Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Физико-технический факультет
-
Утверждаю
Заведующий кафедры
к.т.н., доцент
А. Шпилевой
«___»_________ 200__ г.
Л Е К Ц И Я № 6
Тема: «Спектральное представление сигналов»
Текст лекции по дисциплине: «Теория электрической связи»
-
Обсуждена и одобрена на заседании кафедры
протокол №___ от «___»___________200__г.
Г. Калининград 2012 г.
Текст лекции № 6
по дисциплине: «Теория электрической связи»
Введение
Электрические сигналы связи – меняющиеся со временем сигналы напряжения или тока, обычно описываемые во временной области. С другой стороны, подобные сигналы также удобно описывать в частотной области, где описание сигнала называется его спектром. Спектральные понятия достаточно важны при анализе и проектировании систем связи, они могут описывать сигнал через его среднюю мощность или энергетическое содержание на различных частотах и показывают, какую часть электромагнитного спектра занимает сигнал. Частотные спектральные характеристики можно приписать, как и собственно сигналам, так и электрическим схемам. Если говорится, что конкретный спектр описывает конкретный сигнал, подразумевается, что один из способов описания сигнала – это задать его амплитуду и фазу как функцию частоты. В то же время. Когда мы говорим о спектральных параметрах схемы, имеем в виду передаточную функцию, связывающую выход схемы с её входом, т. е. схема характеризуется тем, какая часть спектра входного сигнала пройдёт на выход.
1. Спектры периодических сигналов.
Периодическими называют сигналы, обладающие следующим свойством:
(1) |
||||
|
||||
где |
T |
– |
период; |
|
|
k = 0, 1, 2, 3 … |
Как известно из курса высшей математики, такие функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, можно описать суммой тригонометрического ряда (ряда Фурье):
(2) |
||||
|
||||
где |
Формула (2) ряда Фурье удобна с точки зрения простоты вычисления коэффициентов разложения и . Ряд Фурье можно записать иначе:
(3) |
|||||
|
|||||
где |
Совокупность амплитуд называют амплитудным, а совокупность фаз – фазовым спектрами. Их можно изображать графически (рис. 1).
|
Рисунок 1 – Амплитудный и фазовый спектры |
Амплитудный и фазовый спектры сигнала в совокупности определяют его форму (временную зависимость).
Наиболее компактной является запись ряда Фурье в комплексной форме:
(4) |
||
|
||
где |
Комплексный спектр (4) можно интерпретировать как представление в виде сумм спектральных составляющих , каждая из которых представляет пару гармонических колебаний с половинной амплитудой на положительной и отрицательной частотах. Для вещественных функций – амплитудный спектр – чётная функция частоты, – фазовый спектр – нечётная функция частоты.
Ряд Фурье является частным случаем обобщённого ряда Фурье при выборе в качестве базиса совокупности тригонометрических или экспоненциальных функций.
Выводы
1. Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов является ряд Фурье.
2. Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний.