При произвольном уравнении состояния (3.27)
|
|
m |
|
|
m |
m |
|
|
|
|
|||
|
i 1 / 2 |
p i 1/ 2 , vi 1/ 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
m 1 |
m |
|
|
|
|
m 1 |
m |
|
vm 1 |
vm |
||
|
i 1/ 2 |
i 1/ 2 |
|
|
|
pi 1/ 2 |
p i 1/ 2 |
|
|||||
формула (3.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1/ 2 |
i 1/ 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
||||
требует итераций для определения p im 11/ 2 . |
|
В |
случае |
||||||||||
идеального газа формула (3.24) допускает явное разрешение |
|||||||||||||
относительно p im 11/ 2 |
. Если |
аппроксимировать не уравнение: |
|||||||||||
(3.20 А) |
|
p |
v 0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||
а закон сохранения энергии в интегральном виде (3.8), т.е. |
|||||||||||||
|
Ñ u2 / 2 |
|
ds ( pu)dt 0 |
|
|
||||||||
то в расчетах потребуется интерполировать скорость (плохо!).
Поскольку в плоском случае в волнах сжатия и ударных
волнах выполняется неравенство:
u 0s
в то время как для волн разрежения выполняется прямо
противоположное условие:
u 0s
то связи с этим Лэттер предложил следующее выражение для вязкого члена:
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
2 |
|
(3.32) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
h2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
u , |
|
||||||||
|
|
|
|
s |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
Указанный прием становится особенно эффективным, если применять в разностном расчете линейную вязкость 0 h
|
|
0, |
|
|
u 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h, |
u 0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
Схемы (3.29) - (3.30) с условием для вязкости следующего вида:
|
0, |
|
|
u 0 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
0 a h |
, |
u 0 |
||
|
|
s |
|||
|
|
|
|
|
|
где - а скорость звука исследовались А.А. Самарским и В.Я. Арсениным.
Ю.П. Попов и А.А. Самарский рассмотрели неявную разностную схему с весами.
В случае лагранжевых переменных она имеет вид:
uim 1 uim |
|
1 |
p m 1 |
1 |
|
p m 1 |
|
p m |
1 |
|
p m |
|
|
(3.33) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
h |
1 |
i 1/ 2 |
|
|
|
|
1 |
i 1 / 2 |
|
1 |
i 1/ 2 |
|
|
1 |
i 1 / 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xim 1 xim |
|
|
u m 1 |
1 |
|
|
u m |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.34) |
||||
|
|
|
|
2 |
|
i |
|
|
2 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vim11/ 2 vim 1/ 2 |
|
|
1 |
3 u mi 11 |
1 |
3 uim1 |
|
3 |
uim 1 |
1 |
3 |
u mi |
|
0 |
(3.35) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m 1 |
|
i 1 / 2 |
m |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 / 2 |
|
|
p |
m 1 |
|
1 |
p |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
i 1/ 2 |
|
i 1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
h |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
i 1 |
u |
i |
|
|
|
|
4 |
u |
i 1 |
u |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
||
Чтобы уравнение (3.36) в сочетании с (3.33) – (3.35) было эквивалентно аппроксимации на ячейке разностной схемы интегрального закона сохранения энергии необходимо, чтобы
1 4 , |
5 0.5 |
(3.37) |
При выполнении этих условий
( 1 4 ; |
3 5 0.5) |
Попов и Самарский назвали схему (3.33) - (3.36)
полностью консервативной.
При i |
0.5 |
i 1,.....,5 схема (3.33) – (3.36) имеет |
порядок аппроксимации
O 2 O h2
Все остальные схемы этого класса имеют порядок аппроксимации
O O h2
*THE END