МОЗИ_Лаб_05
.docxФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный университет
Телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»
(СПБГУТ)
_________________________________________________________________
Факультет ИКСС
Кафедра ЗСС
Отчет к
лабораторной работе №5 по дисциплине:
«Математические основы защиты информации»
Тема: «Теория чисел»
Выполнили студенты:
Группа ИКБ-95
Проверил:
Кушнир Д.В.
Санкт-Петербург
2021г.
Теория чисел 1
Условное обозначение: a|b - a делит b (нацело), т.е. найдётся такое целое число c, что a=b*c; (a,b) - НОД(a,b).
Теорема. Для любой пары целых чисел a и b, b ≠ 0, a единственным образом представимо в виде a = bq + r, где 0 ≤ r < |b|. (q- называют неполным частным, а r - остатком от деления a на b)
Задания (достаточно решить любые 20-ть задач по выбору).
Число n при делении на 16 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 12 даст число 3n?
Рассмотрим такое число n, которое при делении на 16 дает остаток 3. n=35 Тогда для 3*n/12=n/4=35/4=8,75. Остаток равен 0,75*4=3, то есть равен тоже 3.
Доказать, что остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8 равен 1.
8^3=2*2*2
нч.ч = 2*n+1
нч.ч^2 /8= (2*n+1)*(2*n+1)/2*2*2=(4n^2+4n+1)/2*2*2=(n^2+n)/2+1/8=n(n+1)/2+1/8...
если n - ч.ч, то n(n+1)/2 делится без остатка
если нч.ч, то пусть n=2k+1, тогда
...=n(n+1)/2+1/8=(2k+1)(2k+1+1)/2+1/8=2*(k+1)(2k+1)+1/8= (k+1)(2k+1)+1/8 , где 1/8- остаток от деления числа на 8, т.е. =1 ч.т.д.
Доказать, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 1. (Примечание.Представьте первое число как «a», второе как «a+1» и проверьте на чётность сумму квадратов без 1.)
(k^2+(k+1)^2)/4=(2*k^2+2k+1)/4=(k^2+k)/2+1/4=k(k+1)/2+1/4.
если k- ч.ч. то k/2 без остатка, иначе (k+1)/2 делится без остатка.
Получим, 1/4 не делится без остатка, а значит остаток от деления суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел = 1 ч.т.д.
Докажите, что сумма: вариант 2. 83+84+85+86+87 делится на 5 и на 85 83+84+85+86+87=85+(83+2)+(87-2)+(84+1)+(86-1)=85+85+85+85+85=85*5, делется на 5 и 85, чтд
Докажите для целых чисел «a» и «b», что если: Вариант 2. 5a + 9b делится на 11, то и a + 4b также делится на 11.
a+4b=(5a+20b)/5=(5a+9b)/5+11b/5 (5a+9b)/11 поусловию 11b/11 без остатка по свойствам делимости чисел чтд.
Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: (6n + 1) либо (6n – 1), где n натуральное число.
При делении любого натурального числа на 6, возможны следующие остатки: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Значит любое натуральное число возможно представить одним из видов : 1) n=6k, 2)n=6k+1, 3)n=6k+2, 4)n=6k+3, 5)n=6k+4 и 6)n=6k+5.
Легко заметить, что в видах 1) , 3), 4) и 5) записаны составные числа, т.к. 6k=2*3k ; 6k+2=2*(3k+1) ; 6k+3=3*(2k+1) ; 6k+4=2*(3k+2) .
Значит для простых чисел остаются 2) и 6) варианты.
Последнее можно преобразовать так:
6к+5 = 6к+6 -1 =6(к+1) - 1 = 6m-1, где m=k+1.
Итак, если р - простое число, большее 3, то оно запишется либо
в виде 6n-1, либо 6n+1.
Найти все такие натуральные числа p, что p и (5p + 1) простые.
Если p нечётно, то 5p + 1 чётно. Значит 5p + 1 не может быть простым, соответственно 5p должно быть четным, значит p должно быть четным, единственное четное число является простым, если оно =2
Найти все такие натуральные числа p, что p и 3p² + 1 простые.
Если p нечётно, то 3p² + 1 чётно.значит 3p² + 1 не может быть простым, соответственно 3p² - четное число, значит p² - четное число и простое по условию, единственное четное и простое число это 2.
p > 3 и p простое число, будет ли хотя бы одно из чисел p + 1 и p -1 а) делиться на 4? б) делится на 5?
а) Рассмотрим числа p – 1, p, p + 1, p + 2. Из четырёх последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p и не p + 2 (оба эти числа нечётны). Значит, одно из чисел p + 1 или p – 1 будет делиться на 4.
б) Например, при p = 13 оба эти числа на 5 не делятся.
Может ли число 3821^(14567) -1 быть простым?
Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Если d нечётно, то среди чисел p и q есть чётное, что невозможно. Если d не делится на 3, то среди чисел p, q и r есть кратное 3, что тоже невозможно.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Разность между двумя простыми числами четная, если они оба нечетны. Если разность равна 17, то есть нечетному числу, то одно число равно 2. А второе равно 2 + 17 = 19. И это единственная пара
Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство НОД(a, b)*НОК(a, b) = ab.
Из определения НОД следует, что a = a' НОД(a, b), b = b' НОД(a, b), где НОД(a', b') = 1. Из определения НОК следует, что НОК(a, b) = a'b' НОД(a, b). Поэтому НОД(a, b)НОК(a, b) = a'b' НОД(a, b)НОД(a, b) = ab.
Доказать, что числа «27x + 4» и «18x + 3» взаимно просты при любом натуральном x.
Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.
3(18x + 3) − 2(27x + 4) = 1.
a и b натуральные числа. Известно, что a^2 + b^2 делится на ab. Докажите, что a = b.
Пусть d = НОД(a, b) – наибольший общий делитель чисел a и b, a = du, b = dv. Сокращая на d², получим, что u² + v² делится на uv. Но
НОД(u² + v², uv) = 1, так как u и v взаимно просты. Следовательно, uv = 1. Значит, u = v = 1, a = b = d.
Какие из следующих утверждений верны:
(1) если "a" делится на "c", "b" не делится на "c", то "a + b" не делится на "c";
(2) если "a" не делится на "c" и "b" не делится на "c", то "a + b" не делится на "c"; (3) если "a" не делится на "c" и "b" не делится на c, то "ab" не делится на "c"?
Докажите верные и приведите контр примеры к неверным
1 и 2 –Верно
Доказательство:
(1) Если число b по условию не делятся на с, то с не является его множителем в отличие от числа а, значит, мы не можем вынести общий множитель с у двух слагаемых, следовательно, сумма не будет делиться на с.
(2) Если числа по условию не делятся на с, то их множители не делятся на с, значит, мы не можем вынести общий множитель с у двух слагаемых, следовательно, сумма не будет делиться на с.
Контр пример:
(3)a=9, b=4, c=6 9*4/6=6 делится без остатка
Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?
Не изменится т.к. 3- один из множителей делимого и делителя, а значит, они сократятся и дробь останется неизменной, соответственно частное и остаток тоже
Найдите остаток от деления 2^100 на 3.
Если последить за степенями двойки, то 2^1 дает при делении на три остаток 2, 2^2 дает остаток 1, 2^3 дает остаток 2, 2^4 дает остаток 1, и т. д. Значит 2^100 даст при делении на три остаток 1.
Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3 и больше 3, т.к. n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1). Следовательно, не может.
Докажите, что (n^3 – n) делится на 24 при любом нечётном n. n³ – n = (n – 1)n(n + 1). Из трёх последовательных чисел одно делится на 3. n – 1 и n + 1 – последовательные чётные числа. Поэтому одно из них не только чётно, но и делится на 4. Значит, всё произведение делится на 2·4·3 = 24.