Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Считая d/r << 1, получим следующее выражение для поля давления диполя:

где M0 = V0d. Величину M0 называют моментом диполя. Итак, поле

диполя определяется не объемной скоростью составляющих его моно- полей V0 и не расстоянием между монополями d отдельно, а произве- дением этих величин V0d. Одинаковое дипольное излучение можно получить с помощью разных пар противофазных монополей, подоб- рав объемные скорости монополей и расстояние между ними таким образом, чтобы моменты были одинаковыми.

Если расстояние d устремить к нулю, оставляя неизменными объ- емные скорости составляющих монополей, то момент диполя, а вме- сте с тем и поле диполя, также будет стремиться к нулю. Но если, уменьшая величину d, одновременно увеличивать объемные скоро- сти, так, чтобы момент диполя был неизменным M0 = const, то неизменным будет и поле диполя. Итак, приходим к понятию

точечного диполя.

Поле диполя можно также записать в виде:

Действительно, вследствие непосредственного вычисления по формуле (7.84) получаем

поскольку ∂r/∂z = cosθ, то имеем результат, который совпадает с формулой (7.83). Соотношение (7.84) показывает, что можно ввести понятие диполя, продифференцировав поле монополя по координате источника z (рис. 7.17, а). Но первый вариант определения понятия диполя более приемлем с физической точки зрения.

Сравнение полей диполя и осциллирующей сферы позволяет сде- лать очевидным важный вывод: практической реализацией диполь-

451

ного излучателя является осциллирующая сфера. Интересным являет- ся случай осциллирующей сферы малого радиуса по сравнению с длиной излучающей волны (ka << 1). Рекомендуем читателю само- стоятельно осуществить преобразование формул (7.60), (7.77), пре- небрегая малыми величинами порядка (ka)2 по сравнению с едини- цей, и получить приближенное выражение для поля малой (ka << 1) осциллирующей сферы:

Сравнивая выражения (7.83) и (7.85), можно сказать, что моментом малой осциллирующей сферы есть величина M0 = 2πa3υ0 . Поэтому,

если радиус сферы а и скорость υ0 изменяются так, что значение мо- мента М0 остается постоянным, то и поле излучения осциллирующей сферы будет неизменным.

Таким образом, поле излучения малой осциллирующей сферы со- ответствует построенной модели диполя. Отметим, что дипольный характер излучения имеют многие другие осциллирующие тел (напри- мер, струны, о которых шла речь в конце параграфа 7.8).

Дальнее поле (kr >> 1) дипольного источника

имеет вид сферической волны с характеристикой направленности, которая определяется функцией косинуса (рис. 7.17, б).

Интересный результат можно получить при суперпозиции полей монополя и диполя. Итак, поместим в одну точку монополь с объем- ной скоростью V и диполь с моментом M. Совместная работа этих из- лучателей создает в дальней зоне (kr >> 1) поле

p = −iωρ 4Vπr exp(ikr )− ωρk 4Mπr cos θexp(ikr ) =

Если выбрать V = –ikM, то получим источник с характеристикой на- правленности в виде кардиоиды (рис. 7.18):

Максимум излучения имеем в направлении θ = 0 и нулевое излучение в противоположном направлении θ = π. Такой источник можно также получить с помощью одной сферы, которая одновременно выполняет

452

пульсации и осцилляции с соответственно подобранными амплитуда- ми.

Рис. 7.18. Характеристика направленности системы монополь-диполь

7.10. Коэффициент концентрации

В то время как акустическая мощность ненаправленного источника распределяется равномерно по всем направлениям, мощ- ность направленного излучателя может быть сконцентрирована в пределах большего или меньшего (в зависимости от остроты его на- правленности) телесного угла. В связи с этим с помощью острона- правленного излучателя можно значительно увеличить интенсивность звуковых волн в заданном направлении при фиксированной излу- ченной мощности. Способность излучателя концентрировать звуко- вую энергию в некотором направлении характеризуется коэффици- ентом концентрации.

Рассмотрим два излучателя — ненаправленный и направленный. Пусть мощности излучения ненаправленного Р0 и направленного Рс излучателей одинаковы, т.е. Р0 = Рс. Ненаправленный излучатель на расстоянии r (в дальней зоне) создает звуковое поле интенсивностью I0, а интенсивность на том же расстоянии r вдоль некоторого направ- ления (θ,ψ) направленного излучателя — Ic(θ,ψ). Коэффициентом кон-

Пусть в направлении (θ0,ψ0) интенсивность направленного излучателя максимальная Iс(θ0,ψ0 ) = Iс max , тогда отношение

453

Для направленного источника излучаемая мощность примет вид:

где элемент сферической поверхности dS = r2sinθdθdψ. В соответст- вии с равенством Р0 = Рс приравняем выражения (7.96) и (7.97):

Если характеристика направленности имеет осевую симметрию отно- сительно θ = 0 и не зависит от угла ψ, то

Вычислим Ω0, например, для излучателя, у которого Rp (θ) = cos θ . Со-

гласно (7.99) имеем Ω0 = 3.

Равнозначным определению (7.90) будет следующее определение: коэффициент осевой концентрации — это отношение мощностей ненаправленного и направленного излучателей при условии создания ими одинаковой интенсивности звука на некотором расстоянии r:

Определение (7.100) показывает, во сколько раз меньшую мощность должен отдавать излучатель направленного действия, чтобы в на- правлении максимума интенсивности создать такую же интенсив- ность, которую создает ненаправленный излучатель. Другими слова- ми, Ω0 оценивает энергетический выигрыш при использовании на- правленного излучателя. Подытоживая все сказанное выше, отмеча- ем, что коэффициент осевой концентрации является интегральной характеристикой направленных свойств излучателя.

455

7.11. Взаимодействие источников звука

До сих пор исследовалось звуковое поле излучающей сис- темы, в которой отдельные источники звука (составляющие системы) работают независимо один от другого. Однако, если несколько источ- ников звука работают вместе в одной системе, то их взаимодействие будет проявляться через созданное ими звуковое поле. Это — вообще, сложная и важная проблема в теории излучения звука. Здесь возни- кают интересные и нестандартные ситуации. Попробуем понять сложность проблемы на примере простого излучателя — пары моно- полей.

Запишем поле давления синфазной (+ +) и противофазной (+ –) пары монополей в дальней зоне (рис. 7.10, б), временной множитель exp(–iωt) опускаем:

Определим мощность излучения исследуемых источников звука; ин- тегрирование интенсивности по поверхности сферы большого радиу-

456

са, которая окружает излучатель, можно выполнить аналогично как в параграфе 7.7 (см. рис. 7.15). Как следствие, получим

где P (0) = I(0)4πr 2 — мощность единичного монополя. Очевидно, выра- жения, стоящие в квадратных скобках (7.105), характеризуют взаи- модействие монополей через создаваемое ими звуковое поле. Тогда мощность одного монополя, который работает в паре, равна

Рис. 7.19. Нормированные зависимости P1++ (1) и P1+− (2) от волнового рас- стояния kd

На рис. 7.19 приведены зависимости P1++ /P (0) и P1+− /P (0) от вол-

нового расстояния между монополями kd. Эти зависимости позволя- ют сформулировать следующие выводы.

1.Мощность отдельного монополя зависит от волнового расстоя- ния между монополями.

2.Мощность одного монополя может быть как больше, так и меньше, чем мощность, которую он излучает, работая в одиночку. Ес- ли kd = nπ , n =1,2,3,..., то взаимодействие по полю отсутствует.

3.Два близко расположенных (kd << 1) синфазных монополя излу-

чают мощность в четыре раза большую, чем один монополь с такой

же производительностью V0.

Парадокс, указанный в пункте 3, может быть объяснен следую- щим образом. Пусть радиальная скорость частиц поверхности моно-

поля равна υr = υ0 exp(–iωt). Тогда мощность, излучаемая монополем

457

монополей будет осуществлять синфазные свободные колебания, то мощность каждого из них будет увеличиваться вдвое, но при этом пульсации монополей будут затухать в два раза быстрее. Закон сохра- нения энергии должен выполняться.

7.12. Излучение звука источниками, которые имеют неодинаковую скорость движения частиц поверхности излучателя

Будем рассматривать излучатели, скорость движения час- тиц поверхности которых неодинакова. Задача будет решена для произвольного распределения скорости на поверхности излучателя.

На вопрос, является ли постоянство скорости всех точек излучаю- щей поверхности обязательным свойством всех излучателей, встре- чающихся на практике, нельзя ответить положительно. Однако во многих случаях это желательно. Так, желательно, чтобы диффузор электродинамического громкоговорителя двигался как единое целое (поршневой характер движения); но, как следствие неидеальной же- сткости диффузора, частицы, расположенные на разных расстояниях от его центра, перемещаются с разной скоростью (особенно на срав- нительно высоких частотах). Неодинаковой является скорость частиц поверхности излучателей, в которых используются изгибные колеба- ния пластинок или мембран. В других случаях стараются достичь не- равномерности скорости колебаний поверхности, чтобы с помощью соответствующего распределения амплитуд и фаз получить желаемую характеристику направленности. Таким образом, обсуждение общего случая, когда скорость разных точек излучающей поверхности произ- вольная, имеет большой практический интерес.

Метод, который будет ниже использован для исследования, приго- ден лишь для излучателей, которые имеют вполне определенную форму поверхности (например, сфера, цилиндр, эллипсоид). Это свя- зано не с физическими, а с математическими соображениями. Для того чтобы вычислить излучаемую мощность или характеристику на- правленности, нужно определить звуковое поле излучателя по задан- ной скорости его поверхности, или, другими словами, найти решение уравнения Гельмгольца р + k2p = 0 при заданном значении скорости на поверхности излучателя. Полученное решение, кроме того, должно представлять собой волну, которая уходит на бесконечность от излу- чателя (это так называемое условие излучения).

Математическая задача, к которой сводится задача излучения звука, решается сравнительно несложно, если поверхность излучателя S является координатной поверхностью в одной из тех систем криво- линейных координат, где волновое уравнение допускает разделение переменных. Метод разделения переменных уже встречался при изу-

459

чении колебаний мембраны. Рассмотренные примеры показали, что волновое уравнение в частных производных превращается в обычное дифференциальное уравнение. Существует всего 11 систем ортого- нальных криволинейных координат, которые допускают разделение переменных в уравнении Гельмгольца [ , с. 73—118].

Однако хорошо изучены лишь некоторые случаи; рассмотрим ци- линдрические и сферические координаты и соответствующие излуча- тели в форме цилиндра и сферы. Эти случаи не только самые про- стые, но и наиболее близкие ко многим реальным излучателям: на практике встречаются и цилиндрические, и сферические излучатели. Кроме того, эти примеры дают возможность принципиально разо- браться в особенностях излучения звука при неравномерном распре- делении скорости колебаний поверхности излучателя.

7.12.1. Цилиндрический излучатель

Рассмотрим излучатель в форме цилиндра бесконечной длины радиусом R (рис. 7.20). Понятно, что длина реальных цилинд- рических излучателей всегда конечна. Поэтому результаты, которые будут здесь получены, после соответствующей корректировки можно применить к цилиндрическим излучателям, длина которых конечна, но велика по сравнению с их радиусом и длиной волны.

Рис. 7.20. Пример цилиндрического излучателя

Пусть частицы цилиндрической поверхности излучателя колеблют- ся по гармоническому закону с частотой ω. Для описания поля такого излучателя целесообразно использовать цилиндрические координаты (r,z,ψ). Уравнение Гельмгольца для комплексной амплитуды давления p(r,z,ψ) в цилиндрических координатах имеет такой вид [31, 52]:

Арфкен Г. Математические методы в физике. — М.: Атомиздат, 1970. — 712 с.

460