Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Поле рассеянной пузырьком волны ps запишем в виде ряда (7.195):

При ka << 1 можно ограничиться первым слагаемым, которое соот- ветствует значению n = 0. Тогда, принимая во внимание значение

где С0 соответствует монопольному рассеянию. Точнее, записывая ps, следовало бы прибавить еще член, который отвечает n = 1 и описыва- ет дипольное рассеяние, зависящее от угла по закону P1(θ) = cosθ. Как уже отмечалось, для произвольного препятствия при ka << 1 вклады волн с n = 0 и n = 1, которые определяют дальнее поле рассеянной волны, вообще, близки по величине. Но в случае рассеяния на пу- зырьке, как практически безмассовом препятствии с высокой сжи- маемостью, монопольное рассеяние оказывается значительно более сильным, чем дипольное [20, с. 363].

На поверхности пузырька давление и радиальная составляющая скорости должны быть непрерывными, т.е.

Поскольку размер пузырька полагается малым по сравнению с длиной волны, то давление падающей волны на поверхности пузырь- ка можно считать одинаковым на всей поверхности пузырька. При таком допущении величиной радиальной составляющей скорости в падающей волне υr 0, которая пропорциональна ∂p0/∂r, в условии (8.111) можно пренебрегать. Тогда, учитывая, что амплитуда давле- ния в падающей плоской волне равна единице, а также формулы

(8.107) и (8.109), представим систему (8.110), (8.111) следующим об-

разом:

где υп0 — амплитуда колебательной скорости поверхности пузырька.

Разложим exp(ika) в ряд Тейлора по степеням ka и, приняв во внима- ние, что ka << 1, оставим в ряде только первые два члена:

Подставляя (8.113) в систему (8.112) и пренебрегая членами (ka)2 по сравнению с единицей, получаем формулу для коэффициента С0, ко- торый определяет амплитуду рассеянной волны:

По своей структуре формула (8.115) подобна выражению (2.45) для амплитуды колебаний в системе с одной степенью свободы под дейст- вием гармонической силы.

Как видим, амплитуда рассеянной волны имеет резонансный ха- рактер. Она принимает максимальное значение при ω = ω0; таким об-

разом, ω0 — собственная частота пузырька. При этом величина

Q = 1/(ka) определяет добротность пузырька как осциллятора и ха- рактеризует затухание его колебаний, обусловленное излучением аку- стических волн вследствие пульсаций пузырька — это хорошо нам известное радиационное демпфирование.

Формула для резонансной частоты (8.115) имеет простое физиче- ское содержание, поскольку пульсирующий пузырек можно предста- вить как систему с эквивалентной упругостью χэ и эквивалентной

массой mэ . Действительно, если помножить числитель и знаменатель

в формуле (8.115) на 4πа, то нетрудно убедиться, что эквивалентная масса

равняется утроенной массе жидкости в объеме, который вытеснил пузырек.

Эквивалентную упругость определим как отношение общей сжи- мающей силы 4πa2 pп, действующей на пузырек, к абсолютной вели-

532

чине изменения радиуса сферы |δa|. Убедимся в том, что эквива- лентная упругость при этом представляет величину

Действительно, помножив уравнение состояния (см. формулу (4.18))

4πa2 pп = (4πa 3χп) δa .

Таким образом, формулу (8.115) с учетом (8.116) и (8.117) можно записать в виде классического выражения для резонансной частоты механического осциллятора:

Итак, резонансные свойства пузырька под действием звуковых волн в диапазоне частот, где ka << 1, определяются упругостью газа, который заполняет пузырек, и присоединенной массой, которая рав- няется утроенной массе жидкости в объеме, вытесненном пузырьком. Согласно формулам (8.116)—(8.118) для воздушного пузырька в воде (возле поверхности воды), имеем следующее соотношение для резо- нансного радиуса пузырька: ар ≈ 3,3/f0, м, f0 = ω0/(2π). Например, для частоты 1 кГц длина волны в воде составляет 1,5 м, резонансный ра- диус пузырька — 0,33 см; для частоты 50 кГц длина волны в воде — 3 см, а резонансный радиус воздушного пузырька — всего 0,006 см.

Определим сечение рассеяния пузырька при разных соотношени- ях между частотой падающей волны ω и резонансной частотой пу- зырька ω0. В этом случае формула (8.76) для полного сечения рассея- ния будет иметь вид

для ω0, получаем следующее выражение для полного сечения рассеяния

где χ = ρc2 — упругость жидкости. Поскольку χ χп , то величина σs, вычисленная по формуле (8.120) будет значительно больше, чем соот-

ветствующее сечение рассеяния для жесткой сферы σs = 79 πa2(ka)4 .

Отметим, что сама возможность сопоставления сечения рассеяния пу- зырька при ω << ω 0 с сечением рассеяния для идеально жесткой сфе- ры обусловлена тем, что в данном случае поведение пузырька опреде- ляется упругостью, а влияние присоединенной массы относительно ма- ло. С другой стороны, идеально жесткие тела можно рассматривать как тела с бесконечно большой упругостью, т.е. с бесконечно малой сжимаемостью.

Рассмотрим теперь случай ω >> ω0 (естественно при ka << 1). Здесь

Это значение σs совпадает с сечением рассеяния идеально мягкой сферы σs = 4πa2. Поведение пузырька при этом определяется присое- диненной массой.

Перейдем к резонансной области, где ω = ω0, здесь С0 = –1, а для сечения рассеяния получим выражение

что равняется площади круга радиусом λ/π. Это сечение в 4/(ka)2 больше, чем геометрическое сечение πа2 пузырька и в 36(ka)–6/7 боль- ше, чем сечение рассеяния идеально жесткой сферы.

Приведенные расчеты показывают, что наличие даже небольшого количества резонансных пузырьков на пути звуковой волны в среде должно приводить к значительному рассеянию звука. Отметим, что если частота падающей волны отличается от резонансной частоты пу- зырька, эффективность пузырька как рассеивателя резко уменьша- ется.

Если в воде (например, в море) есть пузырьки разных размеров, то рассеяние на данной частоте ω практически полностью определяется пузырьками “резонансного размера”. Пузырьки в море наблюдаются возле поверхности воды, куда они попадают в результате ее движе- ния и на глубине моря (глубоководные рассеивающие слои), где они выделяются микроорганизмами. Другим примером являются плава- тельные пузыри рыб, которые тоже ведут себя как пузырьки в воде. Можно, изменяя частоту зондирующего сигнала, обнаруживать по максимуму рассеянного сигнала именно те виды рыб, плавательные

534

пузыри которых резонируют на частоте зондирующего сигнала [20, с. 367].

Нужно иметь в виду, что приведенное нами рассеяние резонанс- ными пузырьками преувеличено. Дело в том, что мы пренебрегали влиянием диссипативных потерь энергии на вязкость и теплопровод- ность, которые присутствуют в реальной среде. Эти факторы в случае резонансных пузырьков очень существенны вследствие сильной кон- центрации энергии звукового поля вокруг пузырька. Вязкость и дру- гие факторы потерь механической энергии приводят к появлению со- ответствующего мнимого слагаемого в знаменателе выражения (8.114) для амплитуды С0. Это слагаемое, как и слагаемое –ika, кото- рое отвечает за излучение, играет существенную роль вблизи резо- нансных частот, т.е. именно при условии сильного рассеяния. Таким образом, на практике рассеяние резонансными пузырьками является значительным, но не настолько, как в теории, которая не учитывает потерь механической энергии.

Итак, резонансные пузырьки не только рассеивают, но и погло- щают энергию падающей звуковой волны, и вследствие большой ам- плитуды колебаний делают это достаточно эффективно. Такого по- глощения, например, достаточно чтобы звук чоканья бокалов, в кото- рых налито шампанское или газированная вода, не был звонким. В этом случае именно пузырьки оказываются поглотителями звука, ведь если бы не существовало поглощения, а только одно рассеяние, то аку- стическая энергия оставалась бы в бокале, и его звон не ослабевал [20,

с. 367].

8.10. Задачи

8.1. Определите сечение рассеяния капли тумана радиу- сом 20 мкм для волны частотой 300 Гц, которая распространяется в воздухе.

Ответ: волновой радиус капли ka << 1. Поэтому согласно формуле (8.17) сечение рассеяния σ ≈ 10–25 м2. В тот же время при рассеянии света на капле имеем σ ≈ 2πa2 ≈ 10–9 м2. Это объясняет хорошую аку- стическую прозрачность густого тумана.

8.2. Оцените резонансный радиус воздушного пузырька, который находится в воде вблизи ее поверхности, для частоты 100 кГц.

Ответ: согласно оценочной формуле аf0 ≈ 3,3 Гц/м определяем иско- мый радиус: a ≈ 33 мкм.

8.3. Сравните полные сечения рассеяния песчинки (E1 = 5 1010 H/м2, ρ1 = 2,5 103 кг/м3), воздушного пузырька (c1 = 330 м/с, ρ1 = 1 кг/м3) и малого жесткого тела. Препятствия находятся в воде

535

(c = 1,5 103 м/с, ρ = 103 кг/м3); радиус всех препятствий одинаковый и составляет a = 10 мкм, причем ka << 1.

Ответ: отношения сечения рассеяния воздушного пузырька и жестко- го тела к сечению рассеяния песчинки равняется приблизительно 4 108 и 1,6, соответственно.

8.4.Согласно условию задачи 8.3, постройте график зависимости характеристики направленности для песчинки, воздушного пузырька

ижесткой сферы.

8.5.Определите сечение рассеяния криля на частоте 30 кГц, если

отношение плотности его тела и воды составляет ρ1/ρ = 1,03, а соответ- ствующее отношение упругостей — χ1/χ = 0,93. Эквивалентный радиус равняется 6 мм. (Эквивалентный радиус - это радиус сферы, объем ко- торой равен объему криля.)

Ответ: σs /(πa2) ≈ 8,5 10–4.

8.6. Определите сечение рассеяния энфаузииды тихоокеанской (крилеподобний организм) на частоте 12 и 30 кГц. Радиус эквива- лентной сферы равен 4,15 мм, ρ1/ρ = 1,03; χ1/χ = 1,15.

Ответ: σs /(πa2) ≈ 1,5 10–4; 5,7 10–4.

8.7. В слое воды возле поверхности моря широкополосный звуковой сигнал рассеивается в основном на частоте 5 кГц. Считая, что основ- ной рассеиватель — это наполненный воздухом плавательный пузырь рыбы, определите его радиус.

Ответ: 0,66 мм.

8.8. Ультразвуковой локатор дельфина на частоте 80 кГц создает мощность излучения Р = 0,1 Вт. Коэффициент осевой концентрации равен Ω = 50. Определите расстояние L, на котором дельфин сможет определить твердый металлический шарик радиусом 0,5 см, если ам- плитуда сигнала от шарика должна быть не меньше, чем 0,002 Па.

Ответ: приблизительно 60 м.

536

Р А З Д Е Л 9

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОБ ИЗЛУЧЕНИИ И РАССЕЯНИИ ЗВУКА

Решение, соответствующее дельта-функции, столь важно, что оно имеет специальное название — функ- ция Грина. Забавно то, что английский математик Грин, именем которого названа функция, жил в XIX в. и, естественно, не знал о дельта-функции. Но только введение дельта-функции позволило ясно и кратко объяснить суть функции Грина [ , с. 461—462].

9.1. Канонические и неканонические области существования звукового поля

Анализ многих акустических ситуаций возможно осущест- вить в рамках модели, позволяющей найти решение уравнения Гельмгольца при определенных граничных условиях на телах, распо- ложенных в среде. Для самого уравнения Гельмгольца методом разде- ления переменных построены частные решения в разных системах координат. В данной книге используются декартовая, цилиндриче- ская и сферическая системы координат. Вспомним, что поле излуче- ния сферы можно представить в виде p(r,θ,ψ) = R(r)Θ(θ)Ψ(ψ). Области существования звукового поля, которые позволяют непосредственно применить метод разделения переменных, называют каноническими (от греческого слова κανων — палка, в переносном смысле — правило, норма). Для этих областей форма излучающего или рассеивающего тела совпадает с координатной поверхностью соответствующей сис- темы координат. Такие тела называют каноническими — это, напри- мер, сфера в сферической системе координат, бесконечный цилиндр в цилиндрической системе координат. Как уже отмечалось (см. всту- пление в параграф 7.12), существует 11 систем, для которых поиск частного решения уравнения Гельмгольца можно выполнить методом разделения переменных, но не все они хорошо исследованы матема- тиками и имеют эффективные алгоритмы расчета. Однако частные

Зельдович Я.Б., Яглом И.М. Высшая математика для начинающих физи- ков и техников. — М.: Наука, 1982. — 510 с.

537

решения, которые появляются при использовании указанных выше трех систем координат, хорошо изучены и широко применяются в практических расчетах.

Для решения акустических задач, сформулированных для канони- ческих областей, реализуется единый подход, который широко ис- пользуется во многих задачах математической физики. Его суть со- стоит в том, что для области существования звукового поля, на осно- ве выбора соответствующих частных решений уравнения Гельмголь- ца, строится такая их совокупность, которая является достаточно произвольной для того, чтобы удовлетворить заданные граничные ус- ловия для давления или колебательной скорости на поверхности, ог- раничивающей область существования звукового поля. Например, вспомним задачу рассеяния звука на сфере или цилиндре. Здесь рас- сеянное поле записали в виде бесконечного ряда по соответствующим частным решениям с произвольными коэффициентами. Именно вы- бор этих коэффициентов и позволил удовлетворить граничные усло- вия на поверхности тел рассеяния (сфера или цилиндр). Однако круг задач, для которых применим такой подход, довольно ограничен.

Понятно, что примеров неканонических областей можно привести множество. Поэтому с задачами излучения и рассеяние звука в нека- нонических областях исследователь встречается буквально на каждом шагу. Приняв во внимание актуальность таких задач, рассмотрим в девятом и десятом разделах методы, которые позволят эффективно исследовать звуковые поля в сложных (неканонических) областях.

В начале этого раздела изложим основные сведения о дельте- функции Дирака, которая широко применяется при математическом исследовании разных физических явлений.

9.2. Дельта-функция Дирака

Исследуя задачи квантовой механики, Дирак* в 1929 г. ввел новую функцию, которую обозначил δ (х) (читается: дельта-

функция или дельта-функция Дирака). Эта функция определяется такими соотношениями [52, 60]:

Оказалось, что с помощью дельта-функции можно сформулиро- вать на математическом языке такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, мгновенный импульс, плотность точечного заряда и т.п. В первом разделе отмечалось, что при по-

* Дирак (Dirac) Поль Адриен Морис (1902—1984) — английский физик, лауреат Нобелевской премии (1933).

538

строении математических моделей физических явлений приходится использовать разные математические абстракции, такие, как точка, линия, плоскость. Например, мы говорим о массе, которая сосредото- чена в данной точке пространства, о силе, которая действует в дан- ный момент времени, о точечном источнике того или иного физиче- ского поля и т.п., хотя понимаем, что любая масса имеет определен- ный объем, любая сила действует определенный промежуток време- ни, а любой источник поля имеет определенные размеры.

Чтобы лучше понять суть вопроса, предположим, что на тело в те- чение определенного промежутка времени 2ε действует постоянная сила, которую обозначим как δε(t) (рис. 9.1).

Рис. 9.1. График функции δε(t)

Пусть за это время тело получает импульс, равный единице, т.е.

−∞

Поскольку сила δε(t) равна нулю вне промежутка времени [–ε, ε], а на этом отрезке постоянная, то 2εδ(t) = 1, откуда

Если теперь устремить ε к нулю, то будем рассматривать силу, которая действует на очень малом промежутке времени. При этом амплитуда силы будет стремиться к бесконечности. В пределе δ(t) = ε→lim0 δε(t) по-

лучим функцию, которая равняется нулю всюду, кроме точки t = 0, а в точке t = 0 она равняется бесконечности, т.е. приходим к соотноше- ниям (9.1), которые определяют дельту-функцию.

Понятно, что дельта-функция не является функцией в обычном понимании. Ведь равенство нулю функции во всех точках, кроме од- ной, где она равняется бесконечности, и одновременно равенство ин- теграла от этой функции единице противоречат одно другому в рам- ках математики, которую можно назвать классической. Тем не менее,

539

Дирак и другие физики на протяжении многих лет свободно и про- дуктивно использовали дельта-функции, не определяя строго эти странные математические объекты. Со временем математическую теорию необычных функций, подобных функции δ(х), которые сего- дня называют обобщенными функциями, построили Соболев* и Шварц**.Отметим, что дельта-функция Дирака представляет собой яркий пример математической интуиции физика, которая опередила уровень математики в свое время.

Возвращаясь к примеру на рис. 9.1, естественно привести такое физическое утверждение: количество движения, приданное телу

количества движения, которое получает тело вследствие действия распределенной во времени силы δε(t), когда время ее действия стре- мится к нулю, т.е., когда ε → 0. Тогда

Таким образом, когда говорят, что интеграл (9.1) от дельта-функции равен единице, то этот интеграл следует понимать как предел соот- ветствующих обычных интегралов от δε(t)-функций при ε → +0.

Обобщим формулу (9.4). Пусть ϕ(х) — некоторая непрерывная функция, тогда выполняется соотношение [52, 60]:

Формула (9.5) означает, что пределом последовательности указанных интегралов есть функционал (а не функция!), который ставит в соот- ветствие каждой непрерывной функции ϕ(х) число ϕ(0) — ее значение в точке x = 0. Этот функционал и есть известная дельта-функция Дирака. В математической литературе значения функционала δ на функции ϕ, т.е. число ϕ(0), обозначают таким образом:

Роль выражения ∫δ(x)ϕ(x)dx выполняет (δ,ϕ) — значение функционала

δ на функции ϕ. Например, если функция ϕ (х) ≡ 1, то (δ,1) = 1. Подытоживая рассуждения относительно введения дельта-

функции, подчеркиваем особенность ее использования в физических

*Соболев Сергей Львович (1908—1989) — российский математик, академик АН СССР (1939 р.).

**Шварц (Schwarz) Лоран (1915—2002) — французский математик.

540