Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie_Predel_funktsii_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

855.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

= lim t ×tg

(1 - t ) = ,

t→0

представим тангенс в виде отношения синуса и косинуса

sin

= lim t ×

= ,

t→0

cos

используем формулы приведения

= cos

= sin

sin

t , cos

t ,

тогда

t × cos

= lim

= ,

t→0

sin

π t

t × cos

преобразуем выражение

= ,

sin

π t

домножим

числитель

на

выражение не изменится, но после

преобразований можно будет использовать первый замечательный предел

π t

× cos

π t

cos

π t

× cos

π t

sin

тогда

π t

= lim

× cos

π t

t→0

sin

используем теорему об арифметических операциях над пределами

функций

π t

× lim cos

lim

×1×1 =

t→0

sin

π t

t→0

Ответ: lim (1 - x) ×tg π x =

x→1

Приложение 1. Предел последовательности

Свойства предела последовательности

Если существуют пределы lim x

lim y

, то существуют

n→∞

предел линейной комбинации ( a ,

b )

(1.1)

lim(a × xn + b × yn ) = a×lim xn + b × lim yn ,

n→∞

в частности

(1.2)

lim(a × xn ) = a × lim xn ;

n→∞

предел произведения

(1.3)

lim(xn × yn ) = lim xn

× lim yn

n→∞

в частности

= (lim xn )2

lim

( xn )2 = lim(xn × xn ) = lim xn × lim xn

(1.4)

n→∞

= (lim xn )k

lim

( xn )k = lim(xn ×…× xn ) = lim xn ×…× lim xn

;

(1.5)

n→∞

k множителей

предел частного (при условии что lim yn ¹ 0 )
						n→∞
	xn		=	lim xn
lim	xn			n→∞		.
lim				lim y		.
n→∞ y		n		lim y	n
		n		n→∞	n
				n→∞			lim yn = b , при этом
Если существуют конечные пределы lim xn = a ,							lim yn = b , при этом
						n→∞	n→∞

функция f одна из основных элементарных функций и определена в точке существуют и пределы

lim f ( yn ) = f (lim yn ) = f (b) ,
n→∞	n→∞

(1.6)

a > 0 ,

b , то

(1.7)

в частности

lim loga ( yn ) = loga (lim yn ) = loga (b) ,
n→∞	n→∞
lim sin	( yn ) = sin (lim yn ) = sin (b) ,
n→∞	n→∞

lim arcsin ( yn ) = arcsin (lim yn ) = arcsin (b) ,
n→∞		=		=	n→∞

lim	yn		lim yn		b ,
n→∞		= k	n→∞	= k
lim k	yn	= k	lim yn	= k	b ,
n→∞			n→∞

(1.8)

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

	lim y	n = ab	;	(1.13)
	lim a yn = an→∞	n = ab	;	(1.13)
	n→∞
lim	( xn yn ) = ab .			(1.14)
n→∞

Таблица 1.

Предел бесконечно малой

{αn }

бесконечно малая последовательность

последовательности равен

тогда и только тогда когда limαn = 0 .

нулю.

n→∞

2. Предел суммы константы и

(const + αn ) = const .

бесконечно малой

lim

последовательности есть

n→∞

данная константа.

Сумма конечного числа

Если

{αn } ,

{ βn} , …

{ζ n}

–

бесконечно

бесконечно малых

малые последовательности, то

последовательностей есть

αn + βn

+…+ ζ n

бесконечно малая

lim

= 0 .

последовательность.

n→∞

k слагаемых

Произведение конечного числа

Если

{αn } ,

{ βn} , …

{ζ n}

–

бесконечно

бесконечно малых

малые последовательности, то

последовательностей есть

αn × βn ×…×ζ n

бесконечно малая

lim

= 0 .

последовательность.

n→∞

k множителей

Произведение бесконечно

Если { xn } –

ограниченная

последовательность,

малой последовательности и

{ζ n} , – бесконечно малая

ограниченной есть бесконечно

(ζ n × xn ) = 0

малая последовательность.

последовательность, то lim

n→∞

Если последовательность αn

является бесконечно малой, то

Если limαn

= 0 , то lim

= ¥ .

αn

последовательность

n→∞

αn

является бесконечно большой.

Если последовательность zn

является бесконечно большой,

Если lim zn = ∞ , то lim

= 0 .

то последовательность

n→∞

n→∞ zn

является бесконечно малой.

Таблица 1. Продолжение

Предел бесконечно большой

Если { zn}

бесконечно большая

последовательности равен

последовательность, то lim zn = ∞ .

бесконечности.

n→∞

Предел суммы ограниченной и

Если { zn}

–

бесконечно большая

бесконечно большой

последовательность,

{cn }

–

ограниченная, то

последовательностей есть

бесконечно большая

lim ( zn + cn ) = ∞ .

последовательность.

n→∞

10.

Предел суммы бесконечно

Если { zn}

–

бесконечно большая

малой и бесконечно большой

последовательность,

последовательностей есть

{αn }

бесконечно малая последовательность

бесконечно большая

lim ( zn + αn ) = ∞ .

последовательность.

n→∞

{an } ,

{bn} ,

…

{ zn}

–

бесконечно большие

положительные последовательности

+ b

+ …+ z

11.

Сумма бесконечно больших

lim a

= +¥ ,

n→∞

последовательностей одного

знака есть бесконечно большая

k слагаемых

{a }

} ,

…

{ z

}

–

бесконечно большие

последовательность того же

знака.

отрицательные последовательности

lim a

+ b

+ …+ z

= -¥ .

n→∞

k слагаемых

12.

Произведение конечного числа

{a }

} ,

…

{ z

}

–

бесконечно большие

бесконечно больших

последовательностей есть

последовательности lim a

×b ×…× z

= ¥ .

бесконечно большая

n→∞

последовательность.

k множителей

13.

Произведение бесконечно

zn –

бесконечно большая

большой последовательности и

последовательность, cn – ограниченная,

ограниченной, предел которой

не равен нулю, есть бесконечно

lim ( z

× c

) = ¥ .

большая последовательность.

n→∞

14.

Частное бесконечно большой

zn –

бесконечно большая

последовательности и

последовательность,

–

такая что

сходящейся к пределу

отличному от нуля есть

бесконечно большая

lim cn = с ¹

0 , lim

= ¥ .

последовательность.

n→∞

Таблица 2.

Основные бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Бесконечно малые

Бесконечно большие

αn

, s > 0

(m1)

ns , s > 0

(b1)

= qn ,

< 1

(m2)

z = qn ,

> 1

(b2)

zn = loga n , 0 < a <1

(m3)

zn = loga n , a > 1

(b3)

(m4)

zn =

αn = k n −1, k

(b4)

n −1

zn =

αn = n n −1

(m5)

(b5)

n n −1

αn

(m6)

zn = n!

(b6)

αn

, p >1

(m7)

zn =

, p >1

(b7)

, s > 0 , p >1

(m8)

z =

, s > 0 , p >1

(b8)

αn

, p >1

(m9)

zn =

, p >1

(b9)

loga

, p >1

(m10)

z =

(b10)

loga n

(m11)

zn =

(b11)

loga n

Если limα

n→∞ n

Первый замечательный предел

= 0 , то

lim sinαn = 1

n→∞ αn

lim arcsinαn = 1

n→∞ αn

lim tg αn = 1

n→∞ αn

lim arctg αn = 1

n→∞ αn

Второй замечательный предел

		1 n
lim 1	+		= e .

n→∞		n

Если limα = 0 , то

n→∞ n

lim (1 + αn )αn = e .
n→∞
	+	k n	= e	k
lim 1

n→∞		n

(1.16) (1.17) (1.18) (1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22).

Приложение 2. Предел функции

Теоремы об арифметических операциях над пределами функций

Если существуют пределы lim f ( x) ,						lim g ( x) , то существуют
				x→a		x→a
предел линейной комбинации
	lim (b × f ( x) + c × g ( x)) = b × lim f ( x) + c × lim g ( x)
	x→a					x→a	x→a
	в частности
			lim C × f ( x) = C × lim f ( x)
			x→a			x→a
предел произведения
lim ( f ( x) × g ( x)) = lim f ( x) × lim g ( x)
x→a				x→a		x→a
	в частности
			lim f ( x)2 = (lim f ( x))2
			x→a		x→a
			lim f ( x)k = (lim f ( x))k
			x→a		x→a
предел частного (при условии что lim g ( x) ¹ 0 )
	f ( x)		lim f ( x)			x→a
			lim f ( x)
lim		=	x→a		.
lim		=	lim g	( x)	.
x→a g ( x)			lim g	( x)
			x→a

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4) (2.5)

(2.6)

Если существует	конечный предел lim g ( x) = B ,	функция ϕ одна	из
	x→a	B , то существуют
основных элементарных функций и определена в точке		B , то существуют	и
пределы
limϕ (g ( x)) = ϕ (lim g ( x)) = ϕ ( B) ,		(2.7)
x→a	x→a

в частности

lim loga (g ( x)) = loga (lim g ( x)) = loga ( B)
x→a	x→a
limsin	(g ( x)) = sin (lim g ( x)) = sin ( B)
x→a	x→a

limarcsin (g ( x)) = arcsin (lim g ( x)) = arcsin ( B)
x→a					x→a
lim	g ( x)	=	lim g ( x)		=
							B
x→a			x→a
lim k	g ( x)	= k	lim g ( x)		= k
						B
x→a			x→a
lim Ag( x) =		lim g x		) = AB
		Ax→a	(
x→a

(2.8) (2.9)

(2.10) (2.11) (2.12) (2.13)

Если существуют конечные пределы lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , при этом

A > 0 , то существует предел

x→a

lim f ( x) g ( x)

= lim

( x)

lim g ( x)

(2.14) .

x→a

= AB

x→a

Таблица 3. Пределы основных элементарных функций

lim ex = 0

(2.15)

lim ex = +∞

(2.16)

x→−∞

= 0 , a > 1

(2.17)

x→+∞

= +∞

a > 1

(2.18)

lim ax

x→−∞

= 0 , 0 < a < 1

(2.19)

x→+∞

= +∞ , 0 < a < 1

(2.20)

lim ax

x→+∞

x→−∞

lim xα = 0 , α > 0

(2.21)

lim xα = ∞ , α < 0

(2.22)

x→0

lim xα

= 0 , α < 0

(2.23)

lim xα = ∞ ,

α > 0

(2.24)

x→±∞

x→∞

limln x = 0

(2.25)

lim ln x = +∞

(2.26)

x→1

x→+∞

lim ln x = −∞

(2.27)

x→0+0

lim loga x = 0

a > 1

(2.28)

lim loga x = −∞

a > 1

(2.29)

x→1

x→0+0

lim loga x = 0

0 < a < 1

(2.30)

lim loga x = +∞

0 < a < 1

(2.31)

x→1

x→0+

lim tg x = 0

(2.32)

lim tg x = +∞

(2.33)

x→

−0

x→0

lim tg x = −∞

(2.34)

x→π

lim ctg x = 0

(2.35)

lim ctg x = +∞

(2.36)

x→

x→0+0

lim ctg x = −∞

(2.37)

x→0−0

lim arcctgx = 0

(2.38)

lim arcctgx = π

(2.39)

x→+∞

x→−∞

lim arctg x = − π

(2.40)

lim arctg x = π

(2.41)

x→−∞

x→+∞

Первый замечательный предел

lim	sin x	= 1.	(2.42)

x→0 x

Следствия из первого замечательного предела

lim

= 1

(2.43)

x→0 sin x

lim

tg x

= 1

(2.44)

lim

= 1

x→0

x→0 tg x

lim

arcsin x

= 1

(2.46)

lim

= 1

x→0

x→0 arcsin x

lim

arctg x

= 1

(2.48)

lim

= 1

x→0

x→0 arctg x

Если lim f ( x) = 0 , то lim

sin f ( x)

x→a

f ( x)

Второй замечательный предел

lim(1 + x)

= e

x→0

lim

ln (1 + x)

= 1

(2.52)

lim

loga

(1 + x)

x→0

ln a

lim

ax −1

= ln a

(2.54)

lim

ex −1

= 1

x→0

x→0 x

(1 + x)p −1

− 1

(

)

1 + x

= p

2.56

lim

x→0

(2.45) (2.47) (2.49)

(2.50)

(2.51)

(2.53)

(2.55)

(2.57)

100

Библиографический список

1.Курс классической математики в примерах и задачах. В 3 т. Т.1./

В.С. Герасимчук, Г.С. Васильченко, В.И. Кравцов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.

672 с.

2.Задачи по математике. Последовательности, функции и графики /

Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2008. 328 с

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3т. М.: Дрофа,

2003-2004.

4.Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Предел.

Непрерывность. Дифференцируемость: учебное пособие. под редакцией Кудрявцева 2-ое издание переработанное / Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д.,

Чехлов В.И., Шабунин М.И. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 496 с 5. Сборник типовых расчетов по высшей математике: учебное

пособие. Ч.I. 5-ое изд.доп. / Под редакцией засл. раб. ВШ РФ, д.ф.-м.н., проф.

Миносцева. М.: МГИУ,2007. 548 с.

6. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: учебник для 10 класса / М.И. Шабунин, А.А.

Прокофьев. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. 424 с.: ил.

7. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: методическое пособие для 10 класса / М.И.

Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. М.: Бином.

Лаборатория знаний, 2008. 448 с.: ил.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.201533.08 Mб57Players Handbook 4ed - ver.2010-08-16.pdf
#
23.03.2016255.52 Кб12polozhenie-o-magistrature-kgpupdf.pdf
#
12.03.2015292.52 Кб11Polozhenie_o_praktikakh.pdf
#
10.02.20151.9 Mб30polyakov.pdf
#
10.02.201571.68 Кб22portfolio studenta.doc
#
10.02.2015855.42 Кб19posobie_Predel_funktsii_1.pdf
#
01.03.202565.86 Кб2PPU (1).docx
#
28.08.201980.38 Кб14Practice 2012 ISP KSPU.doc
#
10.02.201528.16 Кб50Prakticheskoe_5_Udarenie.doc
#
10.02.2015854.02 Кб28Praktikum_latinsky_yazyk.doc
#
10.02.20158.25 Mб2024Praktikum_po_mat.doc