лекции / DSP_5
.pdf
1
Лекция 5. Линейные дискретные системы: описание в частотной области
1.Частотная характеристика.
2.АЧХ и ФЧХ.
3.Соотношения вход/выход в частотной области.
4.Основные свойства АЧХ и ФЧХ.
5.Расчет АЧХ и ФЧХ.
6.Экспресс-анализ АЧХ.
7.Анализ рекурсивного звена 2-го порядка.
5.1. Частотная характеристика
Основной характеристикой ЛДС в частотной области является Фурье-изображение ее ИХ h(n):
|
|
|
|
H(ej ) |
h(n)e j n , |
(5.1) |
|
n 0
которое называют частотной характеристикой (ЧХ). Это математическое определение ЧХ.
Связь между Фурье-преобразованием (5.1) и Z-преобразованием дискретного сигнала (4.1) вытекает из связи между преобразованиями Фурье и Лапласа аналоговых сигналов (индекс «а» — аналоговый):
|
Hа ( j ) Hа (p) |
|
p j |
. |
(5.2) |
||||
|
|
||||||||
Определим z (3.2) при подстановке p j : |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
z epT ejωT ejω |
|
|
|||||||
откуда получаем связь ЧХ с передаточной функцией (4.1): |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
|
H(ej ) H(z) |
|
z ej |
. |
(5.3) |
||||
|
|
||||||||
Получим определение ЧХ, подобное тому, которое было введено в теории линейных
аналоговых цепей.
Реакция линейной аналоговой системы на гармонический сигнал представляет собой гармонический сигнал, у которого может измениться амплитуда и/или фаза.
Определим реакцию ЛДС на дискретный гармонический сигнал (1.7):
|
|
|
|
|
|
|
x(n) Cxej n Cxej x( ) |
||
где Cx и x( ) n — его амплитуда и фаза. |
|
|||
Определим реакцию по формуле свертки (2.3): |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y(n) h(m)x(n m) . |
||
|
|
m 0 |
|
|
Подставим воздействие (5.4): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) |
Cx h(m)ej (n m) |
Cxej n |
|
|
|
m 0 |
|
|
m 0 |
и получим:
y(n) x(n)H(ej ).
Откуда имеем определение частотной характеристики:
,
h(m)e j m,
(5.4)
(5.5)
H(ejω) |
y(n) |
. |
(5.6) |
|
x(n) x(n) Cxejωn
2
Частотной характеристикой ЛДС H(ejω) называется отношение реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.
Отношение двух функций времени дает функцию частоты!!!
Это справедливо только для гармонического воздействия.
Установившемуся режиму предшествует переходный процесс, в котором реакция не является гармоническим сигналом.
|
|
5.2. АЧХ и ФЧХ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Представим комплексную ЧХ в показательной форме: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jarg H(e |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||
|
H(ej ) |
H(ej ) |
|
|
|
) |
. |
(5.7) |
|||||
|
|
e |
|
|
A( )ej |
( |
|
||||||
Определим смысл модуля A( ) |
и аргумента ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С этой целью найдем реакцию (5.5), подставив воздействие (5.4) и ЧХ (5.7): |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y(n) Cxej x( )A( )ej ( ) CxA( )ej x( ) ( ) . |
|
||||||||||||
Реакция представляет собой комплексный дискретный гармонический сигнал с
частотно-зависимой амплитудой:
|
|
|
Cy( ) Cx A( ) |
||
и фазой: |
|
|
|
|
|
y ( ) x |
( ) ( ). |
|
Отсюда получаем модуль комплексной ЧХ A( ) |
— АЧХ ЛДС: |
|
|
|
|
|
Cy( ) |
|
A( ) |
|
, |
Cx |
||
и аргумент комплексной ЧХ ( ) — ФЧХ ЛДС: |
|
|
|
|
|
( ) y ( ) x |
( ) . |
|
Амплитудно-частотной характеристикой ЛДС A( ) называется частотная
зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме.
Фазочастотной характеристикой ЛДС ( ) называется частотная зависимость
разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме.
Изобразить график АЧХ и пояснить смысл.
5.3. Соотношения вход/выход в частотной области
Соотношения вход/выход в частотной области записываются автоматически при
подстановке в (4.2) и (4.4) z ejω (записать самостоятельно).
5.4.Основные свойства АЧХ и ФЧХ
1.АЧХ и ФЧХ дискретного сигнала — функции непрерывной частоты.
2.АЧХ и ФЧХ дискретного сигнала — периодические функции частоты с периодом в шкале равным 2 , так как это функции периодического аргумента ej :
|
Доказательство: |
|
||||
|
|
|
|
|
||
ej( 2 k) |
ej e j2 k |
ej . |
||||
|
fд . |
|
||||
В шкале частот f период равен |
|
|||||
|
|
|
2π |
. |
|
|
В шкале частот ω период равен |
ω |
д |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
T |
|
||
3
Вывод: при переходе t nT частотные характеристики ЛДС становятся
периодическими.
3.АЧХ — четная,
|
|
|
H(ej ) h( |
||
|
n |
0 |
а ФЧХ — нечетная функция частоты.
Доказательство.
|
|
|
|
|
n)e j n h(n)cos( n) j h(n)sin( n) Re jIm . |
||||
|
n 0 |
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H(e j ) Re jIm; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
H(ej ) |
|
H(e j ) |
Re2 Im2 ; |
|||
|
|
|
|
|
||
arg H(ej ) arg |
H(e j ) . |
|||||
4.АЧХ и ФЧХ рассчитываются в основной полосе частот (см. разд. 1.5):
вшкале частот — 0;π ;
вшкале частот f — 0; fд / 2 ;
вшкале частот ω — 0; д / 2 .
5.5. Расчет АЧХ и ФЧХ
Расчет АЧХ и ФЧХ производится по передаточной функции.
Пример расчета АЧХ и ФЧХ для звена 2-го порядка:
1.Передаточная функция:
H(z) b0 b1z 1 b2z 2 . 1 a1z 1 a2z 2
2. Частотная характеристика получается автоматически при подстановке z ej :
|
|
|
|
|
|
|
|
b b e j b e j2 |
|||||
H(ej ) |
0 1 |
|
2 |
|
. |
|
|
||||||
|
1 a e j |
a |
e j2 |
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3.Для определения модуля и аргумента используем разложение Эйлера:
H(ej ) [b0 b1cos( ) b2 cos(2 )] j[b1sin( ) b2 sin(2 )] .
[1 a1 cos( ) a2 cos(2 )] j[a1sin( ) a2 sin(2 )]
4.АЧХ и ФЧХ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
[b |
b |
cos( ) b |
|
cos(2 )] |
[b sin( ) b |
sin(2 )] |
||||||
|
|
|
||||||||||||||||
A( ) |
|
H(ej ) |
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
; (5.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
[1 a cos( ) a |
2 |
cos(2 )] |
|
[a sin( ) a |
2 |
sin(2 )] |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
j
( ) arg H(e
) arctg
arctg
|
b sin( ) b |
sin(2 ) |
|
|||
1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|||||
b0 b1 cos( ) b2 cos(2 ) |
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
sin( ) a |
|
sin(2 ) |
|
||
|
1 |
|
2 |
|
. |
(5.9) |
|
||||||
1 a1cos( ) a2 cos(2 ) |
|
|||||
5.6. Экспресс-анализ АЧХ
Экспресс-анализом АЧХ называют анализ графика АЧХ по карте нулей и полюсов, а
именно местоположение максимумов и минимумов и нулей АЧХ в основной полосе частот 0; .
Методами мат. анализа можно показать, что:
|
соответствует частоте максимума |
□ частота комплексно сопряженного полюса ω k |
АЧХ (приблизительно);
4
□ частота комплексно сопряженного нуля k соответствует частоте минимума
(приблизительно) или нуля АЧХ:
если rk 1 имеем минимум АЧХ;
если rk 1 (комплексно сопряженные нули на единичной окружности)
имеем нуль АЧХ;
В точке нуля АЧХ наблюдается скачок ФЧХ на .
□ вещественным нулям z k 1 и/или |
z k 1 (на единичной окружности) |
соответствует нуль АЧХ на границе основной полосы частот 0 и/или .
Экспресс-анализ АЧХ рекурсивного звена 2-го порядка
Передаточная функция H(z) рекурсивного звена 2-го порядка может иметь два нуля и два полюса, следовательно, его АЧХ может иметь:
□ один максимум на частоте комплексно сопряженного полюса ω k :
z |
r e |
j |
|
|
|
|
; |
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
□ один минимум на частоте комплексно сопряженного нуля k соответствует частоте минимума или нуля АЧХ:
z |
re |
j |
|
|
|
|
, |
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
Минимум АЧХ, если r 1.
Нуль АЧХ, если АЧХ r 1.
В точке нуля АЧХ наблюдается скачок ФЧХ на .
Нуль АЧХ не является ее минимумом.
Вещественным нулям (на границах основной полосы экстремум или нуль АЧХ.
Значения АЧХ на границах основной полосы 0;π
передаточной функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b b z 1 b z 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H(z) |
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a z |
1 a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
z 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при подстановке z ejω ej0 |
1 и z ejω ejπ 1: |
|||||||||||||||||||||||||||
A(0) |
|
|
|
H(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
H(1) |
|
|
|
|
|
b0 |
b1 b2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
z e |
j0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 a1 a2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A( ) |
|
H(z) |
|
|
|
|
|
|
H( 1) |
|
|
b0 b1 b2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
z e |
j |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 a1 a2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Привести примеры карт нулей и полюсов и АЧХ.
0;π ) соответствует
легко определить по
5.7. Анализ рекурсивного звена 2-го порядка
Пример 5.1
Задана передаточная функция рекурсивного звена 2-го порядка:
H(z) |
1 z 1 |
z 2 |
|
. |
|
|
1 0.64z |
2 |
|||
1 0.8z |
|
||||
Требуется:
1.Записать РУ.
2.Вычислить три отсчета ИХ по РУ (см. Лекцию 2).
5
3.Записать аналитическую формулу ИХ с учетом ННУ и вычислить по ней три отсчета ИХ (см. Лекции 3 и 4)..
4.Изобразить карту нулей и полюсов.
5.Выполнить экспресс-анализ АЧХ (изобразить качественно график АЧХ).
6.Изобразить прямую и прямую каноническую структуры ЛДС (см. Лекцию 6).