7.2 Показатели центрараспределения

Важнейшей характеристикой центра распределения является средняя арифметическая (). Для вычисления по даннымпервичного ряда применяется формула простой средней арифметической.

(7.1)

При вычислении по данным ранжированного вариационного ряда применяется формула средней взвешенной:

(7.2)

В отличие от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Модой распределения () называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие.

Для упорядоченного дискретного ряда распределения мода, являющаяся характеристикой вариационного ряда, определяется по частотам вариантов и соответствуетварианту с наибольшей частотой.

Модальный интервал (т.е. содержащий моду) в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами - по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:

(7.3)

где - нижняя граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным;

(7.4)

где - начальная граница модального интервала, в котором достигает максимума величина- отношение частоты интервала к его величине;

,,- величина соответствующего модального, до- и послемодального интервалов;

,,- частота модального, до- и послемодального интервалов соответственно.

В качестве характеристик вариационного ряда также применяется медиана (), т.е. величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда. Главное свойство медианы в том, чтосумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

(7.5)

Если в вариационном ряду случаев, то значение признака у случаябудет медианным. Если в ряду четное число случаев, то медиана равна средней арифметической из двух данных значений.

Формулы для исчисления медианы при нечетном числе вариантов

(7.6)

и при четном числе вариантов

(7.7)

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функцию средней величины для неоднородной совокупности, не подчиняющейся нормальному закону распределения.

Рассмотрим определение медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Положение медианы в ряду распределения определяется ее номером:

(7.8)

где - число единиц совокупности.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будет находиться медиана. Для определения ее величины используется специальная формула:

(7.9)

где - нижняя граница медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения (рис. 7.1).

Медиана рассчитывается по кумуляте (рис.7.2). Для ее определения из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Таким образом, в качестве обобщенной характеристики значений определенного признака у единиц ранжированной совокупности могут быть использованы средняя арифметическая, мода и медиана. Каждая из них имеет свои особенности.

Основной характеристикой центра распределения является средняя арифметическая, для которой характерно то, что все отклонения от нее (положительные или отрицательные) в сумме равняются нулю; для медианы характерно, что сумма отклонений от нее по модулю является минимальной, а мода представляет собой значение признака, которое наиболее часто встречается. Поэтому в зависимости от цели исследования распределения должна выбираться одна из упомянутых характеристик либо же для сравнения вычисляться все три.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой и средней арифметической, тем более асимметричен ряд. Для умеренноасимметричных рядов разность между модой и средней примерно в три раза превышает разность между медианой и средней, т.е.

(7.10)