lim

x2 + 2x − 3

=

x→−3 x2 − 6x − 27

числителя x = −3 ,

x1 × x2 = -3 , тогда x2 = 1 и для знаменателя

x1 × x2 = -27 ,

поэтому второй корень x = 9 , подставляем

lim

( x + 3)( x −1)

= ,

( x + 3)( x − 9)

x→−3

сократим и подставим x = −3

= lim

x −1

=

−4

=

1

.

−12

x→−3 x − 9

3

Ответ: lim

x3 + 5x2 + 3x − 9

=

1

.

x→−3 x3 − 3x2 − 45x − 81

3

Пример 2.17. Вычислите предел функции lim

(x2 + 2x − 3)2

.

+ 4x2

+ 3x

x→−3 x3

в

числителе и

в

знаменателе

бесконечно

малые

функции

lim

(

x2

+ 2x − 3

)

2

= 0 , lim

(

x3 + 4x2 + 3x

)

= 0 имеем неопределенность

0

.

x→−3

x→−3

0

В знаменателе вынесем общий множитель x3 + 4x2 + 3x = (x2 + 4x + 3) x .

Разложим на

множители

квадратные

трехчлены

по

теореме

Виета

x1 × x2 = -3 ,

x2 =1,

x2 + 2x − 3 = ( x − 1)( x + 3),

x1 × x2 = 3 ,

x2 = -1,

= lim

( x −1)2 ( x + 3)

= 0

(

)

x→−3

x

x + 1

Пример 2.18. Вычислите предел функции lim

4 − x

−1

.

x→3

x − 3

-1

=

Решение. lim

4 - x

x→3

x - 3

числитель

и

знаменатель

на

выражение, сопряженное числителю

(

+1) , получим

4 - x

= lim (

-1) ×(

+1)

4 - x

4 - x

= ,

x→3

( x - 3) ×( 4 - x +1)

используем формулу разности квадратов

= lim

4 − x −1

=,

x→3 ( x - 3) ×(

4 - x +1)

приводим подобные

= lim

3 − x

=,

x→3 ( x - 3) ×(

4 - x +1)

вынесем (-1) в числителе за знак предела

= -lim

x − 3

= ,

x→3

( x - 3) ×(

4 - x +1)

сократим дробь

= -lim

1

= ,

4 - x +

x→3

1

вычислим предел

= -

1

= -

1

= -

1

.

4

- 3 +1

1

+1

2

Ответ: lim

4 − x

−1

= −

1

.

x→3

x − 3

2