98

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение

Костромской государственный университет имени Н.А. Некрасова

Скаржинская Е.М., Илюхина А.С., Метелькова К.С.

Теория игр для экономистов

Кострома

2008

УДК

ББК

Скаржинская Е.М., Илюхина А.С., Метелькова К.С. Теория игр: конспект лекций с методическими указаниями: Учебное пособие. – Кострома. 2008. –90с.

Рецензенты:

Землякова И.В., доктор технических наук, профессор

Цуриков В.И., доктор экономических наук, профессор

Настоящее учебное пособие разработано доктором экономических наук, профессором Скаржинской Е.М. и сотрудниками кафедры «Математические методы в экономике». Пособие предназначено для аспирантов и студентов экономических специальностей.

Содержание

Глава 1. Введение.

§1.1. Предмет теории игр 4

§1.2. Формальное описание игры. 10

§1.3. Классификация игр 11

Глава 2. Бескоалиционные игры

§2.1. Антагонистические игры

§2.1.1. Понятие антагонистической игры. Матричная игра 13

§2.1.2. Доминирование стратегий. Редукция игры. 14

Решение игры в доминирующих стратегиях

§2.1.3. Решение игры в чистых стратегиях 16

§2.1.4. Смешанное расширение игры 22

§2.1.5. Решение игры в смешанных стратегиях 28

§2.1.6. Игра против природы 31

§2.1.7. Критерии оптимальности решения в

условиях неопределённости 32

§2.1.8 Критерий Лапласа 33

§2.1.9. Критерий Вальда (максиминный критерий) 34

§2.1.10. Критерий Гурвица (критерий взвешенного

оптимизма /пессимизма) 35

§2.1.11. Критерий Сэвиджа (критерий наименьших

сожалений) 36

§2.1.12. Решение игры против природы в смешанных

стратегиях 37

§ 2.2 Неантагонистические игры

§2.2.1. Понятие неантагонистической игры 40

§2.2.2. Биматричные игры 42

§2.2.3. Равновесие Нэша 44

§2.2.4. Эффективность по Парето 48

§2.2.5. Повторяющиеся игры. Применение к микроэкономике 49

§2.2.6. Последовательные игры 54

Глава 3. Кооперативные решения

§3.1. Понятие коалиционной игры 62

§3.2. Определение решения игры 65

§3.3. Эффективность обмена. Ящик Эджворта 66

§3.4. Арбитражное решение 72

Практикум 79

Литература 93

Введение

§1.1. Предмет теории игр

Любой процесс в экономике происходит при активном взаимодействии людей, стремящихся реализовать собственные цели, имеющих собственные интересы, оценивающих результаты процесса с точки зрения своих интересов. Интересы участников экономического взаимодействия часто не совпадают. Результаты, которые выгодны одним участникам, могут быть не выгодны другим. Так, например, продавцы заинтересованы в увеличении выручки, а покупатели заинтересованы в понижении цены; наемные работники заинтересованы в повышении заработной платы, что снижает прибыль нанимателей. Перечисленные ситуации имеют общее свойство – наблюдается конфликт интересов участников, т.е. лиц, от которых зависит конечный результат экономического процесса.

Конфликт присутствует в принятии решений даже в том случае, когда решение принимает одно лицо. Например, человек собирается купить квартиру и руководствуется четырьмя критериями: квартира должна быть недорогой, удобно расположенной, иметь хорошее качество, быть удачно спланированной. При выборе из множества предлагаемых вариантов покупатель видит, что одни варианты лучше других по критерию цены, но уступают по критерию расположения, и т.д. В данном случае выбор варианта осложняется конфликтом целей, которые ставит покупатель при покупке жилья.

Принятие решений еще более усложняется, если результат, который получает некоторое лицо, зависит не только от принимаемого им решения, но и от решений, которые принимают другие лица. Например, цена товара на рынке, где предложение поступает от нескольких продавцов, зависит от того, какую рыночную стратегию (объем предложения и назначенная цена) выберет каждый продавец. Таким образом, каждый участник, выбирая те или иные действия (т.е. выбирая свою стратегию), воздействует на конечный результат, т.е. на цену и объем реализации, и в конечном итоге на выручку всех продавцов.

Многообразие ситуаций принятия решений в экономике и в других сферах имеет три общие черты, которые можно сформулировать в виде трех принципов:

1. Конечный результат зависит от выбора решений несколькими лицами (которых мы будем называть участниками игры). Этот принцип носит название «совместность действий».

2. Принцип, согласно которому возникает конфликт между участниками какого-либо общего процесса из-за несовпадения их интересов, носит название «конфликт интересов».

3. Участник экономического процесса стоит перед выбором решения, которое в наибольшей степени должно соответствовать его интересам Для выбора разумного (т.е. рационального) решения, участник должен осознавать, что другие участники имеют собственные интересы, а значит, будут выбирать решения, которые выгодны им. Принцип, согласно которому каждый участник конфликта принимает наиболее эффективные для достижения своих интересов решения, учитывая возиможные действия других участников, называется принципом рациональности.

Легко заметить, что эти три принципа характерны для любой конфликтной ситуации не только в экономике. Примерами конфликтов служат спортивные состязания, политическая борьба, карточные игры, трудовые отношения, рыночное ценообразование, конкуренция, цена акций и т.п. Все эти разнообразные конфликтные ситуации допускают общие формализованные описания и анализ с помощью математических методов. Формализованное описание конфликта (т.е. его математическая модель) называется игрой (The Game). Теория игр является разделом математики, в котором изучаются математические модели конфликтов.

Конфликты и возможности математического анализа вариантов их разрешения, предсказания их исходов давно привлекают внимание математиков. Зарождение теории игр как математической дисциплины можно отнести к письму Б. Паскаля к П. Ферма от 29 июля 1654 года, которое принято считать началом математической теории вероятностей. В дальнейшем отдельные математические вопросы, которые можно отнести к теоретико-игровым, рассматривались многими учеными. Объектом изучения вначале были азартные и карточные игры. Вальдеграв нашел оптимальные смешанные стратегии в игре «проходящий туз» (1712 год), Д. Бернулли проанализировал «петербургскую игру» (1732 год), П. Лаплас рассмотрел принципы оптимальности (1814 год), Ж. Бертран представил теоретико-игровой подход к игре в баккара (1888 год), в 1911 году Э. Цермело описал теоретико-игровой подход к шахматной игре.

Систематическое изучение матричных игр началось с работы Э. Бореля (1921 г.), содержащей доказательство существования оптимальных смешанных стратегий для некоторых случаев игры..

В XX веке теория игр получила энергичное развитие, вызванное не только теоретическим интересом математиков, но и запросами прикладных задач экономики и техники. По сути, математическая теория игр была детально разработана американскими учеными Дж. Нейманом и О. Моргенштерном в известной работе «Теория игр и экономическое поведение» (1944 год) как средство математического подхода к явлениям конкурентной экономики.

Вторая половина XX века отмечена важнейшими результатами в теории игр и ее применением в самых разнообразных сферах, прежде всего в экономике, политике и военном деле. Понятие равновесия, имеющее центральное значение в теории игр, сформулировано выдающимся математиком и экономистом Дж. Нэшем, им же доказана теорема существования равновесия в бескоалиционной игре (теорема Нэша). Дж. Нейман и О. Моргенштерн получили первое из решений для коалиционных игр, Н-М решение. Современная теория коалиционных игр, на основе которых моделируются политические и экономические процессы, сложилась благодаря работам Л.С. Шепли. Р. Аумана, А.И. Соболева. Общее определение игры и исчерпывающую классификацию игр впервые дал выдающийся российский математик Н.Н. Воробьев. Значительный вклад в развитие теории игр внесли российские Е.Б. Яновская, Ю.Б. Гермейер, Э. Вилкас, Г.Н. Дюбин и В.Г. Суздаль.

В ходе своего развития теория игр превратилась в общую математическую теорию конфликтов. В рамках теории игр поддаются математическому описанию военные и правовые конфликты, спортивные состязания, а также явления, связанные с биологической борьбой за существование. Теория игр позволяет формализовать некоторые важные аспекты принятия решений в технике, сельском хозяйстве, медицине и социологии. Проблемы управления, планирования и прогнозирования также часто решаются с помощью сценарного подхода, разрабатываемого с применением теории игр.

Как всякая математическая модель, игра создается с определенными целями, для того, чтобы ответить на определенные вопросы. Формулировка некоторых вопросов, на которые должен ответить анализ игры, очевидна – например, как должен действовать участник игры, стремящийся получить наибольший выигрыш? Или – как должен действовать игрок, стремящийся обезопасить себя от наибольших потерь? На языке теории игр вопросы подобного рода формулируются следующим образом. И чем (каким исходом) закончится игра, если все участники выберут свои оптимальные стратегии? Имеют ли игроки оптимальные стратегии? Существуют ли в данной игре исходы, которые выгодны всем игрокам? Будут ли все участники стремиться именно к этим исходам?

Заметим, что анализ игры способен дать ответы далеко не на все вопросы. Так, например, часто нет ответа на «детский» вопрос – чем закончится данная игра, или кто будет победителем? Дело в том, что, во-первых, исход игры может зависеть от случайных факторов, во-вторых, некоторые игры имеют несколько решений, в-третьих, реальные участники игры могут действовать не вполне рационально, т.е. не принимать оптимальные решения.