Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Физико-технический факультет

Утверждаю

Заведующий кафедры

к.т.н., доцент

А. Шпилевой

«___»_________ 200__ г.

Л Е К Ц И Я № 9

Тема: «Узкополосные случайные процессы»

Текст лекции по дисциплине: «Теория электрической связи»

Обсуждена и одобрена на заседании кафедры

протокол №___ от «___»___________200__г.

Г. Калининград 2012 г.

Текст лекции № 9

по дисциплине: «Теория электрической связи»

Введение

Для многих практических приложений бывает полезно представить сигнал в виде процесса с изменяющейся амплитудой и полной фазой. Такое представление процесса существенно упрощает построение аппаратуры, позволяет качественно решать многие вопросы передачи сигналов. Материал данной лекции необходим для понимания принципов построения демодуляторов. В дисциплине ТЭС также находят применение основные положения теории узкополосных процессов. В современных сотовых системах связи рассматриваемый сегодня принцип также находит широкое применение.

1. Квазигармоническая форма представления сигнала

К узкополосным случайным процессам относят процессы, спектральная плотность мощности которых сосредоточена в относительно узкой полосе частот в окрестности некоторой достаточно высокой частоты f₀ (рисунок 1.1), то есть D f<<f₀.

Рисунок 1.1 – Узкополосный случайный процесс

Пример реализации такого случайного процесса показан на рисунке 1.2, где C (t) – огибающая.

Рисунок 1.2 – Пример реализации типового случайного процесса

Во многих случаях сигнал x(t) удобно записывать в квазигармонической форме в виде:

				(1.1)
где		–	огибающая;
		–	полная фаза;
		–	средняя частота квазигармонического колебания;
	(t)	–	медленно изменяющаяся начальная фаза.

Для определения A(t) и (t) введем в рассмотрение комплексный сигнал , получаемый из действительного сигнала x(t) следующим образом:

				(1.2)
где		–	называют сопряжённым сигналом (связанным некоторым образом с x(t)).

Тогда:

(1.3)

Поскольку сопряжённый x’(t) сигнал можно связать с исходным x(t) разными способами, то задача вычисления огибающей и полной фазы оказывается неоднозначной.

Вывод:

1.Квазигармоническая форма представления сигнала удобна для построения демодуляторов.

2. Прямое и обратное преобразование Гильберта.

По ряду причин, часть из которых станет понятной из дальнейшего, в качестве сопряжённого удобно выбрать преобразованный по Гильберту исходный сигнал:

(1.4)

Комплексный сигнал вида называют аналитическим сигналом.

Преобразование Гильберта H[x(t)] в спектральной области сводиться к сдвигу фаз всех спектральных составляющих сигнала x(t) на угол в области положительных (ω>0) и на в области отрицательных (ω<0) частот.

С точки зрения схемотехники преобразователь Гильберта – это фазовращатель (рисунок 1) с передаточной функцией, которая представлена следующим выражением:

				(1.5)
где		–	знаковая функция.

Рисунок 1.3 – Преобразователь Гильберта

Найдём импульсную характеристику преобразователя Гильберта

Первый интеграл в полученном выражении равен 0 в силу интегрирования нечётной функции при симметричных пределах, а второй сводиться к табличному интегралу вида:

(1.6)

Окончательно получаем:

(1.7)

Из полученного результата с очевидностью вытекает невозможность физической реализации преобразования Гильберта, так как . Тем не менее, реально преобразования Гильберта осуществляют приближённо, допуская временную задержку, тем большую, чем выше требования к точности преобразования.

Рассмотрим преобразование Гильберта во временной области. Из рисунка 1.3 вытекает:

				(1.8)
где		–	прямое преобразование Гильберта.

Поскольку

(1.9)

после умножения обеих частей равенства на jsign() получим

(1.10)

откуда следует, что передаточная функция обратного преобразования Гильберта H^-1[x(t)] отличается от передаточной функции прямого только знаком:

(1.11)

Соответственно:

– обратное преобразование Гильберта.