Основы_акустики_Гринченко_Вовк

На рис. 7.12 представлена диаграмма направленности при d/λ = 0,5, β = π/2. Сравнивая рис. 7.12 и рис. 7.11, а, замечаем, что вследствие сдвига фаз между колебаниями монополей возникло сме- щение максимумов и минимумов характеристики направленности, что сопровождается изменением формы лепестков.

Поворот максимумов характеристики направленности представ- ляет собой интересный эффект с точки зрения практического при- менения. В самом деле, угол сдвига фаз колебаний источников от- носительно легко регулировать с помощью фазовращателя, который включается в электрическую цепь излучающей системы. Изменяя угол сдвига фаз β, осуществляем поворот лепестков характеристи- ки направленности, не вращая сам излучатель. Метод электриче- ского сканирования таких характеристик имеет преимущество пе- ред методом механического сканирования вследствие практически отсутствия инерционности. Недостатком электрического сканиро- вания является искажение формы характеристики направленности при повороте максимумов. Вообще, построение излучающих и при- емных устройств с заведомо заданной характеристикой направ- ленности является важной с практической точки зрения задачей в акустике и электродинамике. Исследованию этих вопросов уделено большое внимание в специальной литературе по вопросам проек- тирования излучающих и приемных антенн.

В конце этого параграфе сделаем интересное наблюдение. Форму- ла (7.36) определяет давление звукового поля синфазной пары моно- полей при любом расстоянии r. Исследуем, как изменится это выра-

Поэтому, в рамках принятых приближений давление в дальней зоне можно определить так:

Как видим, выражение перед квадратными скобками определяет сферическую волну, а выражение в скобках зависит от угла θ и не за- висит от расстояния r. Таким образом, в дальней зоне поле пары мо- нополей представляет собой сферическую волну, амплитуда давления которой на поверхности сферического фронта определяется угловой функцией и не зависит от расстояния r. Оказывается, что вывод из нашего наблюдения имеет общий характер, т.е. касается любого ис- точника звука, и об этом еще не один раз будет идти речь в этом и последующих разделах.

Обобщая, можно сказать, что характеристика направленности из- лучателя звука определяется ее волновым размером и амплитудно-

441

фазовым распределением скорости колебаний на поверхности излу- чателя.

7.7. Осциллирующая сфера

В параграфе 7.2 исследовали звуковое поле, которое соз- дается благодаря пульсирующему движению жесткой безмассовой сферы радиусом a. Сейчас рассмотрим ситуацию, когда центр сферы двигается вдоль оси Oz со скоростью υ = υ0exp(–iωt), т.е. сфера колеб- лется как одно целое вокруг своего положения равновесия z = 0 (рис. 7.13). Такой источник звука называют осциллирующей сферой, или

сферическим источником первого порядка, а волну, которую он соз-

дает, — сферической волной первого порядка. Сравнив звуковые по- ля пульсирующей и осциллирующей сфер, сделаем на основе этого анализа некоторые обобщения.

Рис. 7.13. Пример осциллирующей сферы

Чтобы определить звуковое поле осциллирующей сферы, нужно найти такое решение — p(r, θ, ψ, t) = p(r, θ, ψ)exp(–iωt) — волнового уравнения, которое бы удовлетворяло граничным условиям на по- верхности сферы и, конечно, условию излучения. При таком движе- нии источника скорость частиц сферы и акустической среды будет иметь две составляющих: радиальную υr — вдоль радиуса r и танген- циальную υθ — перпендикулярную к радиусу r (см. рис. 7.13). Гранич- ное условие на поверхности сферы состоит в равенстве радиальной составляющей скорости частиц сферы υr = υ0cosθ exp(–iωt) и радиальной компоненты скорости частиц в звуковом поле при r = a, т.е.

Обратим внимание, что на тангенциальную компоненту скорости частиц сферы υ0sinθ exp(–iωt) не накладывается условие равенства

442

ваем, поскольку оно не удовлетворяет условию излучения. Таким об- разом, на большом волновом расстоянии от осциллирующей сферы (kr >> 1) зависимость давления звукового поля от расстояния r такая же, как и для пульсирующей сферы. (Вспомните вывод, сделанный относительно формулы (7.54).)

Решение уравнения (7.58) определяет радиальную составляющую звукового поля осциллирующей сферы на любом расстоянии от сфе- ры. Запишем решение уравнения (7.58), не рассматривая пока пути его отыскания,

Итак, давление звукового поля осциллирующей сферы можно запи- сать так:

где постоянная А определяется из граничного условия (7.55). Если для давления пульсирующей сферы нет деления на ближнее и дальнее по- ле, то в случае осциллирующей сферы такое деление есть. При kr >> 1 формула (7.60) приобретает вид

Как и в случае пары монополей (см. (7.54)), в дальней зоне поле ос- циллирующей сферы представляет собой сферическую волну, ампли- туда давления которой на сферическом фронте определяется функ- цией, которая не зависит от r, а только от угла θ (в данном случае это cosθ). Так, при θ = 0 давление будет максимальное, а при θ = 90° — равняется нулю. На рис. 7.14 приведена характеристика направлен- ности осциллирующей сферы по давлению Rp(θ) = |cosθ |. Отсюда следует важный вывод: направленное излучение звука получено за счет специального распределения колебательной скорости на поверх- ности источника.

Рис. 7.14. Характеристика направленности осциллирующей сферы

444

мнимая часть импеданса излучения осциллирующей сферы имеет ха- рактер массы, т.е. iIm[ Zи ] = –iωMпр, где Мпр — присоединенная масса:

т.е. равняется массе среды в половине объема сферы.

Соотношение между реактивной и активной частями импеданса излучения зависит от соотношения между радиусом сферы и длиной звуковой волны, т.е. от величины ka. На рис. 7.16 представлены за- висимости Rи и Xи от ka. Для предельного случая ka >> 1 реактив-

ная часть импеданса излучения стремится к нулю, а активная — к

ρcS/3.

Рис. 7.16. Зависимости коэффициентов Rи и Xи от ka для осциллирующей сферы

На практике важен противоположный предельный случай — малый радиус сферы по сравнению с длиной волны (ka << 1). Поскольку ак- тивная составляющая Zи связана с распространением энергии в сре-

де, а реактивная составляющая Zи — с локальным перераспределе-

нием энергии вблизи излучателя, то эффективность излучателя мож- но характеризовать отношением Re[Zи]Im[Zи] . При условии ka << 1

имеем:

для пульсирующей сферы

для осциллирующей сферы

447

Как видим, в случае осциллирующей сферы при ka << 1 реактивное сопротивление имеет намного большее превышение над активным сопротивлением, чем в случае пульсирующей сферой. Это, безуслов- но, должно повлиять на энергетические характеристики осцилли- рующей сферы по сравнению с пульсирующей сферой. Об это будет идти речь в следующем параграфе.

7.8. Энергетические характеристики осциллирующей сферы

Поскольку среда не имеет потерь, то мощность, излучае- мую осциллирующей сферой, можно рассчитать как поток мощности, который проходит через замкнутую поверхность, окружающую ис- точник, например, сферу большого радиуса r, описанную вокруг ис- точника как из центра. При kr >> 1 давление и радиальная скорость стремятся к величинам (см. (7.61) и (7.62)):

Тогда интенсивность Ir = Re (pυr* )/2 будет определяться по формуле

Мощность находим, интегрируя интенсивность Ir по всей поверхности

Итак, мощность осциллирующей сферы определяется по формуле

448

где Zи(1) — сопротивление излучения осциллирующей сферы (см. (7.68)).

Как и следовало ожидать, мощность пропорциональна активной части сопротивления излучения.

Рассмотрим важную для практики ситуацию, когда волновой раз- мер источника мал, т.е. ka << 1 (в электроакустике все излучатели низких частот находятся в таких условиях). В этом случае (7.26) и (7.78) принимают такой вид:

для пульсирующей сферы

Как видим, при условии ka << 1 излучение осциллирующей сферы бу- дет менее эффективным, чем пульсирующей сферы. Этот факт мож- но объяснить тем, что при осцилляциях сферы разности давлений пе- ред и за малой сферой успевают выровняться местными “паразитны- ми потоками” — перетеканием жидкости из мест с большим давлени- ем в места с малым давлением. Как следствие, эффективность излу- чения резко снижается вследствие значительного уменьшения актив- ной части сопротивления излучения и большого значения реактивной составляющей. Данная ситуация имеет образное название: “акусти- ческое короткое замыкание”. При пульсациях сферы одинаковое аку- стическое давление создается сразу на всей поверхности сферы — жидкости перетекать некуда. При высоких частотах осцилляций сфе- ры, когда длина волн намного меньше размера источника, изменение давления происходит настолько быстро, что растяжения и сжатия не успевают взаимно компенсироваться.

“Паразитные потоки” характерны не только для осциллирующей сферы, но и для любых других тел, которые колеблются в среде, на- пример мембраны, и, если не принять предупредительных специаль- ных мер, очень уменьшают ее излучающую способность в области

449

низких частот. Для предотвращения возникновения таких потоков между передней и задней поверхностями мембраны ее помещают в защитный экран, который препятствует перетеканию среды. Такой экран называют разделительным экраном. Идеально этот экран дол- жен быть бесконечно большим. Но необходимого эффекта можно дос- тичь даже с помощью сравнительно небольшого экрана радиусом порядка λ/6, где λ — длина волны низкочастотного излучаемого зву- ка. Подобную картину действия “паразитных потоков” наблюдаем и при колебаниях струн скрипки, гитары. Струны музыкальных инст- рументов практически не излучают звуковых волн и звук, который мы слышим, образуется колебанием деки (корпуса), который возбуж- дается струнами. Воздух не успевает обтекать большую деку, как в случае со струной, поэтому возникающие у деки сжатия воздуха рас- пространяются далее в виде волны, а не местных потоков.

7.9. Диполь

В параграфе 7.5 была построена математическая модель точечного источника (монополя), которая широко используется при анализе звуковых полей. Другая модель источника, которая также широко используется в теоретических исследованиях, представляет собой пару противофазных монополей (рис. 7.17, а), размещенных на расстоянии d, малом по сравнению с длиной волны. Такой источник называют диполем.

Рис. 7.17. Диполь (а) и его характеристика направленности (б)

Пара противофазных монополей создает поле давления

450