7.Формула полной вероятности и формула Байеса.

Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н₁,Н₂…Н_n называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

Формула Бейса Пусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н₁,Н₂…Н_n с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две возможности: 1) появление некоторого события А; 2) появление события , (события, являющегося дополнением А) Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0<.p<1). Вероятность P( ) события обозначим через q: P( ) = 1- p=q.

. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют "независимыми относительно события А"(Событие А имеет одну и ту же вероятность) "Сложное событие"- совмещение нескольких отдельных событий, которые называют "простыми". Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.

формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.

9Наивероятнейшее число появления события (вывод неравенства). Вероятность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента m.Существует такое значение аргумента , при котором эта функция принимает наибольшее значение

np-mp>mq+q m(q+p)<np-q, где q+p=1 m<np-q Вывод при таких m при таких m функция возростает. И наоборот при m>np-q

, то есть при таких m функция убывает, то есть действителен один при котором функция достигает max значенияПо смыслу должны выполняться два неравенства

Распишем 2-е неравенство

(9) (продолжение)Наивероятнейшее число появления события при независимых испытаниях:

, - вероятность появления события при одном испытании.

10.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна p (p0, p1), а число испытаний достаточно велико, то справедлива формула:

где - малая функция Лапласа

Замечание: формула 2 исп, когда n10, np>10

Интегральная.

Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится число раз, заключенное в границах [a;b], может быть посчитана по формуле:

Свойства функции Лапласа:

Функция нечетная, возрастающая

X>4, Ф(х)=1 Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Если число повторных независимых испытаний достаточно велико, вероятность появления события А в каждом испытании постоянно и отлично от нуля и единицы, то вероятность того, что число появлений события А отклонится от произведения np не больше, чем на некоторое положительное число r по модулю, может быть посчитано по формуле