![](/user_photo/_userpic.png)
- •4. Совместные и несовместные события. Теоремы сложения вероятностей.
- •5.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
- •7.Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
- •10.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •12.Теорема Пуассона (вывод формулы).
- •14.Функция распределения дискретной случайной величины, ее свойства и график
- •16.Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства. Среднее квадратичное отклонение. Размерность дисперсии и среднеквадратичного отклонения.
- •17.Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики (вывод формулы).
- •18.Закон Пуассона и его числовые характеристики (вывод формулы). Простейший поток событий.
- •21. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства.
- •22.Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
- •23.Равномерный закон распределения и его числовые характеристики.
- •25.Нормальный закон распределения, его параметры и их вероятностный смысл. Зависимость формы нормальной кривой от параметров.
- •28.Функция Лапласа и ее связь с функцией распределения нормальной случайной величины.
- •29.Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.
- •31.Нормальный закон распределения двумерной случайной величины. Двумерное нормальное распределение
- •32.Неравенство Маркова.
- •34.Теорема Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и его значение.
- •35.Теорема Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли и его значение.
- •36.Понятие о центральной предельной теореме и ее следствиях.
- •40.Точечные оценки параметров генеральной совокупности. Средняя арифметическая и ее свойства.
- •41.Дисперсия вариационного ряда и ее свойства. Исправленная выборочная дисперсия.
- •43.Статистическая проверка гипотез. Критерий проверки, ошибки первого и второго рода, критическая область.
- •45.Модели и основные понятия регрессионного анализа.
- •События и вероятность
- •Повторные независимые испытания
- •Дискретные случайные величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Законы больших чисел
- •Математическая статистика
17.Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики (вывод формулы).
Пусть проводится n
независимых испытаний. В результате
каждого из которых возможны 2 исхода: А
– успех с вероятностью p,
или
-
неуспех с вероятностью q
= 1-p.
Тогда вероятность числа m
успех
Дискретная случайная
величина X,
которая может принимать только целые
неотрицательные значения с вероятностями
P
(X=m)=
, где p>0,
q>0,
m
0,n
называется распределенной по биноминальному
закону с параметром p.
Мат.ожидание
M(X)=
np
Дисперсия
D(x)=
-
среднее квадратическое отклонение
18.Закон Пуассона и его числовые характеристики (вывод формулы). Простейший поток событий.
Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.
a=np
n-число проведенных опытов
р-вероятность появления события в каждом опыте
В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле
а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время
Необходимо отметить,
что пуассоновское распределение является
предельным случаем биномиального, когда
испытаний стремится к бесконечности,
а вероятность появления события в каждом
опыте стремится к 0.
Пуассоновское распределение является
единичным распределением для которого
такие характеристики как мат. Ожидание
и дисперсия совпадают и они равны
параметру этого закона распределения
а.
19.Геометрическое
и гипергеометрическое распределения
и их характеристики (вывод
формулы).1.
Геометрическое распределение. Пусть
производятся независимые испытания, в
каждом из которых вероятность появления
события А
равна
р
(О < р
< 1) и, следовательно, вероятность его
не появления q
= 1 - р.
Испытания заканчиваются, как только
появится событие А (т.е. количество
испытаний неограниченно). Таким образом,
если событие А появилось в k-м
испытании, то в предшествующих k—1
испытаниях оно не появлялось. Обозначим
через X
дискретную случайную величину -
число испытаний, которые нужно провести
до первого появления события А. Очевидно,
возможными значениями Х
являются натуральные числа: 1, 2, 3… Пусть
в первых k—1
испытаниях событие А не наступило, а в
k-м
испытании появилось. Вероятность этого
«сложного события», по теореме умножения
вероятностей независимых событий,
Полагая k=1,
2, ... в формуле , получим геометрическую
прогрессию с первым членом р
и знаменателем q
По
этой причине распределение называют
геометрическим. Легко
убедиться, что ряд сходится и сумма
его равна единице. Действительно, сумма
ряда есть сумма членов бесконечной
геометрической прогрессии со знаменателем
меньшим единицы, тогда сумма его :
Замечание: если
количество испытаний ограничено каким-
либо натуральным числом k
, то последнее
значение вероятности в ряде распределения
будет равно qk-1
, означающее, что в предыдущих k-1
испытаниях событие А не появилось.
2.Гипергеометрическое
распределение.Многие
задачи комбинаторики могут быть сведены
к следующей модели. В генеральной
совокупности из n элементов имеется
элементов
красного цвета и
черного.
Случайным образом выбирается группа
из r
элементов. Найдем вероятность
того,
что так выбранная группа будет содержать
ровно k
красных элементов. Здесь k
может быть любым
целым числом между нулем и наименьшим
из чисел
и
r.
Для того, чтобы
найти
,
заметим, что выбранная группа состоит
из k
красных и r-k
черных элементов. Красные элементы
могут быть выбраны
различными
способами, а черные
способами.
Так как любой выбор красных элементов
может комбинироваться с любым выбором
черных, имеем
…
(1).Определенный таким образом набор
вероятностей называется гипергеометрическим
распределением.
Используя формулу
можно
переписать (1) в виде
…
(2).
Замечание.
Вероятности
определены
только для k,
не превосходящим r
или
,
но, так как при b>a
,
из формулы (1) и (2) следует, что
=
0, если либо k>
,
либо k>r.
Следовательно, определения (1) и (2) могут
использоваться для всех при условии,
что соотношение
=
0 интерпретируется как невозможность
такого выбора.
Примеры. Проверка качества. При контроле качества продукции выборочной проверке подвергается партия из n изделий. Дефектные изделия в партии играют роль красных элементов. Их число , конечно, не известно. Производится выборка объема r и определяется число k дефектных изделий в ней. Тогда формула (1) позволяет нам сделать выводы относительно истинного значения .
20.Функция
распределения непрерывной случайной
величины и ее свойства.
График функции распределения НСВ.Функцией
распределения
называют функцию Р
(х),
определяющую для каждого значения х
вероятность того, что случайная величина
Х
примет
значение, меньшее х,
т. е.
F(х)=Р(Х<х).Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральный закон распределения». свойства: