1. Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте.
Математическое обоснование алгоритма
Разбиваем отсчеты во временной области на первую и вторую половины:
|
|
N/2 1 |
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
N/2 1 |
|
|
N/2 1 |
||||||||||||||
Xn = xm W mN n |
xm W mN n |
x1m W mN n x2m W (m+N//2)N n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
m=0 |
|||||||||
x1 |
= x |
|
|
m = 0,1,... |
N |
- 1 x2 |
|
= x |
|
m = |
N |
, |
N |
+ 1,...N - 1 |
|||||||||||||||||
m |
|
m |
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 N |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
W (m+N |
N/2) n e-j |
|
|
|
|
ne |
-j |
|
|
|
2m n = e-j ne |
-j |
|
m n |
= (-1)nW mN/2n |
||||||||||||||||
N |
|
2 |
|
N |
N/2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
|
|||||
Xn |
= |
|
x1m W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
N |
|
|
+ (-1) x2m W |
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
W (2m+1)nN |
e-j |
|
2m ne |
-j |
|
|
|
n = e-j |
|
m n = W mN/2n W nN |
|
|
|
||||||||||||||||||
N |
|
N |
|
N/2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Выделяем отдельно расчет комплексных амплитуд четных гармоник с номерами 2n:
X |
|
= |
N/2 1 |
|
|
|
|
|
|
W m 2n |
N/2 1 |
x1 + x2 |
|
W |
|
|||
2n |
|
x1 + (-1)2n x2 |
|
|
|
m |
m n |
|||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
N |
m |
|
N/2 |
||||||
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
m 2n |
|
-j |
2 |
2m n |
-j |
2 |
m n |
|
|
m n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W |
e N |
|
= e N/2 |
|
= W |
|
|
|
|
|
||||||||
N |
|
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Выделяем отдельно расчет комплексных амплитуд нечетных гармоник с номерами 2n+1:
X |
|
= |
N/2 1 |
x1 |
+ (-1)2n+1 x2 |
W |
|
|
|
|
N/2 1 |
x1 |
- x2 |
|
W mW m n |
||||||
2n+1 |
|
m (2n+1) |
|
|
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
N |
|
|
m |
|
N N/2 |
|||||
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
W mN (2n+1) e-j |
2 |
2m ne-j |
2 |
m |
= e-j |
2 |
m ne |
-j |
2 |
m = W mN/2n W mN |
|
|
|
||||||||
N |
N |
N/2 |
N |
|
|
|
|||||||||||||||
Базовая операция «бабочка » алгоритма БПФ с прореживанием по частоте:
X÷ò X1m X2m
Xí ÷m X1m - X2m W mN
Направленный граф базовой операции «бабочка » алгоритма БПФ с прореживанием по частоте:
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Пример направленного графа 8-ми точечного БПФ с прореживанием по частоте.
Теоретические основы радиотехники Лекция №3