2. Спектры т – финитных сигналов

Т – финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряд Фурье.

Для описания таких сигналов применим приём:

На первом этапе от заданного сигнала х(t), имеющего начало в точке и конец в точке , переходим к сигналу который является периодическим повторением х(t) на бесконечной оси времени с периодом

Данный сигнал можно разложить в ряд Фурье:

		(5)
где

Для описания спектра финитного сигнала приходим к известному в математике интегральному преобразованию Фурье:

– прямое преобразование,

– обратное преобразование.

Из полученных соотношений следует, что спектр Т-финитного сигнала сплошной. Он представляет собой совокупность бесконечного числа составляющих с бесконечно малыми амплитудами, непрерывно следующих по оси частот.

– амплитудный спектр,

– фазовый спектр

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа Т – финитных сигналов является интегральное преобразование Фурье.

2. Спектры Т – финитных сигналов сплошные и описываются непрерывными функциями частоты в виде модуля спектральной плотности амплитуд (амплитудный спектр) и ее аргумента (фазовый спектр).

2. Свойства преобразования Фурье. Равенство Парсеваля

1. Прямое и обратное преобразования Фурье являются линейными операторами, следовательно, действует принцип суперпозиции.

Если , то .

2. Прямое и обратное преобразования Фурье являются взаимно однозначными.

3. Свойство запаздывания.

Если
то

2. Спектральная функция δ – функции равна 1.

3. Спектральная функция комплексного гармонического сигнала равна:

2. Скалярное произведение комплексных сигналов в спектральной области.

Из полученного результата для вещественных функций вытекает равенство Парсеваля (обобщённая формула Релея):

– энергия сигнала

2. Понятие ширины спектра.

Теоретически ширина спектра сигнала бесконечна. Однако, учитывая, что интенсивность спектральных составляющих реальных сигналов уменьшается с ростом их частоты, то можно ввести понятие практической (конечной) ширины спектров.

Практическую ширину спектра можно определить как ширину частотного интервала, в пределах которого амплитудный спектр не меньше некоторого уровня , например, от

Принципиально важно: произведение ширины спектра на длительность сигнала есть константа, зависящая только от формы импульса.

Следовательно, чем короче сигнал, тем шире его спектр, и, тем более широкополосный канал требуется для его передачи.

Методы Фурье используются для анализа линейных схем или систем:

• для предсказания реакции (отклика) системы;

• для определения динамики системы (передаточной функции);

• для оценки или интерпретации результатов тестов.

Свойства преобразования Фурье раскрывают взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров. Хорошее знание свойств преобразования Фурье позволяет предсказать примерный вид спектра анализируемого сигнала. Поясним физический смысл свойств преобразования Фурье.

1. Линейность.

Преобразование Фурье является линейным интегральным преобразованием: спектр суммы равен сумме спектров.

2. Задержка:

Задержка сигнала во времени приводит к умножению спектра исходного сигнала на комплексную экспоненту вида При этом амплитудный спектр сигнала не меняется. Фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое линейно зависящее от частоты.

3. Изменение масштаба оси времени.

Общее правило: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Если изменить длительность сигнала то новый сигнал следует записать: При этом со спектром произойдёт следующее:

Следовательно, изменение длительности сигнала приводит к изменению ширины спектра в противоположную сторону.

3. Дифференцирование сигнала.

При дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются. Фазовый спектр сигнала сдвигается на 90⁰ для положительных частот и на – 90⁰ для отрицательных частот.

3. Интегрирование сигнала.

При интегрировании сигнала высокие частоты ослабляются, а низкие усиливаются. Фазовый спектр сигнала смещается на –90⁰ для положительных частот и на 90⁰ для отрицательных.

3. Спектр свёртки сигналов.

Свёртка является интегральной операцией описывающей прохождение сигнала через линейную цепь с постоянными параметрами. Спектр свёртки равен произведению спектров.

Справедливо и обратное утверждение: спектр произведения представляет собой свёртку спектров.

Выводы

1. Знание свойств преобразования Фурье помогает заранее представить примерный вид спектра исследуемых сигналов.

Заключение

1. Ряд Фурье является инструментом для определения спектра периодических сигналов.

2. Для определения спектра непериодических сигналов используется преобразование Фурье.

3. Знание свойств преобразования Фурье помогает заранее представить примерный вид спектра исследуемых сигналов.