Вопрос №2. Спектр дискретизированного сигнала
y(t) t - kTd
k=-
Решетчатая функция отсчетов - периодический сигнал, который можно разложить в ряд Фурье с коэффициентами:
|
1 Td /2 |
-j n t |
|
1 Td /2 |
|
-j n t |
1 |
|||||||
|
y(t)e |
|
|
|
|
t - kTd e |
|
|
|
|||||
Cn = |
T |
|
dt = |
T |
|
|
dt = |
T |
||||||
|
d |
-Td /2 |
|
|
d |
|
-Td /2 |
|
|
|
d |
|||
|
|
|
Ряд Фурье для решетчатой функции отсчетов: |
|
|
|
||||||||
|
|
y(t) 1 e j n t |
|
|
n 2 n 2 Fd n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
n=- |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|||
|
|
Новая модель дискретизированного сигнала |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
sd (t) = s(kTd ) t - kTd |
sd (t) = |
sa (t) e j n |
t |
||||||||||
|
T |
|
|
|||||||||||
|
|
k=- |
|
|
|
|
|
d k=- |
|
|
|
|||
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Спектр дискретизированного сигнала Преобразование Фурье для дискретизированного сигнала
|
|
|
|
1 |
Td /2 |
|
|
|
|
1 |
|
Td /2 |
|
|
j n t |
|
|
|
|||||
|
|
|
sÄ (t)e |
-j t |
|
|
|
|
sa (t) e |
|
-j t |
|
|||||||||||
SÄ ( |
) = |
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
e |
|
dt = |
|||||||||
|
T |
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
-Td /2 |
|
|
|
|
|
d |
-Td /2 n=- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
Td /2 |
|
-j( n |
)t |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
sa (t) e |
|
|
|
dt |
|
|
|
Sa |
( |
Td |
n) |
|
|
|||||||
|
Td n -T /2 |
|
|
|
|
|
|
Td n=- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Спектр дискретизированного сигнала при правильном выборе интервала дискретизации
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Спектр дискретизированного сигнала при не правильном выборе интервала дискретизации
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Эффект наложения при дискретизации - элайзинг (алиасинг)
Алиасинг — одна из главных проблем при аналого-цифровом преобразовании видео- и аудиосигналов. Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные его составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени приводит к его искажениям. Для предотвращения этого эффекта частота дискретизации должна быть достаточно высокой и сигнал должен быть надлежащим образом отфильтрован перед оцифровкой.
Аналоговый |
|
Цифровой |
|
|
сигнал |
||
сигнал |
Антиэлайзинговый |
||
АЦП |
|||
|
|||
|
фильтр |
||
|
|
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Импульсы
дискретизации
Назначение формирующего АЭФ
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Теоретические основы радиотехники Лекция №3
Спектр дискретизированного сигнала при произвольной форме дискретизирующих импульсов
sa (t) |
|
|
|
|
|
|
Х |
|
+ |
|
|
|
|
k=- |
|
||
|
|
|
|
sd (t) = s(kTd ) s0 |
(t - kTd ) |
s0 (t - kTd )
k
|
|
( ) |
|
|
|
|
2 n |
|
S0 |
|
|
||||||
SÄ ( ) |
|
|
Sà |
- |
|
|||
Td |
||||||||
|
n |
|
|
|
Td |
|||
Мультипликативные
искажения
спектра
Вопрос №3 Спектральный и корреляционный анализ сигналов дискретных сигналов Дискретное преобразование Фурье
|
|
xk xk+ N |
s(t) xk (t - kTd ) |
k |
1. Сигнал s(t) периодический с периодом T=NTd.
Значит расстояние по частоте между соседними гармониками 2π/T=2π/NTd 2. Сигнал s(t) дискретный,
следовательно его спектр периодический с периодом 2π/Td.
3. Один период спектра дискретного сигнала содержит
2π/Td : 2π/NTd=N гармоник
Лекция №3
Вывод формулы для спектра периодического дискретного сигнала ( ДПФ)
|
1 |
NTd |
- j t |
|
1 |
NTd N 1 |
|
|
- j t |
|
Xn = |
|
s(t)e |
n |
dt = |
|
xk (t - kTd ) |
e |
n |
dt = |
|
NT |
NT |
|||||||||
|
d |
0 |
|
|
d |
0 k=0 |
|
|
|
|
|
1 |
N 1 |
NTd |
1 |
N 1 |
1 |
N 1 |
- j |
2 |
nk |
|
|
xk |
(t - kTd )e- j n tdt = |
xke- j n t |
xke |
|
||||||
N |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
NTd k=0 |
0 |
NTd k=0 |
NTd k=0 |
|
|
|
||||
Это линейная комбинация из отсчетов сигнала. Реальный масштаб по частоте определяется величиной 1/ТД
Если сигнал – дискретная числовая последовательность, то оперируют номерами отсчетов k по времени и n – по частоте.
X = x W n k |
|
|
x = |
|
1 |
X W - n k |
||||||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
||
n |
|
k |
|
N |
|
|
k |
|
|
|
|
|
n |
N |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N n=0 |
|
|
|
|
n k |
|
|
- j 2 |
n k |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
WN |
e |
|
N |
|
cos |
|
n k |
- j sin |
|
n k |
||||||
|
|
N |
N |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теоретические основы радиотехники Лекция №3