7.5 Виды дисперсий в совокупности, разделенной на группы. Правило сложения дисперсий

Изучая вариацию по всей совокупности в целом и опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака. Это можно сделать при помощи аналитической группировки, разделив изучаемую совокупность на однородные группы по признаку-фактору. При этом можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: дисперсию общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию:

(7.37)

Межгрупповая дисперсия () характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле

(7.38)

где - число групп;

- число единиц в-й группе;

- частная средняя по-й группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Внутригрупповая дисперсия () отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

(7.39)

По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий ():

(7.40)

Между общей дисперсией , средней из внутригрупповых дисперсийи межгрупповойдисперсией существует соотношение, определяемоеправилом сложения дисперсий. Согласно этому правилуобщая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

(7.41)

Согласно этому правилу, общая дисперсия, возникающая под действием всех факторов, равна сумме дисперсий, появляющихся под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет группировочного признака.

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации ():

(7.42)

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения ():

(7.43)

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

Для проверки существенности связи между группировочным признаком и вариацией исследуемого признака часто используется дисперсионное отношение (критерий Фишера).

(7.44)

где и- число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом;;

- число групп;

- число наблюдений.

Расчетное значения критерия Фишера () сравнивается с критическим(), которое определяется по таблице приложения 4 в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости. Если, наличие связи доказано, так как проверяется нулевая гипотеза об отсутствии взаимосвязи признаков, т.е. об отсутствии влияния группировочного признака на исследуемый признак.

Правило сложения дисперсий для доли признака. Рассмотренное правило сложения дисперсий распространяется и на дисперсии доли признака, т.е. доли единиц с определенным признаком в совокупности, разбитой на группы. При этом изучение вариации происходит непосредственно при вычислении и анализе видов дисперсий для доли признака.

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле

(7.45)

где - доля изучаемого признака в отдельных группах.

Средняя из внутригрупповых дисперсий имеет следующий вид:

(7.46)

Формула межгрупповой дисперсии имеет следующий вид:

(7.47)

где - численность единиц в отдельных группах;

- доля изучаемого признака во всей совокупности.

Доля признака в совокупности определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

(7.48)

Общая дисперсия определяется по формуле

(7.49)

Три вида рассмотренных дисперсий связаны между собой следующим образом:

(7.50)

Это соотношение дисперсий называется правилом сложения дисперсий доли признака.

Зная любые два вида дисперсий из трех, входящих в формулу (7.50), можно определить дисперсию третьего вида или проверить правильность ее расчета.